Minden lineáris leképezést jellemezhetünk mátrixokkal.

Ezeket a mátrixokat úgy kapjuk, hogy veszünk egy bázist -ben, és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.

Mivel végtelen sok bázis van -ben, ezért ugyanannak a lineáris leképezésnek végtelen sok mátrixa van.

A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixa

Egy másik bázisban felírt mátrixa pedig

A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:

Itt az új bázisra való áttérés mátrixa:

Ez a bizonyos mátrix tehát egyszerűen úgy keletkezik,

hogy fogjuk az új bázisvektorokat és leírjuk egymás mellé.

Ha és olyan mátrixok, hogy létezik egy

mátrix, úgy, hogy

akkor az előző tétel alapján és mindketten ugyanannak a leképezésnek a mátrixa, csak más-más bázisban felírva.

Ezt a tényt úgy nevezzük, hogy a két mátrix egymáshoz hasonló.

és mátrixok hasonlók, vagyis , ha létezik olyan mátrix, amire

Ha még emlékszünk rá, az mátrix akkor diagonalizálható, ha létezik n darab független sajátvektora, vagyis sajátvektorokból álló bázisa és a diagonalizáló mátrix éppen a sajátvektorok egymásmellé írásából kaptuk.

Na ez nem más, mint az iménti új bázisra való átállás tétele:

ahol sajátvektorokból álló mátrix

Ezek szerint bármely mátrix hasonló a diagonális alakjával:

.

Ha pedig van egy másik mátrix, amelynek szintén létezik diagonális alakja és

akkor ebből következik, hogy .

Az állítás megfordítása is igaz, vagyis megállapíthatjuk, hogy ha és mindketten diagonalizálható mátrixok, akkor

Lássunk néhány példát!

Itt vannak ezek a mátrixok, a feladatunk pedig az, hogy döntsük el melyek hasonlóak közülük.

Próbáljuk meg előállítani a diagonális alakjukat, mert ha ugyanaz a diagonális alak,

akkor hasonlóak.

Előfordulhat köztük olyan mátrix is, amelyiknek nincs diagonális alakja,

de majd ott is biztosan történni fog valami. Szóval kezdjük el.

Az mátrix diagonális alakjával kezdjük. Kiszámoljuk a sajátértékeket:

Úgy tűnik van három különböző sajátérték,

mivel pedig különböző sajátértékekhez mindig

különböző sajátvektorok tartoznak, van három

független sajátvektor.

Így hát diagonalizálható.

Jöhet a diagonális alakja.

Ezzel nem lesz sok dolgunk, mert eleve diagonális mátrix.

Kiemelünk 3-at

sőt inkább legyen -3

és aztán is kiemelhető

Úgy tűnik van három különböző sajátérték, mivel pedig különböző sajátértékekhez mindig különböző sajátvektorok tartoznak, van három független sajátvektor.

Így hát diagonalizálható.

És itt van még ez a is.

A determinánst a legalsó sor szerint fejtjük ki

Ez az egész nulla, úgyhogy talán hagyjuk is.

Nem tudunk semmit kiemelni, így hát felbontjuk a zárójeleket.

és összevonunk

végül kiemelünk

A sajátértékek:

Itt is van három különböző sajátérték, mivel pedig

különböző sajátértékekhez mindig különböző saját-

vektorok tartoznak, van három független sajátvektor.

Így hát is diagonalizálható.

Lássuk a hasonló mátrixokat!

így hát három mátrix van, amelyek ugyanannak a leképezésnek a mátrixai,

csak más-más bázisban felírva, a negyedik mátrix viszont eltérő.