Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Lineáris algebra

Kategóriák
  • Mátrixok és vektorok
  • Egy kis geometria
  • Vektorterek, független és összefüggő vektorok
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
  • Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
  • Sajátérték, sajátvektor, sajátfelbontás
  • Lineáris leképezések
  • Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
  • Egyenletrendszerek optimális megoldása, pszeudoinverz
  • Vektornorma, mátrixnorma, mátrixok kondíciószáma
  • Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció
  • Mátrixok LU-felbontása és QR-felbontása
  • Iterációs módszerek egyenletrendszerek megoldására
  • Komplex számok
  • Polinomok
  • Interpolációs polinomok
  • Oszthatóság
  • Euklideszi algoritmus, Diofantoszi egyenletek
  • Kongruenciák, Euler-Fermat tétel
  • Csoportok, gyűrűk, testek

Komplex számok

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Mik azok a komplex számok
02
 
Műveletek komplex számokkal
03
 
Faktorizáció
04
 
A komplex számok abszolútértéke, halmazok a komplex számsíkon
05
 
A trigonometrikus alak
06
 
Gyökvonás komplexben
07
 
Az exponenciális alak
08
 
n-edik egységgyökök
09
 
Újabb n-edik egységgyökök
10
 
FELADAT | Komplex számok
11
 
FELADAT | Komplex számok
12
 
FELADAT | Komplex számok
13
 
FELADAT | Komplex számok
14
 
FELADAT | Komplex számok
15
 
FELADAT | Komplex számok
16
 
FELADAT | Komplex számok
17
 
FELADAT | Komplex számok

Imaginárius szám

Az imaginárius szám egy olyan komplex szám, aminek a négyzete $-1$ és $i$-vel jelöljük, azaz

\( i^2 = -1 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex szám

A komplex számok olyan számok, amelyek valós és képzetes részből épülnek fel.

\( z = a + bi \)

Itt $a$ és $b$ valós számok, az $i$ pedig az imaginárius egység, ami azt tudja, hogy $i^2 = -1 $.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex számok összeadása és kivonása

Van itt két komplex szám: $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$

A két komplex szám összege:
\( z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i \)

A két komplex szám különbsége:
\( z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i \)

 

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex számok szorzása

Van itt két komplex szám: $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$


A két komplex szám szorzata:
\(z_1 \cdot z_2 =(a+bi)\cdot (c+di)=a\cdot c-b\cdot d+(a\cdot d+b\cdot c)i \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex számsík

A valós számokat számegyenesre tudjuk képezni, a komplex számokat pedig a komplex számsíkra, ami egy olyan koordinátarendszerként képzelhető el, melynek $x$ tengelyén vannak a valós számok, ezért valós tengelynek nevezzük, az $y$ tengelyén pedig a tisztán képzetes számok, így ennek neve a képzetes tengely.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex számok és a komplex számok konjugáltja

Van itt ez a komplex szám:

\( z=a+bi \)

Komplex számoknak van ilyenje, hogy imaginárius egység:

\( i^2=-1 \)

Komplex számok konjugáltja:

\( \overline{z} = a-bi \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex szám abszolútértéke

Van itt ez a komplex szám: $ z= a+bi $

Ennek a komplex számnak az abszolútértéke:

\( \mid z \mid = \sqrt{a^2+b^2} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex számok hatványozása trigonometrikus alakban

Van itt ez a komplex szám trigonometrikus alakban: $r \left( \cos{\theta} + i \sin{ \theta} \right) $

Ekkor ennek a komplex számnak az $n$-edik hatványa:

\( z^n = r^n \left( \cos{n \theta} + i \sin{ n \theta} \right) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex számok szorzása és osztása trigonometrikus alakban

Van itt két komplex szám trigonometrikus alakban: $ z_1 = r_1 \left( \cos{ \theta_1} + i \sin{\theta_1} \right)$, $z_2 = r_2 \left( \cos{ \theta_2} + i \sin{\theta_2} \right) $

Komplex számok szorzása trigonometrikus alakban:

