Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Lineáris algebra

Kategóriák
  • Mátrixok és vektorok
  • Egy kis geometria
  • Vektorterek, független és összefüggő vektorok
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
  • Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
  • Sajátérték, sajátvektor, sajátfelbontás
  • Lineáris leképezések
  • Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
  • Egyenletrendszerek optimális megoldása, pszeudoinverz
  • Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció
  • Mátrixok LU-felbontása és QR-felbontása
  • Iterációs módszerek egyenletrendszerek megoldására
  • Komplex számok
  • Polinomok
  • Interpolációs polinomok
  • Oszthatóság
  • Euklideszi algoritmus, Diofantoszi egyenletek
  • Kongruenciák, Euler-Fermat tétel
  • Csoportok, gyűrűk, testek

Sajátérték, sajátvektor, sajátfelbontás

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Sajátérték és sajátvektor, karakterisztikus egyenlet
02
 
Sajátvektoros feladatok megoldása
03
 
Sajátérték és sajátvektor, sajátaltér (Bázistranszf.)
04
 
Sajátérték és sajátvektor, sajátaltér (Gauss)
05
 
Sajátérték és sajátvektor 3x3-as mátrixra (bázistranszf.)
06
 
Sajátérték és sajátvektor 3x3-as mátrixra (Gauss)
07
 
Mátrixok diagonalizálása, a diagonális alak (bázistranszf.)
08
 
Mátrixok diagonális alakja (Gauss)
09
 
Sajátfelbontás, mátrixok gyors hatványozása
10
 
Mátrixok hatványozása és inverze a sajátfelbontás segítségével
11
 
Mátrixpolinomok, a Cayley-Hamilton tétel
12
 
Mátrixok spektrálfelbontása
13
 
Gersgorin-körök

Diagonális alak, mátrixok diagonalizálása

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.

A diagonális alak így néz ki:

\( \text{diag}(A)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)

a főatlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.

A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:

\( \text{diag}(A) =X^{-1} \cdot A \cdot X \)

itt $X= \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots \underline{v}_n \end{pmatrix} $

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Diagonalizálás

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.

A diagonális alak így néz ki:

\( \text{diag}(A)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)

a főatlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.

A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:

\( \text{diag}(A) =X^{-1} \cdot A \cdot X \)

itt $X= \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots \underline{v}_n \end{pmatrix} $

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrixok diagonális alakja

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.

A diagonális alak így néz ki:

\( \text{diag}(A)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)

a főatlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.

A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:

\( \text{diag}(A) =X^{-1} \cdot A \cdot X \)

itt $X= \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots \underline{v}_n \end{pmatrix} $

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hatványozás a sajátfelbontás segítségével

A spektrálfelbontás segítségével könnyebben hatványozhatunk:

\( A^n = X \cdot \left( diag(A) \right)^n \cdot X^{-1} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sajátfelbontás

Ha az $A$ mátrix egy $n$ x $n$-es diagonalizálható mátrix, akkor a sajátfelbontása:

\( A = X \cdot diag(A) \cdot X^{-1} \)

Itt $X = \begin{pmatrix} \underline{v}_1 &  \underline{v}_2 & \dots & \underline{v}_n \end{pmatrix}$ vagyis egyszerűen úgy keletkezi, hogy a sajátvektorokat fogjuk, és leírjuk egymás mellé és

\( diag(A) = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

a) Sajátvektora-e az $A$ mátrixnak az $\underline{u}$ és a $\underline{v}$ vektor?

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \qquad \underline{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

b) Számoljuk ki az $A = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

a) Itt van egy nagyszerű mátrix, ezzel a három vektorral:

\( A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \qquad \underline{u}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{w}=\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \end{pmatrix} \)

És a feladatunk az, hogy derítsük ki, ezek közül a vektorok közül melyik sajátvektora az $A$ mátrixnak. A sajátvektorhoz pedig számoljuk majd ki a sajátértékeket is.

b) Számoljuk ki az $A$ mátrix sajátértékeit.

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \)

c) 

Itt van egy nagyszerű mátrix, ezzel a három vektorral:

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad \underline{u}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{w}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \)

Nézzük meg, hogy ezek közül a vektorok közül melyik sajátvektor, és a sajátvektorokhoz számoljuk ki a hozzájuk tartozó sajátértékeket is.

