- Mátrixok és vektorok
- Egy kis geometria
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Lineáris leképezések
- Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
- Egyenletrendszerek optimális megoldása, pszeudoinverz
- Ortogonális mátrixok, Gram-Schmidt ortogonalizáció
- Mátrixok LU-felbontása és QR-felbontása
- Iterációs módszerek egyenletrendszerek megoldására
- Komplex számok
- Polinomok
- Interpolációs polinomok
- Oszthatóság
- Euklideszi algoritmus, Diofantoszi egyenletek
- Kongruenciák, Euler-Fermat tétel
- Csoportok, gyűrűk, testek
Egy kis geometria
1. Adott egy kocka. Az A csúcsából kiinduló 3 oldalvektor segítségével fejezzük ki az alábbi vektorokat.
a) \( \overrightarrow{AG} = \; ? \)
b) \( \overrightarrow{FH} = \; ? \)
c) \( \overrightarrow{CE} = \; ? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Milyen hosszú az \( \underline{a}=(2,4) \) vektor?
Megnézem, hogyan kell megoldani
3.
a) Állapítsuk meg $x$ értékét úgy, hogy az $ \underline{a}=(x,3)$ és $ \underline{b}=(5,2)$ vektorok egymásra merőlegesek legyenek.
b) Adjuk meg az $\underline{a}=(3,2) vektor +90°-os és -90°-os elforgatottját.
Megnézem, hogyan kell megoldani
4.
a) Írjuk föl a $P(7,8,9)$ ponton átmenő és $\underline{v}= \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ irányvektorú egyenes egyenletét.
b) Írjuk föl a $P(3,5)$ ponton átmenő és a $4x+y=6$ egyenletű egyenesre merőleges egyenes síkbeli egyenletét.
c) Írjuk föl a $P(3,5,7)$ ponton átmenő és az $ \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-1}{9}$ egyenletrendszerű egyenesre merőleges sík térbeli egyenletét.
d) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.
e) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.
Megnézem, hogyan kell megoldani
5.
a) Adjuk meg az $\underline{a}= \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ és $\underline{b}= \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ vektorok vektoriális szorzatát.
b) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.
c) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.
Megnézem, hogyan kell megoldani
6.
a) Adjuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját.
\( e_1: \frac{x-7}{4} = \frac{y-9}{5} = \frac{z-4}{3} \)
\( e_2: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{5} = \frac{z+2}{3} \)
b) Adjuk meg a $7x-4y+2z=7$ és a $16-7y+z=21$ egyenletű síkok metszésvonalának egyenletrendszerét.
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. A $2x+y-3z=2$ egyenletű $S_1$ és az $x+7y+3z=21$ egyenletű $S_2$ síkokról döntsük el, hogy
a) rajta van-e a $P(5; 1; 3)$ pont az $S_1$ és az $S_2$ metszésvonalán,
b) merőleges-e egymásra $S_1$ és $S_2$?
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Átmegy-e az origón az $S$ sík, amely tartalmazza a $P(2;-1;4)$ pontot és az $\frac{x-1}{4}=\frac{1-y}{5}=\frac{z-3}{6}$ egyenletrendszerű $e$ egyenest?
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Tartalmazza-e az $R(1;3;4)$ pontot az a sík, amelyet a $P(1;7;-1)$ és a $Q(11;9;-5)$ pontokat összekötő egyenes a $P$-ben merőlegesen döf?
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Az $e$ egyenesről tudjuk, hogy merőlegesen döfi az $x+2y+3z=6$ egyenletű síkot az $(1;1;1)$ pontban, az $f$ egyenesről pedig, hogy átmegy az $(5;2;-1)$ ponton és a $(13;4;-5)$ ponton. Döntsük el, hogy $e$-nek és $f$-nek van-e közös pontja.
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Van-e az $A(-1;-2;1)$, $B(3;1;3)$, és $C(7;6;3)$ pontokat tartalmazó síknak olyan pontja, amely az $y$-tengelyre esik? Ha igen, melyik?
Megnézem, hogyan kell megoldani
12. Az $e$ egyenes egyenletrendszere $x=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$, az $f$ egyenes egyenletrendszere pedig $\frac{x}{-2}=\frac{3-y}{6}=\frac{2-z}{10}$. Döntsük el, hogy $e$ és $f$ párhuzamosak-e. Ha igen, akkor határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely mindkettőt tartalmazza.
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. Határozzuk meg az $x-4=\frac{y+5}{4}=\frac{2-z}{3}$ egyenletrendszerű $e$ egyenes minden olyan $P$ pontját, amelyre a $P$-t a $Q(7;12;4)$ ponttal összekötő $f$ egyenes merőleges $e$-re.
