Lineáris algebra epizód tartalma:
Szuper-érthetően elmagyarázzuk neked, hogy mik azok az alterek. | Vektorterek, Alterek zártak a műveletekre, Alteres feladatok. |
ALTEREK
A vektortérnek altere, ha és maga is vektortér a -beli műveletekre.
Az altér tehát egy olyan részhalmaza a vektortérnek, ami a vektortér összes tulajdonságát átörökíti. Teljesülnek benne a vektortér-axiómák és a műveletek.
Van egy érdekes tétel ami megkönnyíti annak eldöntését, hogy egy részhalmaz valóban altér-e. A tétel azt mondja, hogy elegendő csak a műveleteket ellenőrizni és ha azok működnek, vagyis nem vezetnek ki a részhalmazból, akkor ennyi elég is, ahhoz, hogy altér legyen.
A vektortérnek altere, ha -beli műveletek nem vezetnek ki -ből.
Ennek az a magyarázata, hogy ha a műveletek nem vezetnek ki, vagyis és is benne van -ben akkor a vektortér-axiómák automatikusan teljesülnek.
nézzük meg!
A kommutativitás, asszociativitás és disztributivitás a vektortér minden elemére, tehát a -beli elemekre is teljesül. A többi axióma pedig, lássuk csak:
Létezik nullelem -ben.
Hát persze, hogy létezik, mert benne van -ben és
Létezik ellentett -ben.
Ez is létezik, mert benne van -ben és
Végül pedig teljesül -ben,
mert ez ugye az egész vektortér minden elemére igaz.
Ezzel kiderült, hogy valóban elegendő csak annyit megvizsgálni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Nézzünk is meg egy ilyet!
Vizsgáljuk meg, hogy altere-e -nak, ha igen, adjunk meg egy bázist -ben.
Az előző tétel miatt elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Kezdjük az összeadással.
Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.
Hát ez probléma! Az összeadás úgy tűnik kivezet -ből.
A jelek szerint tehát nem altér.
Nézzünk meg egy másikat is!
Vizsgáljuk meg, hogy altere-e -nek, ha igen, adjunk meg egy bázist -ben.
Elegendő most is annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Kezdjük az összeadással.
Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.
itt
az összegük:
Mivel a két vektor összegére is teljesül a koordináták közti összefüggés, az összeadás nem vezet ki.
Lássuk mi a helyzet a -szorossal!
Úgy tűnik ez is stimmel, tehát altér.
A dimenzió a szabadon megadható paraméterek száma.
Két szabadon megadható paraméter van, az egyik az és akkor miatt már nem szabad, a másik pedig és akkor miatt már nem szabad.
A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végigjátsszuk az összes lehetséges módon.
A bázis tehát: