Lineáris algebra epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogyan tudjuk egy mátrix QR-felbontását elkészíteni Householder-tükrözések segítségével. A Householder-tükrözések olyan síkbeli forgatások, amelyek mátrixai ortogonállis mátrixok. Ezeknek a Householder-tükrözéseknek az egymás után alkalmazásával képsek vagyunk egy mátrixot felső háromszögmátrixszá alakítani. A felbontásban ez a felső háromszögmátrix lesz az R mátrix, míg a Householder-tükrözések inverz mátrixainak szorzata a Q mátrix.
Itt jön egy harmadik módszer a mátrixok QR-felbontására…
Egy jópofa kis tükrözés segítségével.
A szokásos háromdimenziós térben az origón átmenő a normálvektorú síkra tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük.
Ez itt a Householder-tükrözés mátrixa:
A QR-felbontáshoz készítünk belőle egy felső háromszögmátrixot a Householder-tükrözések segítségével.
Itt van a mátrix első oszlopvektora…
Kezdetnek kinullázzuk itt szépen ezeket.
Egy újabb Householder-tükrözéssel pedig…
Itt is nullát fogunk gyártani.
Közben arra azért vigyázzunk, hogy a meglévő nullákat ne rontsuk el.
Elhagyjuk a mátrix első sorát és oszlopát…
és csak az így megmaradó mátrixra alkalmazzuk az újabb Householder-tükrözést.
A korábban legyártott nulláink így biztonságban vannak.
A Householder-tükrözéssel ebből a vektorból gyártunk egy olyan vektort, aminek a második koordinátája nulla.
A két vektor hossza pedig egyforma.
Meg is van a második Householder-mátrix.
Egyetlen kis probléma vele, hogy ez nem egy 3x3-as mátrix.
De ezen könnyen lehet segíteni.
Az üres helyeket szépen feltöltjük…
Az egységmátrix megfelelő elemeivel.
A dolog általánosan így néz ki…
A QR-felbontás Householder-mátrixai:
És már meg is van a felső háromszögmátrix…
Hogyha ezt egészet beszorozzuk H inverzével, akkor meg is van a QR-felbontás.