QR-felbontás Householder-tükrözésekkel | mateking
 

Lineáris algebra epizód tartalma:

Már mutatjuk is, hogyan tudjuk egy mátrix QR-felbontását elkészíteni Householder-tükrözések segítségével. A Householder-tükrözések olyan síkbeli forgatások, amelyek mátrixai ortogonállis mátrixok. Ezeknek a Householder-tükrözéseknek az egymás után alkalmazásával képsek vagyunk egy mátrixot felső háromszögmátrixszá alakítani. A felbontásban ez a felső háromszögmátrix lesz az R mátrix, míg a Householder-tükrözések inverz mátrixainak szorzata a Q mátrix.

A képsor tartalma

Itt jön egy harmadik módszer a mátrixok QR-felbontására…

Egy jópofa kis tükrözés segítségével.

A szokásos háromdimenziós térben az origón átmenő a normálvektorú síkra tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük.

Ez itt a Householder-tükrözés mátrixa:


A QR-felbontáshoz készítünk belőle egy felső háromszögmátrixot a Householder-tükrözések segítségével.

Itt van a mátrix első oszlopvektora…

Kezdetnek kinullázzuk itt szépen ezeket.

Egy újabb Householder-tükrözéssel pedig…
Itt is nullát fogunk gyártani.


Közben arra azért vigyázzunk, hogy a meglévő nullákat ne rontsuk el.

Elhagyjuk a mátrix első sorát és oszlopát…
és csak az így megmaradó mátrixra alkalmazzuk az újabb Householder-tükrözést.

A korábban legyártott nulláink így biztonságban vannak.
A Householder-tükrözéssel ebből a vektorból gyártunk egy olyan vektort, aminek a második koordinátája nulla.

A két vektor hossza pedig egyforma.


Meg is van a második Householder-mátrix.

Egyetlen kis probléma vele, hogy ez nem egy 3x3-as mátrix.

De ezen könnyen lehet segíteni.

Az üres helyeket szépen feltöltjük…
Az egységmátrix megfelelő elemeivel.

A dolog általánosan így néz ki…

A QR-felbontás Householder-mátrixai:



És már meg is van a felső háromszögmátrix


Hogyha ezt egészet beszorozzuk H inverzével, akkor meg is van a QR-felbontás.


Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • A mateking miatt sikerült az érettségi és az összes egyetemi matekos tárgyam.

    Míra, 21
  • Értelmes, szórakoztató, minden pénzt megér.

    Tibor, 23
  • Nem találsz külön tanárt? Ne is keress! Irány a mateking!!!!

    Bori, 19
  • Felsőbb éves egyetemisták ajánlották, "kötelező" címszóval.
    Ricsi, 19
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez
Hurrá, itt már nincs következő!