Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik

Van egy leképezés, amit már réges-régóta ismerünk, mert minden általános iskolában tanítják.

Ez a leképezés a tengelyes tükrözés.

Na persze a tükrözés mátrixát már nem tanítják az általános iskolában…

Az x tengelyre tükrözés mátrixát úgy kapjuk, hogy vesszük a bázisvektorok képeit…

És ezeket szépen egymás mellé írjuk egy mátrixba.

Ez a mátrix azt is elárulja, hogy mi lesz egy vektor képe a tükrözés hatására.

Van itt például ez a vektor…

És a tükörképének a koordinátáit úgy kapjuk meg…

hogy a tükrözés mátrixát megszorozzuk a vektorral.

Az y tengelyre tükrözés mátrixa hasonló módon keletkezik…

Itt vannak a bázisvektorok…

És megnézzük, hogy melyikkel mi fog történni.

A dolog akkor válik izgalmasabbá, hogyha valamilyen ferde tengelyre tükrözünk.

Nézzük meg például ezt…

Amikor az  tengelyre tükrözünk, az x és y koordináták helyet cserélnek…

Lássuk, mi történik ezzel a vektorral:

A tükörképét most is úgy kapjuk, hogy megszorozzuk szépen a tükrözés mátrixával…

És íme a tükörkép.

A koordináták itt is szépen fölcserélődtek.

De mi van akkor, ha az egyenesre tükrözünk?

Ez már sokkal izgalmasabb és ránézésre nem is lehet úgy kitalálni, mint az eddigieket.

Azzal kezdjük, hogy kiderítjük mi lehet ennek az egyenesnek a normálvektora.

Most, hogy ez megvan, itt jön egy kis geometriai bűvészkedés.

Kiszámoljuk a  vektornak az  vektorra eső merőleges vetületét…

egy skaláris szorzat segítségével.

Meg is van.

A dolog olyankor is működik, ha a vektorok szöge egy kicsit nagyobb…

Csak ilyenkor bejön ide ez a mínuszjel.

Hogyha szeretnénk tükrözni a  vektort az egyenletű egyenesre…

Akkor egyszerűen csak fogjuk ezt az  vektort…

Elosztjuk a saját hosszával, hogy egységnyi hosszú legyen…

Aztán pedig beszorozzuk q-val.

Pontosabban inkább a kétszeresével.

Hogyha ezt a vektort most hozzáadjuk az eredeti -hez…

Akkor meg is kapjuk a tükörképét.

Kizárólag esztétikai okokból ezt még átírjuk így…

Végül kiemeljük a  vektort.

Hát igen, hogyha -t sajátmagából emeljük ki, az az egységmátrix lesz…

Meg is van a tükrözés mátrixa.

Az origón átmenő a normálvektorú egyenesre tükrözés mátrixa:

Hogyha már ennyit szenvedtünk vele, akkor próbáljuk is ki.

Meg is van a tükrözés mátrixa.

Ezt a mátrixot csak úgy ránézésre már valóban nem találtuk volna ki…

És most lássuk, mi történik ezzel a vektorral, ha tükrözzük az  egyenesre.

Már jön is:

Van itt ez a 90o-os forgatás…
Aminek a mátrixát a szokásos módon kapjuk meg.
Vesszük az egyik bázisvektort…
és megnézzük, hogy a forgatás hatására mi lesz belőle.
Aztán vesszük a másikat is…

És meg is van a forgatás mátrixa.
Ha nem 90 fokkal, hanem 180 fokkal forgatunk…
Azt úgy hívjuk, hogy középpontos tükrözés.

A középpontos tükrözés mátrixa:

 
Ez a mátrix éppen az egységmátrix mínuszegyszerese.

A középpontos tükrözés úgy működik, hogy minden vektornak…
…elkészíti az ellentettjét.

És most nézzük, hogyan néz ki a forgatás mátrixa tetszőleges   szögre.

is működik.

Hogyha az első bázisvektort elforgatjuk   szöggel…
Akkor a koordinátái…

Hát, igen, az   irányszögű egységvektor első koordinátája a koszinusz…

A második pedig a szinusz.

Eddig jó.