\( z_1 z_2 = r_1 r_2 \left( \cos{ \left( \theta_1 +\theta_2 \right) } + i \sin{ \left( \theta_1 + \theta_2 \right)} \right) \)

Komplex számok osztása trigonometrikus alakban:

\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left( \cos{ \left( \theta_1 - \theta_2 \right)} + i \sin{ \left( \theta_1 - \theta_2 \right)} \right) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex számok trigonometrikus alakja

A $z=a+bi$ komplex szám trigonometrikus alakja:

\( z=r \left( \cos{ \theta } + i \sin{ \theta} \right) \), ahol

\( r=\sqrt{a^2+b^2} \quad \cos{\theta }=\frac{a}{r} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gyökvonás komplex számok trigonometrikus alakjában

Van itt ez a komplex szám trigonometrikus alakban: $z=r \left( \cos{\theta} + i \sin{\theta} \right) $

Ekkor ennek a komplex számnak az $n$-edik gyöke:

\( \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos{ \frac{\theta + 2k\pi}{n}} + i \sin{ \frac{ \theta + 2k\pi}{n}} \right) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gyökvonás komplex számok exponenciális alakjában

Van itt ez a komplex szám exponenciális alakban: $z=r e^{i \theta}$

Ekkor ennek a komplex számnak az $n$-edik gyöke:

\( \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex számok hatványozása exponenciális alakban

Van itt ez a komplex szám exponenciális alakban: $ z=a+bi$

Ekkor ennek a komplex számnak az $n$-edik hatványa:

\( z^n = r^n e^{n i \theta} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Komplex számok szorzása és osztása exponenciális alakban

Van itt két komplex szám exponenciális alakban: $ z_1 = r_1 e^{i \theta_1}$,  $z_2 = r_2 e^{i \theta_2} $

Komplex számok szorzása exponenciális alakban:

\( z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i \left( \theta_1 + \theta_2 \right)} \)

Komplex számok osztása exponenciális alakban:

\( \frac{z_1}{z_2}  = \frac{r_1}{r_2} e^{i \left( \theta_1 - \theta_2 \right)} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Van itt két komplex szám: $z_1=4+3i$, $z_2=1+2i$.

˙\( z_1+z_2=? \qquad z_1 \cdot z_2 = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Van itt két komplex szám: $z_1=2+3i$, $z_2=1-2i$.

˙\( z_1+z_2=? \qquad z_1 - z_2 = ?  \qquad z_1 \cdot z_2 = ? \qquad \frac{z_1}{z_2}=? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Alakítsuk szorzattá az alábbi polinomokat.

a) \( x^2-9 \)

b) \( x^2+4 \)

c) \( x^4-81 \)

d) Oldjuk meg az alábbi másodokú egyenletet.

\( x^2+6x+13=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Hol helyezkednek el a komplex számsíkon azok a komplex számok, amelyekre

a)  $ |z-i| \leq |z+3| $

b) $ |z-3+i|>2$

c) $ |z+6+3i|>|2z|$

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Végezzük el az alábbi műveleteket.

a)  \( (1+i)^6=? \)

b) \( \left( 1- \sqrt{3}i \right)^3 (-1+i)^2 = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Adjuk meg a $z=1+\sqrt{3}i$ komplex szám ötödik gyökét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

 

a) \( z=1+i \qquad z^4 =? \)

b) Vonjunk a $z=1-\sqrt{3}i$ komplex számból harmadik gyököt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Adjuk meg a 8-adik egységgyököket

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Mennyi lesz az $n$-edik egységgyökök szorzata és összege?

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Végezzük el a következő műveleteket.

a) \( \sqrt[5]{ \frac{-2+6i}{1+2i} } \)

b) \( (1+i)^4 \left( \sqrt{3} + i \right)^5 \)

c)  \( \frac{i}{1+\sqrt{3}i} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!

a) \( (6-i)^2 z+9+2i^3=\frac{-34i}{5-3i} \)

b) \( 4z^2+4z+17=0 \)

c)  \( z^2+6i=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Végezzük el a következő műveleteket.

a) \( \left( \frac{-9+13i}{4-3i} \right)^{10} \)

b) \( \sqrt[4]{ \frac{16}{2-2i} \cdot (-1-i)^3 } \)

c)  \( 2i \cdot ( \cos{80°}+i \sin{80°} ) \cdot \left( \sqrt{5}-i\sqrt{15} \right)^{10} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!

a) \( \left( z^4-i \right) \cdot \left( z^2+7 \right) = 0 \)

b) \( \left( 2+\sqrt{3}i \right) \cdot z^5 + 2 -\sqrt{3}i = -3 \)

c)  \( 2z^6+4\sqrt{2}z^3 +8 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

 

a) Adjuk meg exponenciális alakba: \( -\sqrt{3}+i \)

b) Határozzuk meg az alábbi komplex szám valós és képzetes részének összegét.

\( (1+i)^{12} + \frac{ \sqrt{3} + i }{ (1-i)(\sqrt{3}-i)} \)

c) Adjuk meg a \( \left( \sqrt{2} \frac{i}{1+i} \right)^{999} \) komplex számot kanonikus alakban!

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

 

a) Egy a komplex számsíkon elhelyezkedő szabályos háromszög középpontja az origó, egyik csúcsa \( z_1 = 1+i \). Adjuk meg a további csúcsait!

b) Írjuk fel a komplex síkon annak a szabályos háromszögnek a csúcsait algebrai alakban, amelynek középpontja az origó, és egyik csúcsa a \( z_1 = 1+2i \) pont!

c) Adjuk meg az összes olyan komplex számot, amelynek az egyik hetedik gyöke megegyezik az egyik harmadik gyökével!

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!

a) \( iz^3 = \frac{1}{2} \cdot (1-i)^8 \)

b) \( (1 + i^{1001} + i \cdot z + z)( z^2 + 2z + 10) = 0 \) 

c) \( z^6 - \frac{3-i}{2+i}z^2 = 0 \)

d) \( z^6 + 7z^3 - 8 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!

a) \( z-|z|=1+i \)

b) \( |z| + z = 2+i \) 

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Mik azok a komplex számok

Lássuk, mik azok a komplex számok.

Ehhez előszöris beszélgessünk egy kicsit a számokról.

Ez itt például 3.

Ez pedig 4.

És néha sajnos szükség van negatív számokra is.

Aztán fölmerülhet az igény olyan számokra is, amelyek arányokat fejeznek ki.

Ezeket racionális számoknak nevezzük.

Mondjuk ennek az egyenletnek a megoldása:

Vannak aztán olyan egyenletek, amiknek a megoldásai nem racionális számok.

Így megjelennek az irracionális számok, amik feltöltik a racionális számok közötti hézagokat a számegyenesen.

És ezzel eljutottunk a valós számokhoz. A számegyenes minden pontjában egy valós szám van.

De bizonyos esetekben - főleg ha fizikusok is felbukkannak a közelünkben - olyan számokra is szükségünk van, amelyek meglehetősen szokatlan dolgokat tudnak.

Ilyeneket, mint például ez:

Így hirtelen nem sok olyan számot tudunk mondani ami ezt tudná, mert ugye  

Ezeket a fura számokat, képzetes számoknak nevezték el.

Mivel pedig a valós számok már minden helyet elfoglaltak a számegyenesen, a képzetes számoknak egy erre merőleges tengelyen tudunk helyet szorítani.

Az imaginárius tengely egysége az .

És legfontosabb tulajdonsága, hogy .

Azokat a számokat, amelyek valós és imaginárius számokból tevődnek össze, komplex számoknak nevezzük.

A komplex számok tehát ilyen alakú számok, és az úgynevezett komplex számsíkon helyezkednek el.

Van itt két komplex szám

és most nézzük meg, hogyan kell ezeket összeadni vagy éppen összeszorozni.

Összeadásnál egyszerűen összeadjuk a valós részeket

és a képzetes részeket.

A szorzás már izgalmasabb.

De .

A legviccesebb pedig az osztás.

Nos ezzel fogjuk folytatni…

A komplex számok gondolata azon csalódottságunkból indult ki, hogy az

egyenletnek nincs valós megoldása.

