Lineáris algebra epizód tartalma:
Megmutatjuk, hogyan kell n-edik gyököt vonni komplex számokból. A valós és a komplex gyökvonás közötti különbségek, Komplex számok trigonometrikus alakja, A komplex n-edik gyök, Szabályos n-szög.
A valós és a komplex gyökvonás közti különbségek.
Most bűvészmutatványok következnek:
A kérdés az, hogy hol van itt a trükk.
A helyzet az, hogy nincs trükk.
Amikor annak idején definiáltuk, hogy mit jelent például az, hogy , akkor azt mondtuk, hogy .
Annak ellenére, hogy van egy másik olyan szám is, amit négyzetre emelve 4-et kapunk, ez pedig a mínusz 2.
Komplexben a helyzet sokkal viccesebb.
Mert például
Igen ám, de
sőt
Így aztán négy olyan szám is van, amit negyedikre emelve 1-et kapunk.
Ez a kis kellemetlenség arra sarkall bennünket, hogy komplexben másként definiáljuk a gyökvonást, mint valósban.
Valósban egy szám n-edik gyöke mindig pontosan egy darab számot jelentett, komplexben viszont minden olyan számot amelynek n-edik hatványa az eredeti szám.
Tehát például
valósban komplexben
A komplex szám n-edik gyöke az összes olyan
komplex szám, ami azt tudja, hogy
és
Itt r a komplex szám abszolútértéke, ami egy valós szám.
Ez tehát egy szokásos valós gyökvonás - olyan, mint régen.
GYÖKVONÁS
Van itt ez a komplex szám:
És nézzük meg mi történik vele, ha mondjuk ötödik gyököt vonunk belőle.
Előszöris a trigonometrikus alakra lesz szükség.
Aztán jöhet a gyökvonás.
Ez öt darab komplex szám.
A k=5 már nem érdekes. Ilyenkor visszakapjuk a k=0 esetet.
Hát ennyit a gyökvonásról.