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) Itt ez a mátrix, és számoljuk ki a sajátértékeit és sajátvektorait.

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \)

b) Itt jön aztán ez a 3x3-as mátrix. Számoljuk ki a sajátértékeit, sajátvektorait és a sajátvektorok által generált sajátaltereket.

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

a) Itt ez a mátrix, és számoljuk ki a sajátértékeit és sajátvektorait.

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \)

b) Itt jön aztán ez a 3x3-as mátrix. Számoljuk ki a sajátértékeit, sajátvektorait és a sajátvektorok által generált sajátaltereket.

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

A megoldásunk során a Gauss-transzformációt használjuk.

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

A megoldásunk során a Gauss-transzformációt használjuk.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

A bázis transzformáció segítségével állítsuk elő ennek a 3x3-as mátrixnak a diagonális alakját.

\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

A Gauss elimináció segítségével állítsuk elő ennek a 3x3-as mátrixnak a diagonális alakját.

\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Van itt ez a mátrix.

\( A = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Számoljuk ki, hogy mennyi $A^{10}$.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Sajátérték és sajátvektor, karakterisztikus egyenlet

Sajátvektoros feladatok megoldása

Sajátérték és sajátvektor, sajátaltér (Bázistranszf.)

Sajátérték és sajátvektor, sajátaltér (Gauss)

Sajátérték és sajátvektor 3x3-as mátrixra (bázistranszf.)

Nézzük meg ennek a -as mátrixnak a sajátértékeit

és sajátvektorait.

A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:

Az első sor elemeit a sakktábla-szabály alapján váltakozó előjellel kell venni.

Kifejtjük a 2x2-es determinánsokat is.

És kicsit összevonunk. Sőt nem is olyan kicsit.

Valahogyan meg kéne oldani ezt az egyenletet, hogy megkapjuk az egyenlet megoldásait, a sajátértékeket.

A karakterisztikus egyenlet megoldásai lesznek majd a sajátértékek.

Feltéve, hogy sikerül megoldanunk az egyenletet.

 Íme, három hasznos megoldási ötlet ilyen típusú egyenletek megoldásához:

 kiesik a konstans tag

Mindhárom esetben egy olyan szorzatot kaptunk, ami egy elsőfokú és egy másodfokú egyenlet szorzata, azokat pedig már külön-külön meg tudjuk oldani.

Vannak persze olyan harmadfokú egyenletek is, amiket nehezebb megoldani,

de szerencsére ezek általában elkerülnek bennünket.

Lássuk, a három közül melyik módszer válik be a mi egyenletünknél.

Emeljünk ki 2-t.

A kettes módszer itt nem működik,

ezért a fortélyos hármas módszert próbáljuk meg, hátha beválik.

A másodfokú részt felbontjuk,

aztán pedig megpróbáljuk szorzattá alakítani.

Van egy ilyen, hogy

emlékeztetőül:

A másodfokú izét szorzattá alakítjuk

Ez igazán remek, ugyanis most már ki lehet emelni,

aztán pedig hopp, már meg is oldottuk.

Itt összevonunk:

Három sajátérték van, ami valójában csak kettő,

mert a  kétszeres sajátérték.

Jöhetnek a sajátvektorok!

Az egyenletrendszert a szokásos bázistranszformációval oldjuk meg.

Akinek esetleg elhalványultak az ezzel kapcsolatos emlékei, nézze meg a bázistranszformációról szóló témaköröket.

Belerakjuk a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

Itt a bázistranszformáció elakad.

Ha két x is fönt mard,

az egyik t, a másik s

Most már itt se folytatható.

Itt csak egy x maradt fönt, de mivel a  és  

már foglalt, legyen .

A sajátvektor ha  

 ahol

És a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A sajátvektor  ha  


Sajátérték és sajátvektor 3x3-as mátrixra (Gauss)

Nézzük meg ennek a -as mátrixnak a sajátértékeit

és sajátvektorait.

A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:

Az első sor elemeit a sakktábla-szabály alapján váltakozó előjellel kell venni.

Kifejtjük a 2x2-es determinánsokat is.

És kicsit összevonunk. Sőt nem is olyan kicsit.

Valahogyan meg kéne oldani ezt az egyenletet, hogy megkapjuk az egyenlet megoldásait, a sajátértékeket.

A karakterisztikus egyenlet megoldásai lesznek majd a sajátértékek.