Ezt a kis problémát akár egy legyintéssel is elintézhettük volna, de kiderült, hogy főleg fizikai kérdések megoldásához hasznos lenne, ha valahogy mégis varázsolnánk valamilyen megoldást.

Így kerültek képbe a mi kis képzeletbeli barátaink az imaginárius számok.

Lakóhelyük a valós számegyenesre merőleges imaginárius tengelyen található…

és legfőbb tulajdonságuk, hogy

.

A valós és képzetes számokból összeálló alakú számokat komplex számoknak nevezzük.

Most pedig lássuk, milyen műveleteket végezhetünk a komplex számokkal.

Van itt aztán egy fura dolog, amit úgy hívnak, hogy konjugált.

A  komplex szám konjugáltja .

Ez a konjugálás tehát egy tükrözés a valós tengelyre.

Remek, és most jöhet a szorzás.

Nos az osztás érdekes lesz.


Műveletek komplex számokkal

Nos az osztás érdekes lesz.

Megpróbáljuk eltüntetni a nevezőből az -t.

Ehhez segítségül hívjuk a konjugáltját.

Ez a kis trükk a konjugálttal mindig működik.

Ha egy komplex számot megszorzunk a konjugáltjával, akkor mindig valós számot kapunk:

És akkor is, ha összeadjuk őket:

Most pedig jó lenne, ha végre valami hasznunk is lenne ezekből a komplex számokból.


Faktorizáció

Van itt egy ilyen… nos egy polinom, és próbáljuk meg felbontani elsőfokú tényezők szorzatára.

Épp itt jön ez az azonosság:

Most próbáljuk meg szorzattá alakítani ezt:

Olyan azonosság nincs, hogy

ezért megpróbáljuk itt is az előzőt használni egy kis bűvészkedéssel.

Lássunk most egy bonyolultabbat.

A komplex számok egyik jelentős haszna, hogy a segítségükkel minden polinom felbontható elsőfokú tényezők szorzatára.

Ezt nevezik az algebra alaptételének.

Most pedig oldjunk meg néhány, korábban reménytelennek hitt másodfokú egyenletet.

Itt jön a megoldóképlet:

Egy komplex szám abszolútértéke a nullától való távolsága.

Ezt a távolságot egy Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk kiszámolni.

Nézzünk meg még egyet.

A megoldóképlet helyett itt megpróbálunk szorzattá alakítani.

Most pedig lássuk mire jók még ezek a komplex számok.


A komplex számok abszolútértéke, halmazok a komplex számsíkon

Próbáljuk meg ábrázolni a komplex számsíkon azokat a komplex számokat, amelyekre:

Az algebrai alakot használjuk,

vagyis  

És most pedig koordinátageometriai rémtörténetek következnek.

Az

egy origó középpontú és r sugarú kör egyenlete.

Ez alapján az  szintén egy kör, aminek a középpontja az origó és sugara r=2.

Az  pedig azt jelenti, hogy a kör és a belseje.

Koordinátageometriai rémtörténetek:

Az egyenes egyenlete:

A kör egyenlete:

Lássuk hol helyezkednek el a komplex számsíkon azok a komplex számok, amelyekre:

Az algebrai alakot használjuk, vagyis mindenhol z helyére

azt írjuk, hogy  

Az egyenlőtlenség az egyenes valamelyik oldalát jelenti.

Nézzük meg melyiket.

Mindig úgy érdemes kísérletezni, hogy a=0 és b=0.

Ez úgy tűnik stimmel, tehát az egyenesnek ez az oldala kell.

Nézzük aztán, mi a helyzet ezzel:

Az egyenlőtlenség a körvonal valamelyik oldalát jelenti.

Vagy a kör belsejét vagy a kör külsejét.

Most is úgy érdemes kísérletezni, hogy a=0 és b=0.

Úgy tűnik, a külseje kell.

És mivel az egyenlőség nincs megengedve,

ezért a körvonal nem tartozik hozzá a tartományhoz.

Végül lássuk mit tud ez:

Szükség lesz egy kis teljes négyzetté kiegészítésre.