Megnézem, hogyan kell megoldani
14. A $p$ paraméter milyen értékére esnek egy síkba az $A(2;3;3)$, $B(3;4;1)$, $C(4;6;2)$, és $D(p;2;5)$ pontok?
Megnézem, hogyan kell megoldani
15. Párhuzamos-e az $\frac{5x+3}{10}=\frac{4-y}{5}=\frac{5-2z}{2}$ egyenletrendszerű egyenes a $6x+y+7z=91$, illetve az $5x+2y=79$ egyenletű síkok metszésvonalával?
Megnézem, hogyan kell megoldani
16. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely átmegy a $P(12;1;7)$ ponton és merőlegesen metszi az $x-3=\frac{y-2}{3}=\frac{-z-1}{4}$ egyenletrendszerű egyenest.
Vektor hossza, két pont távolsága
Van itt az $\underline{a}=(a_1, a_2)$ és $\underline{b}=(b_1, b_2)$ vektor.
Az $\underline{a}$ vektor hossza:
\( \mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \)
Az $ \vec{AB} $ vektor hossza:
\( \vec{AB} = \mid \underline{b} - \underline{a} \mid = \sqrt{ (b_1 - a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 } \)
És pont ugyanígy kapjuk meg az $A$ és $B$ pontok távolságát is.
Vektorok összeadása és kivonása
Van itt két vektor: $\underline{a}=(a_1, a_2)$, $\underline{b}=(b_1,b_2)$
A két vektor összege:
\( \underline{a} + \underline{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \)
A két vektor különbsége:
\( \underline{a} - \underline{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2) \)
\( \vec{AB} = \underline{b} - \underline{a} \)
Vektor 90°-os forgatása
Van itt az $\underline{a}= (a_1, a_2)$ vektor.
Az $\underline{a}$ +90°-os elforgatottja:
\( a^{+90°} = (-a_2, a_1) \)
Az $\underline{a}$ -90°-os elforgatottja:
\( a^{-90°} = (a_2, -a_1) \)
Vektorok skaláris szorzata
Van itt két vektor: $\underline{a}=(a_1, a_2)$, $\underline{b} = (b_1, b_2)$.
Az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok skaláris szorzata:
\( \underline{a} \cdot \underline{b} = \mid \underline{a} \mid \cdot \mid \underline{b} \mid \cdot \cos{\gamma} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \)
ahol $\gamma$ a két vektor által bezárt szög
$\mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $, vagyis az $\underline{a}$ vektor hossza
$\mid \underline{b} \mid = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} $, vagyis a $\underline{b}$ vektor hossza
Két vektor merőleges egymásra, ha $\underline{a} \cdot \underline{b} = 0$.
Egyenes egyenlete
A $P(x_0, y_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}$ normálvektorú egyenes egyenlete:
\( A \left( x-x_0 \right) + B \left( y-y_0 \right) = 0 \)
Két pont közti vektor
Van a síkban két pont: $P(x_1, y_1)$ és $Q(x_2, y_2)$.
Ekkor a két pont közti vektor:
\( \vec{PQ} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{bmatrix} \)
Ha a térben veszünk két pontot: $P(x_1, y_1, z_1)$ és $Q(x_2, y_2, z_2)$.
Akkor a két pont közti vektor:
\( \vec{PQ} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{bmatrix} \)
Két pont távolsága a koordinátarendszerben
Van itt két pont a síkban: $P(x_1,y_1)$ és $Q(x_2, y_2)$.
Ekkor a két pont közti távolság:
\( d = \sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \)
Ha a térben veszünk két pontot: $P(x_1,y_1, z_1)$ és $Q(x_2, y_2, z_2)$.
Akkor a két pont közti távolság a térben:
\( d = \sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1 -z_2)^2 } \)
Sík egyenlete
A $P(x_0, y_0, z_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \end{bmatrix}$ normálvektorú sík egyenlete:
\( A\left( x-x_0 \right) + B \left(y-y_0 \right) + C \left( z-z_0 \right) = 0 \)
Két vektor vektoriális szorzata
Van itt két vektor: $\underline{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$ és $\underline{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$
A két vektor vektoriális szorzata:
\( \underline{a} \times\underline{b} = \det{ \begin{bmatrix} \underline{e}_1 & \underline{e}_2 & \underline{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}} \)
Vektorok koordinátás alakja, műveletek vektorokkal, összeadás, kivonás, bázisvektorok, vektor hossza, vektor abszolútértéke. Valamint, vektorok skalásris szorzatának kétféle kiszámolása, a koordinátás és a geometriai alak, vektorok szögének kiszámolása a skaláris szorzat segítségével, vektorok merőlegességének szükséges és elégséges feltétele. Vektoriális szorzat, a vektoriális szorzat kiszámolása, három ponton átmenő sík normálvektorának előállítása, három ponton átmenő sík egyenlete. És ezek mellett az egyenes egyenlete síkban, a sík egyenlete térben, az egyenes egyenletrendszere térben, szakasz hossza és két pont távolsága síkban és térben, normálvektorok és irányvektorok, az egyenes normálvektora és irányvektora, a sík normálvektora és irányvektora.