Feltéve, hogy sikerül megoldanunk az egyenletet.

 Íme, három hasznos megoldási ötlet ilyen típusú egyenletek megoldásához:

 kiesik a konstans tag

Mindhárom esetben egy olyan szorzatot kaptunk, ami egy elsőfokú és egy másodfokú egyenlet szorzata, azokat pedig már külön-külön meg tudjuk oldani.

Vannak persze olyan harmadfokú egyenletek is, amiket nehezebb megoldani,

de szerencsére ezek általában elkerülnek bennünket.

Lássuk, a három közül melyik módszer válik be a mi egyenletünknél.

Emeljünk ki 2-t.

A kettes módszer itt nem működik,

ezért a fortélyos hármas módszert próbáljuk meg, hátha beválik.

A másodfokú részt felbontjuk,

aztán pedig megpróbáljuk szorzattá alakítani.

Van egy ilyen, hogy

emlékeztetőül:

A másodfokú izét szorzattá alakítjuk

Ez igazán remek, ugyanis most már ki lehet emelni,

aztán pedig hopp, már meg is oldottuk.

Itt összevonunk:

Három sajátérték van, ami valójában csak kettő,

mert a  kétszeres sajátérték.

Jöhetnek a sajátvektorok!

Az egyenletrendszert a szokásos bázistranszformációval oldjuk meg.

Akinek esetleg elhalványultak az ezzel kapcsolatos emlékei, nézze meg a bázistranszformációról szóló témaköröket.

Belerakjuk a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

Itt a bázistranszformáció elakad.

Ha két x is fönt mard,

az egyik t, a másik s

Most már itt se folytatható.

Itt csak egy x maradt fönt, de mivel a  és  

már foglalt, legyen .

A sajátvektor ha  

 ahol

És a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A sajátvektor  ha  


Mátrixok diagonalizálása, a diagonális alak (bázistranszf.)

Ha egy -es mátrixnak van  darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.

A diagonális alak így néz ki:

a főátlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.

A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:

itt  vagyis egyszerűen úgy keletkezik, hogy a sajátvektorokat fogjuk, és leírjuk egymás mellé.

Nézzünk meg erre egy példát!

Állítsuk elő ennek a -as mátrixnak a diagonális alakját.

1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET FELÍRÁSA

A főátló elemeiből kivonogatjuk a -kat, és vesszük a determinánsát:

A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:

2. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET MEGOLDÁSAI A SAJÁTÉRTÉKEK

Most három sajátérték van, ;  és  .

Mindhárom sajátértékhez megkeressük a hozzá tartozó sajátvektort. 

 3. A SAJÁTÉRTÉKEKHEZ TARTOZÓ SAJÁTVEKTOROK MEGKERESÉSE

 A sajátvektorokat úgy kapjuk meg, ha megoldjuk az  

 egyenletrendszert:

Az egyenletrendszereket bázistranszformációval oldjuk meg.

Akinek a bázistranszformációval kapcsolatos emlékei sajnálatos módon

elhalványultak, az nézze meg az erről szóló részt.

A bázistranszformáció elakadt, -et nem tudjuk lehozni, így elnevezzük –nek.

Leolvassuk a megoldást.

A  sajátértékhez tartozó sajátvektor:

 ahol

Most jöhet a többi sajátvektor. Megint az  egyenletrendszert kell megoldanunk:

Belerakjuk a -t

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A  sajátértékhez tartozó sajátvektor:

 ahol

és a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A  sajátértékhez tartozó sajátvektor:

 ahol

Úgy tűnik van három független sajátvektor, tehát a mátrix

diagonalizálható, a diagonalizáló mátrix pedig

A diagonális alakot az eredeti mátrixból a diagonalizáló mátrix

segítségével állítjuk elő:

A szorzásokat elvégezni azonban felesleges, mert a diagonális alak mindig úgy néz ki, hogy a főátlóban vannak a sajátértékek, az összes többi elem pedig nulla.

A sajátértékeket már régóta tudjuk        

A diagonális alak tehát:


Mátrixok diagonális alakja (Gauss)

Sajátfelbontás, mátrixok gyors hatványozása

Mátrixok hatványozása és inverze a sajátfelbontás segítségével

Mátrixpolinomok, a Cayley-Hamilton tétel

Mátrixok spektrálfelbontása

Gersgorin-körök

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim