Itt jön egy újabb iterációs módszer, amit Richardson iterációnak neveztek el.

Az iteráció konvergenciája mindig ezen a B mátrixon múlik…
A Richardson iteráció lényege pedig az, hogy nem bízza a B mátrixot a véletlenre.

Itt van az eredeti egyenletrendszer…

És beszorozzuk valami nem nulla számmal.
Aztán még rendezgetünk egy kicsit…

És meg is van a Richardson iteráció általános alakja.

A dolog azért nagyon ravasz, mert így a B mátrixot kedvünk szerint tudjuk úgy alakítgatni, hogy a spektrálsugara 1-nél kisebb legyen.

Próbáljuk ki a Richardson iterációt ennek az egyenletrendszernek a megoldására.

Elkészítjük a Richardson iteráció B mátrixát:

És most kipróbálunk néhány -t.

A cél az, hogy a B mátrix spektrálsugara 1-nél kisebb legyen.
A B mátrix spektrálsugara a sajátértékek abszolútértékei közül a legnagyobb.

Hogyha például …

Akkor a spektrálsugár…

A B mátrix sajátértékeinek abszolútértékei közül a legnagyobb.

Ezek itt a sajátértékek…
És a sajátértékek abszolútértékei közül a legnagyobb…
Ez lesz a spektrálsugár.

…

Hát, ez sajna 1-nél nagyobb, úgyhogy az iteráció divergens.

Nem baj, akkor keresünk másik -t.

Nézzük, mi van akkor, ha mondjuk .

Megint kiszámoljuk a sajátértékeket.

És a spektrálsugár…
Még mindig 1-nél nagyobb.

Hát, még az se jó.

Próbáljuk ki az értéket is…

És bumm. Ez jó.

A spektrálsugár végre 1-nél kisebb.

Az iteráció konvergens lesz, a rekurziós képlet pedig:

Nézzünk meg még egy ilyet.

Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert a Richardson iterációval.

Lássuk a B mátrixot:

És most jó lenne, ha nem kellene annyit szenvednünk az –val, mint az előbb…

Szerencsére itt jön erre egy remek kis feltétel.

Ha az egyenletrendszer együtthatómátrixa nxn-es szimmetrikus pozitív definit mátrix, és sajátértékei akkor a Richardson iteráció ezekre az paraméterekre konvergens:

Az optimális paraméter pedig:

Az optimális paraméterhez tehát szükségünk van az A mátrix sajátértékeire.

És most jöhet az iteráció.

Az iteráció szép lassan konvergál a megoldáshoz.
Hogyha öt egymást követő tag már alig tér el egymástól, akkor szinte biztosak lehetünk benne, hogy meg is van a megoldás.