Lineáris algebra epizód tartalma:
Már mutatjuk is hogyan működik a Jacobi iteráció és hogyan lehet egyenletrendsezreket megoldani a Jacobi iteráció segítségével. Megnézünk egy példát, ahol lépésről lépésre követhető a Jacobi iteráció menete, azt is megtudjuk, hogy mikor kell leállni az iterációval, és azt is, hogy egyáltalán mi a feltétele annak, hogy az iteráció az egyenletrendszer megoldása felé konvergáljon.
Egyenletrendszerek megoldására nagyon sok módszer létezik.
Ami közös bennük, hogy mindegyik fárasztó és unalmas.
Túl sokat kell ugyanis számolni.
Most forradalmasítani fogjuk az egyenletrendszerek megoldását.
Minden egyenletből kifejezünk egy ismeretlent.
Az elsőből kifejezzük x1-et…
A másodikból x2-t…
És a harmadikból x3-at.
Most pedig elkezdünk iterálni.
Azzal kezdjük, hogy itt mindegyik ismeretlen helyére nullát írunk.
Kezdetnek mindegyik ismeretlen helyére nullát helyettesítünk.
És meg is van az első iterációs lépés.
Most azzal folytatjuk, hogy ezeket helyettesítjük be.
Aztán jön egy kis iteráció, ami az összes problémánkat megoldja.
Ezzel meg is van az iterációs sorozat első eleme.
Most pedig ezeket…
megint berakjuk szépen ide.
Így megkapjuk a sorozat második elemét.
Nem rosszak itt ezek az indexek…
De inkább rakjuk át őket ide.
Nehogy véletlenül összekeverjük ezekkel a másik indexekkel…
És most folytassuk az iterációt.
Már jön is az iterációs sorozat harmadik eleme.
Az általános tag pedig ezzel a remek kis rekurzióval írható le.
Minél több tagot számolunk ki…
Annál közelebb kerülünk az egyenletrendszer megoldásához.
És íme, a megoldás.
Na persze csak akkor, ha az iterációs sorozat konvergens.
Léteznek ugyanis olyan alattomos egyenletrendszerek, ahol az iterációs sorozat nem konvergál a megoldáshoz.
Az, hogy a sorozat konvergál-e vagy sem, a B mátrixon múlik.
Ezen a B mátrixon...
Az iterációs sorozat pontosan akkor konvergál az egyenletrendszer megoldásához, ha a B mátrix spektrálsugara 1-nél kisebb.
Egy mátrix spektrálsugarát úgy kapjuk meg, hogy vesszük a sajátértékeinek az abszolútértékét…
És ezek közül a legnagyobb a spektrálsugár.
Legyen A egy nxn-es reguláris mátrix, és az egyenletrendszer megoldása
Az
iterációt az egyenletrendszerrel konzisztensnek nevezzük, ha teljesül rá, hogy
Az iteráció pontosan akkor tart az egyenletrendszer megoldásához, ha
Az iterációs sorozat vektoros alakja így néz ki…
Az iterációs sorozat vektoros alakját úgy kapjuk meg…
…hogyha betesszük szépen ezeket egy-egy vektorba.
Ez pedig az iterációs sorozat vektoros alakja:
Az iterációt az eredeti egyenletrendszerrel konzisztensnek nevezzük, ha az egyenletrendszer megoldását ide behelyettesítve az egyenlőség teljesül.
Ezt a B mátrixot az egyenletrendszer együtthatómátrixából kényelmesen elő is tudjuk állítani.
A főátló elemeit betesszük ebbe a D mátrixba…
A főátló alatti elemeket az L-be…
A főátló felettieket pedig az U-ba.
És készen is van a B mátrix.
Az iteráció gyorsaságáért is a B mátrix felel.
A Banach fixponttétel alapján a konvergencia gyorsaságára a következő becslés adható:
Az iteráció gyorsasága:
Az egyenletrendszereknek ezt az iterációs megoldását Jacobi iterációnak nevezzük.
A Jacobi iterációt egy ügyes kis trükkel még hatékonyabbá lehet tenni.
A trükk lényege, hogy amikor az iteráció során valamelyik változónak megkaptuk az új értékét, azt rögtön fel is használjuk, nem várunk vele a következő iterációs ciklusig.
A Jacobi iteráció azzal kezdődött, hogy itt mindegyik változó helyére nullát írtunk.
De most, hogy megkaptuk x1 új értékét…
Ezt rögtön fel is használjuk.
Aztán kiszámoljuk x2 új értékét…
És felhasználjuk ezt is.
Ettől az új módszertől azt várjuk, hogy az iterációs sorozat gyorsabban fog konvergálni a megoldáshoz.
Azt, hogy ez végül tényleg így lesz-e, hamarosan megtudjuk.
Jacobi iteráció:
.