Egy kis geometria

1. Adott egy kocka. Az A csúcsából kiinduló 3 oldalvektor segítségével fejezzük ki az alábbi vektorokat.

a) \( \overrightarrow{AG} = \; ? \)

b) \( \overrightarrow{FH} = \; ? \)

c) \( \overrightarrow{CE} = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2. Milyen hosszú az \( \underline{a}=(2,4) \) vektor?

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) Állapítsuk meg $x$ értékét úgy, hogy az $ \underline{a}=(x,3)$ és $ \underline{b}=(5,2)$ vektorok egymásra merőlegesek legyenek.

b) Adjuk meg az $\underline{a}=(3,2) vektor +90°-os és -90°-os elforgatottját.

Megnézem, hogyan kell megoldani

4. 

a) Írjuk föl a $P(7,8,9)$ ponton átmenő és $\underline{v}= \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ irányvektorú egyenes egyenletét.

b) Írjuk föl a $P(3,5)$ ponton átmenő és a $4x+y=6$ egyenletű egyenesre merőleges egyenes síkbeli egyenletét.

c) Írjuk föl a $P(3,5,7)$ ponton átmenő és az $ \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-1}{9}$ egyenletrendszerű egyenesre merőleges sík térbeli egyenletét.

d) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

e) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

5. 

a) Adjuk meg az $\underline{a}= \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ és $\underline{b}= \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ vektorok vektoriális szorzatát.

b) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

c) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

6. 

a) Adjuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját.

\( e_1: \frac{x-7}{4} = \frac{y-9}{5} = \frac{z-4}{3} \)

\( e_2: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{5} = \frac{z+2}{3} \)

b) Adjuk meg a $7x-4y+2z=7$ és a $16-7y+z=21$ egyenletű síkok metszésvonalának egyenletrendszerét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7. A $2x+y-3z=2$ egyenletű $S_1$ és az $x+7y+3z=21$ egyenletű $S_2$ síkokról döntsük el, hogy

a) rajta van-e a $P(5; 1; 3)$ pont az $S_1$ és az $S_2$ metszésvonalán,

b) merőleges-e egymásra $S_1$ és $S_2$?

Megnézem, hogyan kell megoldani

8. Átmegy-e az origón az $S$ sík, amely tartalmazza a $P(2;-1;4)$ pontot és az $\frac{x-1}{4}=\frac{1-y}{5}=\frac{z-3}{6}$ egyenletrendszerű $e$ egyenest?

Megnézem, hogyan kell megoldani

9. Tartalmazza-e az $R(1;3;4)$ pontot az a sík, amelyet a $P(1;7;-1)$ és a $Q(11;9;-5)$ pontokat összekötő egyenes a $P$-ben merőlegesen döf?

Megnézem, hogyan kell megoldani

10. Az $e$ egyenesről tudjuk, hogy merőlegesen döfi az $x+2y+3z=6$ egyenletű síkot az $(1;1;1)$ pontban, az $f$ egyenesről pedig, hogy átmegy az $(5;2;-1)$ ponton és a $(13;4;-5)$ ponton. Döntsük el, hogy $e$-nek és $f$-nek van-e közös pontja.

Megnézem, hogyan kell megoldani

11. Van-e az $A(-1;-2;1)$, $B(3;1;3)$, és $C(7;6;3)$ pontokat tartalmazó síknak olyan pontja, amely az $y$-tengelyre esik? Ha igen, melyik?

Megnézem, hogyan kell megoldani

12. Az $e$ egyenes egyenletrendszere $x=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$, az $f$ egyenes egyenletrendszere pedig $\frac{x}{-2}=\frac{3-y}{6}=\frac{2-z}{10}$. Döntsük el, hogy $e$ és $f$ párhuzamosak-e. Ha igen, akkor határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely mindkettőt tartalmazza.

Megnézem, hogyan kell megoldani

13. Határozzuk meg az $x-4=\frac{y+5}{4}=\frac{2-z}{3}$ egyenletrendszerű $e$ egyenes minden olyan $P$ pontját, amelyre a $P$-t a $Q(7;12;4)$ ponttal összekötő $f$ egyenes merőleges $e$-re.

Megnézem, hogyan kell megoldani

14. A $p$ paraméter milyen értékére esnek egy síkba az $A(2;3;3)$, $B(3;4;1)$, $C(4;6;2)$, és $D(p;2;5)$ pontok?

Megnézem, hogyan kell megoldani

15. Párhuzamos-e az $\frac{5x+3}{10}=\frac{4-y}{5}=\frac{5-2z}{2}$ egyenletrendszerű egyenes a $6x+y+7z=91$, illetve az $5x+2y=79$ egyenletű síkok metszésvonalával?

Megnézem, hogyan kell megoldani

16. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely átmegy a $P(12;1;7)$ ponton és merőlegesen metszi az $x-3=\frac{y-2}{3}=\frac{-z-1}{4}$ egyenletrendszerű egyenest.

Megnézem, hogyan kell megoldani