Lineáris algebra képsor tartalma:

Szuper-érthetően elmagyarázzuk neked, hogyan kell felírni az egyenes és a sík egyenletét. | Normálvektor, Két pont közti vektor, Két pont távolsága, Irányvektor, Az egyenes egyenlete síkban, A sík egyenlete térben, Az egyenes térbeli egyenletrendszere. |

A képsor tartalma

Itt az ideje, hogy egy kis geometriával is foglalkozzunk.

Aggodalomra semmi ok, csak néhány apróság. Kezdjük a síkbeli vektorokkal és egyenesekkel.

EGYENES EGYENLETE: a  ponton átmenő és

normálvektorú egyenes egyenlete:

Emlékeztetőül, az egyenes normálvektora

az egyenesre merőleges nem nullvektor.

KÉT PONT KÖZTI VEKTOR: a  és a pontok

                                közötti vektor koordinátás alakja

KÉT PONT TÁVOLSÁGA: a  és a pontok

                            egymástól mért távolsága

Térben minden ugyanez, csak három koordináta van.

SÍK EGYENLETE: a  ponton átmenő és

normálvektorú sík egyenlete:

Emlékeztetőül, az egyenes normálvektora

az egyenesre merőleges nem nullvektor.

KÉT PONT KÖZTI VEKTOR: a  és a

                   pontok közötti vektor koordinátás alakja

KÉT PONT TÁVOLSÁGA: a  és a

                           pontok egymástól mért távolsága

Próbáljuk most meg előállítani az egyenes egyenletét térben. Ez nekünk hasznos lenne, viszont nem szerepel itt a listán.

Sajnos adódnak vele bizonyos problémák, de hát nézzük meg.

Állítsuk elő a  ponton átmenő és

irányvektorú egyenes egyenletét.

Azért kell most normálvektor helyett irányvektort használni, mert sajnos térben

nem igazán egyértelmű, hogy mely vektorok merőlegesek az egyenesre.

Az irányvektor viszont egyértelmű, csak a hossza ami változhat.

Ha a az egyenesnek egy tetszőleges pontja, akkor

Ez a  vektor az egyenes irányvektorának valahányszorosa

Ha  akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor

Ha  akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor

Ha  akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor

Itt mindenki -val egyenlő, tehát akkor ők maguk is egyenlők.

Ezt hívjuk térben az egyenes egyenletrendszerének.

Nézzünk meg egy példát.

Írjuk föl a  ponton átmenő és  

irányvektorú egyenes egyenletét.

Itt az egyenes egyenletrendszere:

Sajna -vel gondok lesznek.

Lássunk most egy tipikus feladattípust.

Írjuk föl a ponton átmenő és a

 egyenletű egyenesre merőleges

egyenes síkbeli egyenletét.

Írjuk föl a ponton átmenő és az

egyenletrendszerű egyenesre merőleges

sík térbeli egyenletét.

A  egyenes normálvektora   

Ezt a vektort úgy tudjuk hasznosítani,

hogy -kal elforgatjuk, mert akkor

a keresett egyenes normálvektora lesz.

Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,

hogy felcseréljük a koordinátáit,

és az egyiket beszorozzuk -gyel.

Megvan a normálvektor, úgyhogy

az egyenesünk egyenlete:

Lássuk itt mit tehetnénk.

A sík normálvektora éppen az egyenes irányvektora.

Itt jön a sík egyenlete:

És végül jön egy másik tipikus feladattípus is.

Írjuk föl a  és ponton

átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

Írjuk föl a  a és az

pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

A  ponton átmenő  és  

normálvektorú egyenes egyenlete:

A  ponton  átmenő  és

normálvektorú sík egyenlete:

Pontunk az van bőven, normálvektorunk viszont

nincs egy darab se, úgyhogy csinálnunk kell.

Ezt elforgatjuk -kal, és meg is van a normálvektor.

Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,

hogy felcseréljük a koordinátáit,

és az egyiket beszorozzuk -gyel.

Az egyenes egyenlete:

Itt a síknál viszont lesz egy kis probléma.

Térben ugyanis nincs olyan,

hogy egy vektort -kal

elforgatunk.

Valami mást kell tehát kitalálnunk, hogy megkapjuk a sík normálvektorát.

Egy olyan vektorra lenne szükségünk, amely merőleges a ,  és  pontok által kifeszített háromszögre. Ez a vektor lesz az úgynevezett vektoriális szorzat.

 

Az egyenes és a sík egyenlete

06
Itt jön egy fantasztikus
Lineáris algebra képsor.

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!