A trigonometrikus alak

Van egy nagy probléma a komplex számok algebrai alakjával. Mégpedig az, hogy szinte lehetetlen hatványozni őket.

Próbáljuk csak meg kiszámolni, hogy mennyi

Nos ennyi.

De hát ez csak valami rossz vicc lehet…

Kell, hogy legyen valami egyszerű módszer a komplex számok hatványozására.

Ez itt a komplex számok szokásos algebrai alakja,

és most lecseréljük egy trigonometrikus alakra.

A fő gondolata ennek a trigonometrikus alaknak az, hogy a komplex számokat két új jellemző segítségével írja le, az egyik az abszolútérték, a másik a szög.

Az abszolútértéket r-el fogjuk jelölni,

a szöget pedig... nos hát a szöget pedig thétával. Íme itt is van:

A trigonometrikus alak meglepően egyszerűvé teszi a komplex számok szorzását,

és osztását.

Most pedig térjünk vissza a hatványozás kérdéséhez.

Szeretnénk kiszámolni, hogy mennyi .

Itt jön a trigonometrikus alak.

És most elkezdjük hatványozni.

Az n-edik hatványt úgy kapjuk, hogy r-et n-edikre emeljük, a szöget pedig n-nel szorozzuk:

Így aztán

amit, ha kedvünk van, visszaírhatunk algebrai alakba.

És most próbáljuk meg kiszámolni ezt:

Lássuk először a trigonometrikus alakokat.

De van itt egy kis gubanc.

Ennek az egyenletnek, hogy

van egy másik megoldása is.

Azt, hogy a kettő közül melyikre van szükségünk, eldönthetjük pénzfeldobással is,

de jobb ha inkább készítünk egy ábrát.

Nos, a jelek szerint a negatív kell.

És most jöhet a szorzás.


Gyökvonás komplexben

A valós és a komplex gyökvonás közti különbségek.

Most bűvészmutatványok következnek:

A kérdés az, hogy hol van itt a trükk.

A helyzet az, hogy nincs trükk.

Amikor annak idején definiáltuk, hogy mit jelent például az, hogy , akkor azt mondtuk, hogy .

Annak ellenére, hogy van egy másik olyan szám is, amit négyzetre emelve 4-et kapunk, ez pedig a mínusz 2.

Komplexben a helyzet sokkal viccesebb.

Mert például

Igen ám, de

sőt

Így aztán négy olyan szám is van, amit negyedikre emelve 1-et kapunk.

Ez a kis kellemetlenség arra sarkall bennünket, hogy komplexben másként definiáljuk a gyökvonást, mint valósban.

Valósban egy szám n-edik gyöke mindig pontosan egy darab számot jelentett, komplexben viszont minden olyan számot amelynek n-edik hatványa az eredeti szám.

Tehát például

valósban               komplexben

A   komplex szám n-edik gyöke az összes olyan

komplex szám, ami azt tudja, hogy

 és      

Itt r a komplex szám abszolútértéke, ami egy valós szám.

Ez tehát egy szokásos valós gyökvonás - olyan, mint régen.

GYÖKVONÁS

Van itt ez a komplex szám:

És nézzük meg mi történik vele, ha mondjuk ötödik gyököt vonunk belőle.

Előszöris a trigonometrikus alakra lesz szükség.

Aztán jöhet a gyökvonás.

Ez öt darab komplex szám.

A k=5 már nem érdekes. Ilyenkor visszakapjuk a k=0 esetet.

Hát ennyit a gyökvonásról.


Az exponenciális alak

A komplex számoknak van még egy nagyon vicces alakja, amit exponenciális alaknak nevezünk.

Íme, itt is van:

Hogy mire jó az exponenciális alak?

Arra, hogy még egyszerűbbé tegye a komplexben végzett műveleteket.

Lássuk hogyan könnyíti meg az életünket az exponenciális alak.

Számoljuk ki például, hogy mennyi z4 az exponenciális alak segítségével.

Az úgynevezett Euler formula alapján

Itt van aztán egy másik ügy. Vonjunk ebből a komplex számból harmadik gyököt.


n-edik egységgyökök

Újabb n-edik egységgyökök

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim