Mátrixok és vektorok

1. Végezzük el az alábbi műveleteket.

a) \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 & 7 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)

b) \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}  \)

c) \( \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \)

d)  \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Adjuk meg az alábbi mátrixok transzponált mátrixait!

a) \( A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \end{pmatrix} \)

b) \( B=\begin{pmatrix} 5 & 7 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)

c) \( C=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Végezzük el az alábbi műveleteket.

a) \( 3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3  \\ 5 \end{pmatrix} \)

b) \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4  \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2  \\ 7 \end{pmatrix} \)

c)  \( \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1  \\ 2 \end{pmatrix} \)

d)  \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 1  & 2 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Számítsuk ki az alábbi két vektor által bezárt szöget.

\(  \underline{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}  \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Van itt néhány vektor, és végezzük el velük a következő műveleteket.

\( A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \end{pmatrix}  \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}  \)

\( C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7 \\ 3 & 1 & 8  \end{pmatrix} \quad \underline{d}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \)

\( E=< 2 \; 5 \; 7 > \)

a) \( A \cdot \underline{b} \)

b) \( A \cdot C \)

c) \( A \cdot C^* \)

d) \( \underline{b^*} \cdot \underline{d} \)

e) \( \underline{b} \cdot \underline{d^*} \)

f) \( A^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. 

a) Írjuk föl a $P(7,8,9)$ ponton átmenő és $\underline{v}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ irányvektorú egyenes egyenletét.

b) Írjuk föl a $P(3,5)$ ponton átmenő és a $4x+y=6$ egyenletű egyenesre merőleges egyenes síkbeli egyenletét.

c) Írjuk föl a $P(3,5,7)$ ponton átmenő és az $ \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-1}{9}$ egyenletrendszerű egyenesre merőleges sík térbeli egyenletét.

d) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

e) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani


7.  Számítsuk ki az alábbi vektorok vektoriális szorzatát.

a) \( \underline{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \underline{a} \times\underline{b}=\; ? \)

b) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

c) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Szuper-érthetően elmagyarázzuk neked, hogy mik azok a Mátrixok. Sor, Oszlop, Mátrix műveletek, Skaláris szorzás, Mátrix összeadás, Mátrix szorzás, Kommutativitás, Asszociativitás. Természetesen a lineáris algebrában vannak speciális tulajdonságokkal rendelkező mátrixok. Megnézzük azt is, hogy mit is tudnak ezek.  Kvadratikus mátrix, Négyzetes mátrix, Diagonális mátrix, Egységmátrix, Transzponált, Szimmetrikus mátrix. Szuper-érthetően elmagyarázzuk neked azt is, hogy mik azok a vektorok. Geometriai vektorok, Vektortér, Vektorműveletek, Skalárral való szorzás, Vektorok összeadása, Vektorok szorzása. Egyszerű példákon keresztül elmeséljük neked, hogyan kell kiszámolni két vektor által bezárt szöget. Skaláris szorzat, Két vektor közti szög, Vektorok hossza.Megtanítjuk neked, hogy hogyan kell kiszámolni bizonyos mátrix műveleteket.  Mátrixok, Sor, Oszlop, Mátrix műveletek, Skalár szorzat, Összeadás, Szorzás, Kommutativitás, Asszociativitás, Vektorok, Vektorműveletek, Mátrix műveletek, Skaláris szorzat, Vektoriális szorzat.



Mátrixok

A mátrixok teljesen ártalmatlan teremtményei a matematikának.

Egy -as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, ami n darab sorból és k darab oszlopból áll.

A mátrixokat az ABC nagy betűivel jelöljük. Itt van például ez:

Ez egy (2X3)-as mátrix.

A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,

és egy oszlopindexük.

A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,

és egy oszlopindexük.

Egy -as mátrix, ami  n  darab sorból és  k  darab oszlopból áll,

tehát valahogy így néz ki:

A mátrixok marhára hasznosak számunkra, erről fog szólni lényegében az egész lineáris algebra témakör.

Mielőtt azonban hasznosságukról személyesen is megbizonyosodhatnánk, előbb nézzük meg milyen műveleteket végezhetünk velük.

1.SKALÁRSZOROS

A skalár nem egy betegség, azt jelenti, hogy valamilyen szám, legtöbbször valós szám.

2.ÖSSZEADÁS

Egy -as mátrixhoz csak egy másik -as mátrixot adhatunk hozzá.

3.SZORZÁS

Na ez a legizgalmasabb.

Egy -as mátrixszal csak egy -es mátrixot szorozhatunk.

A szorzat mátrixnak annyi sora lesz, mint A-nak és annyi oszlopa, mint B-nek, elemei pedig úgy keletkeznek, hogy az A egyik sorát szorozzuk B-nek egy oszlopával

Jön a trükk, tudományos nevén Falk-séma. Ennek az a lényege, hogy a mátrixokat sarkosan helyezzük el, valahogy így:

Kész a szorzat!

A mátrixok szorzásának egyik érdekes tulajdonsága,

hogy nem kommutatív.

Ha például megpróbáljuk ezt a szorzást fordítva elvégezni,

kiderül, hogy nem is lehet.


Néhány speciális mátrix

Ismerkedjünk meg néhány speciális mátrixfajtával.

KVADRATIKUS MÁTRIX 

négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa

példa:

DIAGONÁLIS MÁTRIX

olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák

példa:

A diagonális mátrixoknak tehát csak a főátlója érdekes, mivel az összes többi elem nulla.

Ezért aztán vannak akik csak a főátló elemeket írják le. Ez a fura jel

valójában egy diagonális mátrix

EGYSÉGMÁTRIX

olyan mátrix, ami azt tudja, hogy bármely  mátrixra  

az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy

INVERZ MÁTRIX

jele , és ez egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy

  (jobb inverz)         (bal inverz)

Később látni fogjuk, hogy nem is olyan egyszerű elővarázsolni egy mátrix inverzét.

Ez az inverz dolog valós számoknál sokkal könnyebb, ott ugyanis

  inverze      mert ugye 

  inverze      mert ugye 

TRANSZPONÁLT

a mátrix sorainak és oszlopainak a felcserélése, jele  vagy                                

SOR OSZLOP  OSZLOP SOR

példa:

        vagy       

Azokat a mátrixokat, amelyek transzponáltja önmaga szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

Itt van például egy szimmetrikus mátrix:

Mindezek jelenleg nem tűnnek túl izgalmasnak, de hamarosan majd elérkezik az idő, amikor kelleni fognak.

Most viszont jöjjenek a vektorok!


Vektorok

Azokat a mátrixokat, amiknek csak egyetlen oszlopuk van, vektoroknak nevezzük.

A vektorokat az abc kis betűivel jelöljük és aláhúzzuk őket.

Itt van például két vektor:

Az  vektor -es vektor, a  pedig -es, de a  megemlítése teljesen felesleges, hiszen éppen azért nevezzük őket vektoroknak, mert csak egyetlen oszlopuk van.

Bőven elegendő tehát csak arról említést tenni, hogy hány darab számot tartalmaz maga a vektor. Ezeket a számokat a vektor koordinátáinak nevezzük.

Megnyugtató, hogy amit a geometriában vektornak tekintünk,

és amit az imént vektorként definiáltunk megfeleltethetők egymásnak.

Ha ugyanis veszünk mondjuk a térben három egyenest úgy,

hogy egymásra merőlegesek legyenek majd pedig

ellátjuk őket egy skálázással, akkor a geometriai vektorok

egyértelműen megfeleltethetők számhármasoknak.

Vagyis amikor vektorokról beszélünk, egyszerre gondolhatunk

-es mátrixokra és  geometriai alakzatokra.

Lássuk milyen műveleteket tudunk vektorokkal végezni.

MŰVELETEK VEKTOROKKAL

1. SKALÁRSZOROS 

példa:

2. ÖSSZEADÁS          

példa:

TULAJDONSÁGOK:

kommutatív:

asszociatív:

3. SZORZÁS 

skaláris szorzat:                                       diadikus szorzat:

TULAJDONSÁGOK:

kommutatív:

nem asszociatív:

 és  

     és

a skaláris szorzat:

diadikus szorzat:

TULAJDONSÁGOK:

nem kommutatív

nem asszociatív

példa:

 és

a diadikus szorzat:

A kétféle szorzás közül a skaláris szorzat

nekünk sokkal hasznosabb lesz, így hát

elbúcsúzunk a diadikus szorzattól.

A skaláris szorzatra pedig bevezetünk

egy egyszerű jelölést.

Ezzel megspóroltunk néhány *-ot.

De lássuk mire jó még a skaláris szorzat.


Vektorok által bezárt szög kiszámolása

A vektorok skaláris szorzása azon kívül, hogy remek szórakozás, arra is jó, hogy kiszámoljuk, két vektor mekkora szöget zár be egymással.

Van ugyanis a skaláris szorzásnak egy másik képlete is:

ahol  a két vektor által bezárt szög,

 vagyis az  vektor hossza

 vagyis a  vektor hossza

A vektorok közti szöget úgy tudjuk kiszámolni, ha mindkét módon felírjuk a skaláris szorzatukat.

Itt van például

A skaláris szorzat a korábbi képlettel:

A skaláris szorzat az új képlettel:


FELADAT | Műveletek mátrixokkal és vektorokkal

Van itt néhány mátrix és vektor és el kéne végezni velük pár műveletet.

Hát menjünk szépen sorban.

Ezzel van egy kis probléma.  nem elvégezhető.

Mátrixok hatványozására sajnos nincsen semmilyen trükk, tehát ha ki kell számolnunk ennek a mátrixnak a négyzetét, akkor négyzetre emelést úgy tudjuk elvégezni, hogy megszorozzuk önmagával.

Ha mondjuk a negyedik hatványára lenne szükség, akkor az bizony elég sokáig tart.

De szerencsére csak a négyzete kell.

Már csak  van hátra. Ezzel marhanagy mázlink van,  ugyanis egy diagonális mátrix.

A diagonális mátrixokat pedig könnyű hatványozni, egyszerűen a főátló elemeit külön-külön hatványozzuk.

Ez a módszer sajnos csak diagonális mátrixokra működik, de ott szuperül.

Ha négyszer egymás után összeszoroznánk, persze akkor is ugyanez jönne ki,

csak kicsit lassabban, akinek van kedve próbálja ki és nézze meg.


FELADAT | Mátrixok és vektorok

Itt az ideje, hogy egy kis geometriával is foglalkozzunk.

Aggodalomra semmi ok, csak néhány apróság. Kezdjük a síkbeli vektorokkal és egyenesekkel.

EGYENES EGYENLETE: a  ponton átmenő és

normálvektorú egyenes egyenlete:

Emlékeztetőül, az egyenes normálvektora

az egyenesre merőleges nem nullvektor.

KÉT PONT KÖZTI VEKTOR: a  és a pontok

                                közötti vektor koordinátás alakja

KÉT PONT TÁVOLSÁGA: a  és a pontok

                            egymástól mért távolsága

Térben minden ugyanez, csak három koordináta van.

SÍK EGYENLETE: a  ponton átmenő és

normálvektorú sík egyenlete:

Emlékeztetőül, az egyenes normálvektora

az egyenesre merőleges nem nullvektor.

KÉT PONT KÖZTI VEKTOR: a  és a

                   pontok közötti vektor koordinátás alakja

KÉT PONT TÁVOLSÁGA: a  és a

                           pontok egymástól mért távolsága

Próbáljuk most meg előállítani az egyenes egyenletét térben. Ez nekünk hasznos lenne, viszont nem szerepel itt a listán.

Sajnos adódnak vele bizonyos problémák, de hát nézzük meg.

Állítsuk elő a  ponton átmenő és

irányvektorú egyenes egyenletét.

Azért kell most normálvektor helyett irányvektort használni, mert sajnos térben

nem igazán egyértelmű, hogy mely vektorok merőlegesek az egyenesre.

Az irányvektor viszont egyértelmű, csak a hossza ami változhat.

Ha a az egyenesnek egy tetszőleges pontja, akkor

Ez a  vektor az egyenes irányvektorának valahányszorosa

Ha  akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor

Ha  akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor

Ha  akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor

Itt mindenki -val egyenlő, tehát akkor ők maguk is egyenlők.

Ezt hívjuk térben az egyenes egyenletrendszerének.

Nézzünk meg egy példát.

Írjuk föl a  ponton átmenő és  

irányvektorú egyenes egyenletét.

Itt az egyenes egyenletrendszere:

Sajna -vel gondok lesznek.

Lássunk most egy tipikus feladattípust.

Írjuk föl a ponton átmenő és a

 egyenletű egyenesre merőleges

egyenes síkbeli egyenletét.

Írjuk föl a ponton átmenő és az

egyenletrendszerű egyenesre merőleges

sík térbeli egyenletét.

A  egyenes normálvektora   

Ezt a vektort úgy tudjuk hasznosítani,

hogy -kal elforgatjuk, mert akkor

a keresett egyenes normálvektora lesz.

Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,

hogy felcseréljük a koordinátáit,

és az egyiket beszorozzuk -gyel.

Megvan a normálvektor, úgyhogy

az egyenesünk egyenlete:

Lássuk itt mit tehetnénk.

A sík normálvektora éppen az egyenes irányvektora.

Itt jön a sík egyenlete:

És végül jön egy másik tipikus feladattípus is.

Írjuk föl a  és ponton

átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

Írjuk föl a  a és az

pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

A  ponton átmenő  és  

normálvektorú egyenes egyenlete:

A  ponton  átmenő  és

normálvektorú sík egyenlete:

Pontunk az van bőven, normálvektorunk viszont

nincs egy darab se, úgyhogy csinálnunk kell.

Ezt elforgatjuk -kal, és meg is van a normálvektor.

Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,

hogy felcseréljük a koordinátáit,

és az egyiket beszorozzuk -gyel.

Az egyenes egyenlete:

Itt a síknál viszont lesz egy kis probléma.

Térben ugyanis nincs olyan,

hogy egy vektort -kal

elforgatunk.

Valami mást kell tehát kitalálnunk, hogy megkapjuk a sík normálvektorát.

Egy olyan vektorra lenne szükségünk, amely merőleges a ,  és  pontok által kifeszített háromszögre. Ez a vektor lesz az úgynevezett vektoriális szorzat.


FELADAT | Mátrixok és vektorok
 

 Az  és  vektorok vektoriális szorzata az  vektor,

ami merőleges az  és  vektorok által kifeszített síkra, és

A vektoriális szorzat eredményét úgy kapjuk meg, ha kiszámoljuk ezt a determinánst.

Vicces módon determinánsokról majd csak később lesz szó, de ennek ellenére ezt megpróbáljuk most kiszámolni.

Az első sor szerint fogjuk kifejteni, de aggodalomra semmi ok, minden nagyon egyszerű lesz. Nos itt is van:

Ezeket mindjárt kitaláljuk, itt pedig szándékosan nem plusz, hanem mínusz van.

Mindez sokkal érthetőbb lenne, ha ismernénk a kifejtési tételt, ami a determinánsok című résznél van. Ha valaki esetleg úgy gondolja, hogy megnézi mi is ez a kifejtési tétel, hát akkor feltehetően senki sem tudja ebben őt megakadályozni.

Most pedig térjünk a tárgyra.

Nézzünk meg egy konkrét példát.

Itt egy konkrét példa.

Most pedig térjünk a tárgyra.

e a vektoriális szorzat:

A vektoriális szorzat egyik tipikus geometriai alkalmazásához nézzünk meg két feladatot.

Az egyik feladat az, hogy írjuk föl két adott ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét, ehhez nem kell vektoriális szorzat.

A másik, hogy írjuk föl három adott ponton átmenő sík térbeli egyenletének egyenletét. Na ehhez már kell.

Írjuk föl a ponton átmenő és a

 egyenletű egyenesre merőleges

egyenes síkbeli egyenletét.

Írjuk föl a ponton átmenő és az

egyenletrendszerű egyenesre merőleges

sík térbeli egyenletét.

A  egyenes normálvektora   

Ezt a vektort úgy tudjuk hasznosítani,

hogy -kal elforgatjuk, mert akkor

a keresett egyenes normálvektora lesz.

Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,

hogy felcseréljük a koordinátáit,

és az egyiket beszorozzuk -gyel.

Megvan a normálvektor, úgyhogy

az egyenesünk egyenlete:

Lássuk itt mit tehetnénk.

A sík normálvektora éppen az egyenes irányvektora.

Itt jön a sík egyenlete:

És végül jön egy másik tipikus feladattípus is.

Írjuk föl a  és ponton

átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

Írjuk föl a  a és az

pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

A  ponton átmenő  és  

normálvektorú egyenes egyenlete:

A  ponton  átmenő  és

normálvektorú sík egyenlete:

Pontunk az van bőven, normálvektorunk viszont

nincs egy darab se, úgyhogy csinálnunk kell.

Ezt elforgatjuk -kal, és meg is van a normálvektor.

Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,

hogy felcseréljük a koordinátáit,

és az egyiket beszorozzuk -gyel.

Az egyenes egyenlete:

Itt a síknál a vektoriális szorzatból lesz a normálvektor.

Hát ez kész.