Lineáris algebra képsor tartalma:

Itt egyszerű példákon keresztül elmeséljük, hogyan kell kiszámolni egy mátrix inverzét. A négyzetes mátrixok inverzével fogjuk kezdeni. | Mátrix inverze, Mátrix invertálhatósága, Inverz mátrix, Inverz mátrix kiszámolása, Inverz mátrix feladatok megoldással, Mátrix inverzének kiszámolása, Invertálható mátrixok, Nem invertálható mátrixok, Bal inverz, Jobb inverz, Az inverz kiszámolása. |

A képsor tartalma

Most egy nagyon izgalmas dologgal, a mátrixok inverzével fogunk foglalkozni.

Az -es mátrix inverze egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy

A mátrixok szorzása nem kommutatív, tehát ha a szereplőket megcseréljük,

akkor lehet, hogy valami egészen más mátrixszal kell az -t szorozni ahhoz, hogy az egységmátrixot kapjuk.

Mindkét mátrixot inverznek nevezzük

ilyenkor jobb oldali inverz

ilyenkor bal oldali inverz

Az -es mátrixoknak azonban megvan az a remek tulajdonsága,

hogy a szorzás sorrendje az inverznél mindegy, vagyis

Tehát a jobb és bal inverz ilyenkor megegyezik.

Mi most ilyen -es mátrixok inverzét fogjuk kiszámolni,

és maradjunk ennél a sorrendnél.

Itt van például egy mátrix:

Próbáljuk meg kiszámolni az inverzét.

Egy olyan mátrixot kell találnunk, hogy az eredeti mátrixszal megszorozva az egységmátrixot kapjuk.

A kérdőjelek nem igazán segítenek a válasz megtalálásában.

Írhatnánk helyette betűket, hogy a, b, c, meg ilyenek.

Vagy hívhatnánk az elemeit a szokásos jelöléssel úgy, hogy meg meg stb.

De inkább egy másfajta jelölést fogunk használni, és hamarosan az is kiderül majd, hogy

miért.

A kettős indexezés túl bonyolult, ezért legyen csak , és .

Az oszlopokat pedig színekkel különböztessük meg.

Ez volna tehát az inverz mátrix. Már csak azt kell kiszámolni, hogy mennyi , és

Ehhez végezzük el a szorzást!

A dolog picit bonyolultnak tűnik, de csak első ránézésre.

Bármi legyen is az inverz mátrix, az elemeire teljesülnie kell ennek a három egyenletrendszernek.

Oldjuk őket meg! Ehhez elvileg három külön táblázatra van szükségünk.

Valójában elég egyetlen táblázat.

A három egyenletrendszert tehát egyszerre oldjuk meg, a szokásos bázistranszformációval.

A bázistranszformáció lépéseit most nem részletezzük, minden pontosan úgy megy, ahogyan eddig. Aki esetleg úgy érzi, hogy elhomályosultak az emlékei ezzel kapcsolatban, az nézze meg a bázistranszformációról szóló részt.

A kapott megoldás éppen az inverz.

Csak annyi dolgunk van, hogy

sorba rakjuk a sorokat:

Az inverz kiszámolása valójában tehát rettentő egyszerű. Itt van mondjuk ez a mátrix:

Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot, a szokásos táblázatba,

és mellé írjuk az egységmátrixot.

Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.

 

Mátrix inverze négyzetes mátrixoknál (Bázistranszf.)

16
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Itt egyszerű példákon keresztül elmeséljük, hogyan kell kiszámolni egy mátrix inverzét. A négyzetes mátrixok inverzével fogjuk kezdeni. | Mátrix inverze, Mátrix invertálhatósága, Inverz mátrix, Inverz mátrix kiszámolása, Inverz mátrix feladatok megoldással, Mátrix inverzének kiszámolása, Invertálható mátrixok, Nem invertálható mátrixok, Bal inverz, Jobb inverz, Az inverz kiszámolása. |

Itt jön egy fantasztikus
Lineáris algebra képsor.
Végül is miért ne néznél meg
még egy képsort?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!