A második bázisvektor már izgalmasabb…

És végre kiderül, hogy ez a rengeteg trigonometrikus azonosság…
Még jó is valamire.
 

Meg is van az 

Íme, az   szögű forgatás mátrixa.

Most pedig nézzük, hogyan működik mindez térben.

Az origó körüli forgatás térbeli megfelelője egy tengely körüli forgatás lesz.

Hogyha például az x tengely körül forgatunk, akkor a forgatás a másik két koordinátatengely síkjában történik.

Az x, y és z tengelyek körüli forgatások mátrixai:

A forgatások mindhárom esetben egy síkban történnek.

A három tengely közül mindig az egyik tengely az, ami körül forgatunk…
és mindig a másik két tengely által kifeszített síkban.

Ezeket a koordinátasíkokban történő forgatásokat Givens forgatásnak nevezzük.

A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha mindezt a négydimenziós térben csináljuk…

Az x és y tengelyek síkjában történő   szögű forgatás mátrixát már ismerjük.

Éppen itt is van:

Hogyha van egy harmadik koordinátatengely is…
Az mindegy, a harmadik koordinátával a forgatás nem csinál semmit.

Sőt, tulajdonképpen lehet akárhány koordináta…

Egy négydimenziós térben az első két koordinátatengely síkjában történő forgatás mátrixa így néz ki:

És lehet akár ötödik vagy hatodik dimenzió is.

A forgatást pedig bármely két koordinátatengely síkjában végezhetjük…

Ha például a második és a harmadik tengely síkjában forgatunk…
Akkor a mátrix ilyen lesz:

Hogyha pedig a második és a negyedik tengely síkjában…
akkor ilyen.

Ezeket a forgatásokat, amelyeket két tetszőlegesen választott koordinátatengely síkjában végzünk Givens forgatásnak nevezzük.

Givens egyébként egy ember volt…

A Givens forgatások mátrixa tulajdonképpen egy egységmátrix…
Egykét apró módosítással.

Az i és j koordinátatengelyek síkjában történő Givens forgatás mátrixát úgy kapjuk…
Hogy arra a négy helyre, ahol az egységmátrix i-edik és j-edik sora és oszlopa metszi egymást…
Beírjuk szépen az alfa szögű forgatás mátrixának elemeit.

A Givens forgatásokat arra fogjuk használni, hogy mátrixok bizonyos elemeit kinullázzuk vele.

És hirtelen valamilyen különös vágyat érzünk arra, hogy ez az elem itt nulla legyen.

A Givens forgatásokkal mindez lehetséges…

Az első két koordinátatengely síkjában fogunk forgatni.

Ez pedig itt a forgatás mátrixa:

Egy olyan forgatás kéne, ami ezt a vektort…
szépen elforgatja az x tengely vonalába…

A forgatás szöge  .
 
De van itt még egy kis gond.

A forgatás iránya.

Nekünk éppen az ellenkező irány kéne.

Mondjuk, ezen könnyen lehet segíteni…

Az   szöget kicseréljük az ellentettjére, és a forgatás iránya máris megváltozik.

Végül vannak itt ezek az azonosságok…

Az teljesen mindegy, hogy mekkora az   szög…
Berakjuk szépen ezeket ide a mátrixba.
És meg is vagyunk.

Hogyha ezt a mátrixot megszorozzuk az A mátrixszal…
Akkor minden álmunk valóra válik.

Ezzel a módszerrel tovább tudjuk folytatni a kinullázást, és az A mátrixot felső háromszögmátrixszá tudjuk alakítani.

Bizonyos mátrixok esetében ez az eljárás a leghatékonyabb különböző mátrixfelbontások végrehajtásához.

A tengelyes tükrözés térbeli megfelelője a síkra tükrözés.
Hát igen, itt már valódi házakat tükrözünk…

Nézzük meg például az x és y tengelyek által kifeszített síkra tükrözés mátrixát.

Itt vannak a bázisvektorok.
És a tükrözés hatására…

Meg is van a tükrözés mátrixa.

Ezt még nem volt nehéz kitalálni.

Egy fokkal izgalmasabb kérdés, hogy mi lehet az  síkra tükrözés mátrixa.

Ehhez már kicsivel jobb térlátásra van szükség.

A z tengely benne van a síkban…
Így aztán a tükrözés a z tengelyen lévő vektorokkal nem csinál semmit.

Az x és y tengelyt pedig a tükrözés fölcseréli.

És íme, itt a tükrözés mátrixa.

De mi történik akkor, ha egy ferde síkra tükrözünk?
Mondjuk erre a síkra itt:

A síkbeli esetben volt már erre egy kis képletünk…
Éppen itt is van:

Ez volt az origón átmenő   normálvektorú egyenesre tükrözés mátrixa a síkban.

Térben minden pontosan ugyanígy fog történni.

Hogyha egy origón átmenő sík normálvektora az   vektor…
…akkor az erre a síkra tükrözés mátrixa:

Ezeket a tükrözéseket Householder-tükrözésnek nevezzük.

És most lássuk a tükrözés mátrixát.

Ehhez mindössze a sík normálvektorára van szükség.

Meg egy kis számolásra…

Az origón átmenő   normálvektorú síkra történő tükrözés mátrixa:

Householder tükrözés:

Meg is van.

A Householder-tükrözéseket arra tudjuk használni, hogy egy vektort egy általunk kiszemelt másik vektorrá transzformáljunk át.

Mindjárt meg is látjuk, hogy mindezt hogyan.

Keressük azt a Householder-tükrözést, ami az   vektort a   vektorba transzformálja.
 

Na, ilyen tükrözés nem lesz, a két vektor ugyanis nem egyforma hosszú…

 
Ahhoz, hogy a Householder-tükrözéssel egy vektort egy másik vektorba tudjunk transzformálni az kell, hogy a két vektor hossza egyforma legyen.

Hát jó…

Vannak itt ezek az egyforma hosszú vektorok. 

 
Keressük azt a Householder-tükrözést, ami az   vektort a   vektorba transzformálja.

Elkészítjük ezt a vektort:
 
Ez lesz a tükröző sík normálvektora…

És most jöhet a Householder-mátrix:

Íme, a Householder-mátrix:

Hogyha tükrözzük vele az   vektort…
Akkor tényleg a   vektort kapjuk.

Ha pedig a   vektort tükrözzük…
Akkor az   vektor jön ki.
 

A szokásos háromdimenziós térben az origón átmenő   normálvektorú síkra tükrözés mátrixa egy Householder-mátrix.

Éppen itt is van:

A dolog tovább általánosítható négydimenziós, sőt n dimenziós térre.

Az   normálvektorú hipersíkra tükrözés mátrixa is egy pontosan ugyanilyen Householder-mátrix lesz.

Az   normálvektorú hipersíkra tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük. A tükrözés mátrixa:

A Householder-tükrözéseket arra fogjuk használni, hogy egy vektort egy általunk kiszemelt másik vektorrá transzformáljunk át.

Hogyha   és   különböző vektorok, és teljesül rájuk, hogy   akkor létezik olyan Householder-tükrözés, ami az   vektort a   vektorba transzformálja.

ahol
 

Itt van például ez a mátrix.

És hirtelen leküzdhetetlen vágyat kezdünk érezni, hogy ezeket az elemeit kinullázzuk.
A Householder-tükrözés valóra váltja álmainkat.

Legalábbis az ilyen jellegűeket…

Vesszük ezt a vektort:

És szépen áttranszformáljuk ebbe a másikba.

Az első koordináta valami x, ez mindegy mennyi, a másik kettő pedig nulla, ahogyan ennek lennie kell.

Egyedül arra vigyázzunk, hogy a két vektor azonos hosszú legyen.

És most elkészítjük a Householder mátrixot.

Hogyha ezt beszorozzuk az eredeti A mátrixszal…

Akkor meg is van a kinullázás.

Egy újabb Householder-tükrözéssel pedig…
Itt is nullát tudunk gyártani.

Ezzel a módszerrel az A mátrixot felső háromszögmátrixszá tudjuk alakítani.

Ez pedig éppen jól jön akkor, ha szeretnénk egy trópusi szigeten tölteni a vakációt…

Ja, ahhoz mondjuk pont nem. Egyenletrendszerek megoldáshoz viszont igen.