Lineáris leképezések

1. Adjuk meg az x tengelyre való tükrözés mátrixát $R^2$-ben.

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Tükrözzük az x tengelyre a $\underline{v}$ vektort, ha

a) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

b) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Megnézem, hogyan kell megoldani


3.  Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

a) \( R^2 \to R^2 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+1 \\ b \end{pmatrix} \qquad a,b \in R \)

b) \( R^2 \to R^2 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ 0 \end{pmatrix} \qquad a,b \in R \)

c) \( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b \\ a\cdot b \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4.  Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-a \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait, ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját:

\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-a \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát, adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait, ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját.

\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-c \\ c-a \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Adjuk meg a $R^2$-ben az x tengelyre tükrözés, az origó középpontú $\alpha$-szögű forgatás, és az origóra tükrözés mátrixait.

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. A sík transzformációi közül melyek dimenzió tartó transzformációk? 

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Döntsük el, hogy az alábbi mátrixok közül melyek hasonlóak.

\( A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)

\( C= \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 &1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


10.

a) Létezik-e olyan $\varphi: R^2 \to R^2$ lineáris transzformáció, mely az $(1,0)$ vektorhoz, az $(1,1)$ vektorhoz, és az $(1,2)$ vektorhoz is az $(1,2)$ vektort rendeli? Ha igen, adjuk meg a mátrixát.

b) Létezik-e olyan $\varphi: R^2 \to R^2$ lineáris transzformáció, mely az $(1,3)$ vektorhoz, az $(5,4)$ vektorhoz, és a $(4,3)$ vektorhoz is a $(2,1)$ vektort rendeli? Ha igen, adjuk meg a mátrixát.

c) Létezik-e olyan $\varphi: R^2 \to R^3$ lineáris transzformáció, mely az $(1,2)$ vektorhoz, a $(2,5,2)$ vektorhoz, és a $(2,1)$ vektorhoz is a $(4,1,1)$ vektort rendeli? Ha igen, adjuk meg a mátrixát.

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. A $ \varphi: R^2 \to R^2$ lineáris transzformáció az $(1,2)$ és a $(3,4)$ vektorhoz is az $(5,6)$ vektort rendeli. Írjuk fel $\varphi$ mátrixát, majd határozzuk meg $ \dim{Im\varphi}$ és $ \dim{Ker\varphi}$ értékét.

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Adott egy $ \varphi: R^3 \to R^3$ lineáris transzformáció mátrixa. Határozzuk meg $ \dim{Im\varphi}$ és $ \dim{Ker\varphi}$ értékét.

\( \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

 A lineáris leképzések is rendkívül fontosak a lineáris algebrában. Most elmeséljük, hogyan kell mátrixaikat megalkotni.  Lineáris transzformációk, Transzformációk mátrixa, Magtér, Képtér, Dimenziótétel, X tengelyre tükrözés mátrixa, Bázisvektor, Bázisvektorok képe, Inverz transzformáció mátrixa. Megvizsgálunk néhány leképzést, hogy lineáris-e. Izgalmas lineáris transzformációk, Képtér, Magtér, Transzformációk mátrixa. Könnyedén elmagyarázzuk neked, hogy mi az a sajátbázis, diagonális alak. Diagonális alak előállítása, Transzformációk mátrixa, Képtér, Magtér, Dimenziótétel, X tengelyre tükrözés mátrixa, Bázisvektor, Inverz transzformáció mátrixa. Megmutatjuk, hogy mi az a HOM V1, V2. Lineáris transzformációk, Transzformációk mátrixa, Képtér, Magtér, Dimenziótétel, X tengelyre tükrözés mátrixa, Origó körüli forgatás mátrixa, Projekciók, Projekciók mátrixa, Bázisvektor, Inverz transzformációk mátrixa.Végezetül egyszerű példákon keresztül megmutatjuk, hogy mit jelent az, hogy két mátrix hasonló. Hasonló mátrixok, Sajátvektor, Sajátérték, Sajátbázis, Diagonális alak, Transzformációk mátrixa, Képtér, Magtér, Dimenziótétel. 



Lineáris leképezések és mátrixaik

A  leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely  vektorokra és  számra teljesül, hogy

Minden  lineáris leképezés valahogy így néz ki:

Ha  akkor a lineáris leképezést lineáris transzformációnak nevezzük.

A leképezés a  vektoraihoz rendel -beli vektorokat, de egyáltalán nem biztos, hogy így az egész  előáll képként. A -nek azt a részét, amely a leképezés során előáll, a leképezés képterének nevezzük és -vel jelöljük.

A nullvektorból minden lineáris leképezés nullvektort csinál, vagyis képe mindig ,

de előfordulhat, hogy más -beli vektorok képe is nullvektor lesz.

Ezen vektorok halmazát nevezzük a leképezés magterének és -vel jelöljük.

A magtér és a képtér nem csupán részhalmazok -ben és -ben, hanem alterek is.  altér -ben és  altér -ben.

A képtér és a magtér dimenziója összesen éppen kiadja  dimenzióját.

Ezt az összefüggést dimenziótételnek nevezzük:

DIMENZIÓTÉTEL:

mateking.hu

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!

Vegyük például a tengelyes tükrözést.

Ez egy  lineáris leképezés.

A tükrözés mátrixát úgy kapjuk,

hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk: 

Vegyük például a tengelyes tükrözést. Ez egy  lineáris leképezés.

Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.

Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát, akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:

A szokásos bázis alapján a tükrözés mátrixát úgy kapjuk, hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk: 

Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.

Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát,

akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:

A transzformáció mátrixa most is úgy keletkezik,

hogy egymás mellé írjuk a bázisvektorok képeit.

Van itt azonban egy izgalmas fordulat.

Addig minden stimmel, hogy a bázisvektorok képe:

Addig minden stimmel, hogy   megkaptuk az új bázisvektorok képeit.

Csakhogy itt az új bázisvektorok képeit még mindig a régi bázisban adtuk meg.

Nekünk azonban a bázisvektorok képeit is az új bázisvektorok segítségével kell megadnunk.

Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az  és  vektorokból,

hogy előálljanak  és  képei.

Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az  és  vektorokból, hogy előálljanak  és  képei.

Ezúttal a szerencse megsegít bennünket, az  vektor képe ugyanis

ami úgy tűnik éppen  mínuszegyszerese.

Az  vektor képe tehát úgy jön ki, hogy -ből 0 darab, -ből pedig -1 darab kell.

Lássuk mi a helyzet az  vektor képével. Itt is szerencsénk van.

ami éppen az eredeti  mínuszegyszerese, tehát -ből -1 darab, -ből 0 darab kell.

Lássuk a transzformáció mátrixát ebben az új bázisban!

A tükrözés mátrixa most is

úgy keletkezik, hogy egymás mellé

írjuk a bázisvektorok képeit.

Csakhogy új bázisvektorok képeinek

ezeket az új koordinátáit kell írnunk

a tükrözés mátrixába.

Na ezt kell írnunk a mátrix első oszlopába, ahova az  vektor képe kerül.

Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.

Az  vektor képe szintén szerencsésen előállítható, ugyanis

ami pedig éppen az eredeti  mínuszegyszerese, tehát -ből -1db és -ből 0db kell.

Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.

Az új bázisban felírt mátrix:

Mindezt egyszerűbben is megkaphatjuk egy remek kis összefüggés segítségével.

ahol  az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban. Mit is jelent mindez?

Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez

és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos  mátrix tehát

                RÉGI BÁZIS

                ÚJ BÁZIS

A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:

A leképezés mátrixa sokkal többet is tud annál, minthogy egyszerűen leírja magát a leképezést.

Minden  vektorról megmondja, hogy mi lesz a vektor képe:

A  vektor képe úgy lesz, hogy egyszerűen

megszorozzuk a vektort a leképezés mátrixával.

Nézzük meg például mi lesz a tükrözés során

ebből a remek vektorból:

A tükrözés mátrixa normál bázisban:

A  vektor képe:

És tényleg!

Nézzük meg mi történik ugyanezzel a vektorral a másik bázisban.

Az új bázisban  koordinátái megváltoznak.

A  vektor éppen kétszerese -nek,

ezért az első koordinátája kettő,

a második koordináta pedig nulla.

A tükrözés mátrixa az új bázisban:

vagyis nulla darab -re és

–2 darab -re van szükség

Lássuk a leképezés mátrixának még néhány további izgalmas tulajdonságát.

Ha egy  leképezés mátrixa  akkor

a leképezés megfordításának mátrixa

A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy,

hogy a leképezés inverze.

A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy, hogy a leképezés inverze.

Egy leképezésnek pontosan akkor létezik inverze, ha a  mátrixnak létezik inverze,

és az inverz leképezés mátrixa:

  mátrixa 

Ha van két leképezés, mondjuk  és  a leképezések mátrixa pedig  és ,

akkor a  leképezés mátrixa  lesz.

Nézzünk meg erre egy példát.

Legyen  az eddigi tükrözés az x tengelyre,

 pedig mondjuk  tükrözés az y tengelyre.

Ekkor  a két tükrözés egymás utáni

alkalmazása.

A  leképezés mátrixa:

Az x tengelyre tükrözés mátrixa:

Az y tengelyre tükrözés mátrixa:

Ez éppen az origó középpontú tükrözés mátrixa.

A leképezések egymás után alkalmazásáról szóló tétel

A  leképezés mátrixa:

A  leképezés a  vektor

A  leképezésben minden

vektor képét így kapjuk:

Ha létezik a leképezés

inverze, akkor mátrixa:

  mátrixa 

Ezek a tételek lehetővé teszik, hogy készítsünk egy remek kis képletet ami leírja, hogy miként változik meg egy leképezés mátrixa az új bázisra való átállásnál.

A leképezés mátrixa új bázisban felírva

ahol  az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban.

Lássuk, hogy mit is jelent mindez!

Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez

és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos  mátrix tehát

és van ez a bizonyos  ami annak a leképezés-

nek a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál.                                                                                                                                                          

Ez a bizonyos  mátrix tehát egyszerűen

úgy keletkezik, hogy fogjuk az új bázis-

vektorokat és leírjuk egymás mellé.

A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:

Ez csodás, így is kijött a tükrözés új mátrixa, kevesebb gondolkodással és több számolással.

Mindezeket foglaljuk össze!

LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK MÁTRIXA

A  lineáris leképezésnek a  bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymásmellé írjuk:

Ha egy másik  bázisban írjuk föl a mátrixot, akkor

A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:

Itt  az új bázisra való áttérés mátrixa:

Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázisvektorokat

fogjuk és leírjuk egymás mellé.

Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázis

vektorait leírjuk egymás mellé.

Ha  és  olyan mátrixok, hogy létezik egy  mátrix

úgy, hogy

akkor az előző tétel alapján  és  mindketten

ugyanannak a leképezésnek a mátrixa, csak éppen

más-más bázisban felírva.

Ezt a tényt úgy nevezzük, hogy a két mátrix egymáshoz hasonló.

Ez elvezet minket néhány nagyon izgalmas összefüggéshez, amik most fognak jönni!

 és mátrixok hasonlók, tehát , ha létezik olyan  mátrix, amire


Lineáris leképezések vizsgálata

Egy  leképezést akkor nevezünk lineáris leképezésnek, ha bármely  vektorokra és  számra teljesül, hogy

A leképezés  vektoraihoz rendel hozzá -ben lévő vektorokat.

A -nek ezt a részét képtérnek nevezzük és -vel jelöljük.

Vannak olyan vektorok, amikből a leképezés nullvektort csinál.

A -nek azt a részét amiben ezek a vektorok vannak magtérnek nevezzük

és -vel jelöljük.

 lineáris leképezés, ha

 és  

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk mátrixokkal. Ezeket a mátrixokat úgy kapjuk, hogy veszünk egy bázist -ben, és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.

Mivel végtelen sok bázis van -ben, ezért ugyanannak a lineáris leképezésnek végtelen sok mátrixa van.

A  lineáris leképezésnek a  bázisban felírt mátrixa

Lássunk néhány példát!

Vegyük azt a leképezést, amely  és

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

Itt van két vektor

és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e:

Van itt azonban egy kis gond, ha elvégezzük az összeadást.

Úgy tűnik tehát nem teljesül, hogy  ezért a másik tulajdonságot meg se nézzük,  sajna nem lineáris leképezés.

Nézzünk meg egy másik leképezést is, amely  és

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret a magteret és a transzformáció mátrixát.

Itt vannak megint ezek a vektorok

és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e:

Nézzük, teljesül-e, hogy:

Mindkettő teljesül, tehát a leképezés lineáris.

Most, hogy ez kiderült, lássuk mi lesz a magtér és a képtér, illetve a leképezés mátrixa.

A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek képe nullvektor, tehát

Ebből  következik, vagyis a magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik:

A képtérben olyan vektorok vannak, amelyek első koordinátája bármi, de második koordinátája nulla, vagyis:

A transzformáció mátrixa standard bázisban:

             tehát a transzformáció mátrixa: 

Ez igazán remek, úgyhogy nézzünk meg még egy leképezést is.

Vegyük azt az  leképezést, hogy

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

Elsőként megnézzük, hogy valóban lineáris leképezés-e.

Itt van két vektor

és lássuk, hogy teljesül-e:

Ezek sajna nem egyenlők, így nem teljesül,

hogy  tehát

 nem lineáris leképezés.


Néhány nevezetes lineáris leképezés és mátrixa

Elérkezett az idő, hogy megnézzük néhány fontosabb lineáris leképezés mátrixát.

Olyan leképezésekét, amiket már régebbről mindenki ismer.

Az első ilyen leképezés a tengelyes tükrözés.

A mátrixot a szokásos bázis szerint írjuk fel:

x tengelyre tükrözés

Aztán itt van az  leképezések közül az egyik

legfontosabb, az origó középpontú -szögű forgatás,

ami esetén éppen az origó középpontú tükrözés.

origó középpontú

-szögű forgatás

A szokásos bázisban az -szögű forgatás mátrixa:

Lássuk a koordinátákat!

Az -irányszögű egységvektor első koordinátája

második koordinátája

Az irányszög most éppen , ezért

az első koordináta

a második koordináta

Vannak itt aztán ezek a trigonometriai összefüggések,

amiket érdemes megjegyeznünk:

Az irányszög most , ezért

az első koordináta

a második koordináta

Az origó középpontú tükrözés mátrixát egyszerűen

úgy kapjuk, hogy

origóra tükrözés

A lineáris leképezések egy külön csoportját alkotják a vetítések, vagy más néven projekciók.  Nézzük meg az x tengelyre való merőleges vetítést.

A szokásos bázis alapján a vetítés mátrixa:

x tengelyre vetítés


HOM (V1,V2)

A LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK VEKTORTERE: HOM (V1,V2)

A  lineáris leképezést másnéven homomorfizmusnak is nevezzük.

Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak,

ezt a vektorteret -nek nevezzük.

Injektívnek nevezzük azokat a    homomorfizmusokat, ahol különböző vektorok képe is különböző:

Ha  akkor  

Ha tudunk mutatni olyan  vektorokat amire  

akkor a homomorfizmus nem injektív.

Lássuk milyen következményei vannak ennek.

Nevezzük el mondjuk valami -nek.

Viszont ugye

Tehát  ami azt jelenti, hogy  benne van a magtérben.

Vagyis az, hogy egy leképezés nem injektív, éppen azt jelenti, hogy -ben vannak a nullvektoron kívül más vektorok is, tehát

Az állítás megfordítása is igaz, ha  akkor a magtérben kell, hogy legyen

a nullvektoron kívül valamilyen más  vektor is,

aminek a képe viszont  , mert ugye benne van a magtérben.

Vagyis két különböző vektor képe ugyanaz és így a leképezés nem injektív.

A    homomorfizmus pontosan akkor injektív, ha

Ekkor  a dimenziótétel alapján  vagyis a leképezés dimenziótartó.

A sík szokásos transzformációi közül az x vagy y tengelyre tükrözés és az origó körüli forgatás dimenziótartó transzformáció, az x tengelyre vetítés nem.

Van aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.

Egy leképezést szürjektívnek nevezünk, ha a teljes  előáll képként.

Azok a    homomorfizmusok, amelyek injektívek és szürjektívek is egyszerre,

a bijektív homomorfizmusok.

Ezekre külön elnevezés van forgalomban, őket nevezzük izomorfizmusoknak.

Ha    izomorfizmus, akkor  és a dimenziótétel miatt

Ráadásul a képtér éppen megegyezik -vel, ezért .

Ha    izomorfizmus, akkor .

Az izomorfizmus tehát egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés két vektortér vektorai között, az egyik vektortér minden vektorához tartozik a másik vektortérben pontosan egy bizonyos vektor, vagyis a két vektortér lényegében ugyanaz.

Ez a  miatt is így kell, hogy legyen, hiszen egy vektorteret a dimenziója már jellemez. 


Hasonló mátrixok

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk mátrixokkal.

Ezeket a mátrixokat úgy kapjuk, hogy veszünk egy bázist -ben, és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.

Mivel végtelen sok bázis van -ben, ezért ugyanannak a lineáris leképezésnek végtelen sok mátrixa van.

A  lineáris leképezésnek a  bázisban felírt mátrixa

Egy másik  bázisban felírt mátrixa pedig

A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:

Itt  az új bázisra való áttérés mátrixa:

Ez a bizonyos  mátrix tehát egyszerűen úgy keletkezik,

hogy fogjuk az új bázisvektorokat és leírjuk egymás mellé.

Ha  és  olyan mátrixok, hogy létezik egy

mátrix, úgy, hogy

akkor az előző tétel alapján  és  mindketten ugyanannak a leképezésnek a mátrixa, csak más-más bázisban felírva.

Ezt a tényt úgy nevezzük, hogy a két mátrix egymáshoz hasonló.

 és  mátrixok hasonlók, vagyis , ha létezik olyan  mátrix, amire

Ha még emlékszünk rá, az  mátrix akkor diagonalizálható, ha létezik n darab független sajátvektora, vagyis sajátvektorokból álló bázisa és a diagonalizáló mátrix éppen a sajátvektorok egymásmellé írásából kaptuk.

Na ez nem más, mint az iménti új bázisra való átállás tétele:

  ahol  sajátvektorokból álló mátrix

Ezek szerint bármely  mátrix hasonló a diagonális alakjával:

.

Ha pedig van egy másik  mátrix, amelynek szintén létezik diagonális alakja és

akkor ebből következik, hogy .

Az állítás megfordítása is igaz, vagyis megállapíthatjuk, hogy ha  és mindketten diagonalizálható mátrixok, akkor

Lássunk néhány példát!

Itt vannak ezek a mátrixok, a feladatunk pedig az, hogy döntsük el melyek hasonlóak közülük.

Próbáljuk meg előállítani a diagonális alakjukat, mert ha ugyanaz a diagonális alak,

akkor hasonlóak.

Előfordulhat köztük olyan mátrix is, amelyiknek nincs diagonális alakja,

de majd ott is biztosan történni fog valami. Szóval kezdjük el.

Az  mátrix diagonális alakjával kezdjük. Kiszámoljuk a sajátértékeket:

Úgy tűnik van három különböző sajátérték,

mivel pedig különböző sajátértékekhez mindig

különböző sajátvektorok tartoznak, van három

független sajátvektor.

Így hát  diagonalizálható.

Jöhet a  diagonális alakja.

Ezzel nem lesz sok dolgunk, mert eleve diagonális mátrix.

 Kiemelünk 3-at

sőt inkább legyen -3

és aztán  is kiemelhető

Úgy tűnik van három különböző sajátérték, mivel pedig különböző sajátértékekhez mindig különböző sajátvektorok tartoznak, van három független sajátvektor.

Így hát  diagonalizálható.

És itt van még ez a  is.

A determinánst a legalsó sor szerint fejtjük ki

Ez az egész nulla, úgyhogy talán hagyjuk is.

Nem tudunk semmit kiemelni, így hát felbontjuk a zárójeleket.

és összevonunk

végül kiemelünk

A sajátértékek:

Itt is van három különböző sajátérték, mivel pedig

különböző sajátértékekhez mindig különböző saját-

vektorok tartoznak, van három független sajátvektor.

Így hát  is diagonalizálható.

Lássuk a hasonló mátrixokat!

így hát három mátrix van, amelyek ugyanannak a leképezésnek a mátrixai,

csak más-más bázisban felírva, a negyedik mátrix viszont eltérő.


Sajátbázis, diagonális alak

A  leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely  vektorokra és  számra teljesül, hogy

 lineáris leképezés, ha

 és  

A  lineáris leképezésnek a  bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymásmellé írjuk

Ha egy másik  bázisban írjuk föl a mátrixot, akkor

A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:

Itt  az új bázisra való áttérés mátrixa:

Itt  a sajátbázisra való áttérés mátrixa:

SAJÁTBÁZIS

Bármilyen bázist választunk is -ben, a leképezés mátrixa mindig egy -es mátrix lesz. Ha ennek a mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor ezek a sajátvektorok szintén egy bázist alkotnak -ben, amit sajátbázisnak nevezünk.

A leképezés sajátbázisa nagyon sok mindent tud.

Ha egy leképezésnek létezik sajátbázisa, az azt jelenti, hogy a leképezés mátrixának van n darab független sajátvektora, vagyis a mátrix diagonalizálható.

A diagonalizáló mátrix úgy keletkezik, hogy a sajátvektorokat egymás mellé írjuk.

Ez egyúttal a sajátbázisra való áttérés mátrixa is.

Ha létezik  sajátbázis, akkor a leképezés mátrixa sajátbázisban felírva

mindig diagonális mátrix.

Ebben a mátrixban  éppen az  

sajátvektorokhoz tartozó sajátértékek.

Lássunk erre egy példát!

Van itt ez az  leképezés:

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát, adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait,

ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját.

Elsőként megnézzük, hogy valóban lineáris leképezés-e.

Legyen

Nézzük meg, hogy teljesül-e:

Ez is teljesül, tehát a leképezés lineáris. Végre rátérhetünk az izgalmasabb részekre.

Nézzük mi lesz a magtér és a képtér.

A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek képe nullvektor, tehát

A jelek szerint tehát  és vagyis a magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik, a harmadik koordinátája pedig nulla:

A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik, a harmadik koordinátája pedig nulla:

A képtérben olyan vektorok vannak, amelyek első koordinátája valami, a második koordináta ennek a mínuszegyszerese, a harmadik koordináta pedig bármi.

A transzformáció képtere tehát kétdimenziós:

Nézzük meg a leképezés mátrixát.

A mátrixot a standard bázisban írjuk fel:

vagyis a transzformáció mátrixa:

Lássuk van-e a leképezésnek sajátbázisa. Ehhez ki kell számolnunk a sajátértékeket

és meg kell keresni a hozzájuk tartozó sajátvektorokat.

A karakterisztikus egyenlet:

Az utolsó sor szerint fejtünk ki.

A sajátértékek:    

A sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat úgy kapjuk meg, ha megoldjuk a  egyenletrendszert.

Ez három különböző egyenletrendszer lesz, amit megoldhatnánk elemi bázistranszformációval is, de most nincs kedvünk azzal megoldani.

Van 3 független sajátvektor, így létezik sajátbázis és a transzformáció mátrixa diagonalizálható.

A diagonalizáló mátrixot úgy kapjuk, hogy a sajátvektorokat egymásmellé írjuk, ami tulajdonképpen nem más, mit az új bázisra, való áttérés mátrixa.

Ez az új bázis éppen a sajátbázis.

És íme, a diagonális alak:

Nézzünk meg egy másik leképezést is!


Sajátbázis, diagonális alak 3.0

Lineáris leképezések mátrixa 2.0

Sajátbázis, diagonális alak 2.0

FELADAT | Lineáris leképezések

FELADAT | Lineáris leképezések

FELADAT | Lineáris leképezések