14 témakör, 159 rövid és szuper érthető lecke
Ez a remek Matek 1 Corvinus kurzus 159 rövid és szuper-érthető tananyag, 24 pdf és 32 tesztfeladatsor segítségével 14 témakörön keresztül vezet végig az izgalmas Matek 1 Corvinus rögös útjain. Mindezt olyan könnyed stílusban, mintha csak a rántotta elkészítésének problémájáról lenne szó.
Tartalomjegyzék:
A kurzus 14 szekcióból áll: Függvények és inverz függvények, Sorozatok, Küszöbindex és monotonitás, Sorok, Függvények határértéke és folytonossága, Deriválás, Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete, Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok, L'hospital-szabály, Taylor-polinom, Taylor-sor, Mátrixok, vektorok, Független és összefüggő vektorok, Lineáris egyenletrendszerek, Determináns, sajátérték, sajátvektor, Kétváltozós függvények
FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA ÉS FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK
- Értelmezési tartomány, értékkészlet - Azokat a szerencsés x-eket, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot, a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Azokat az y-okat pedig, amelyeket hozzárendel értékkészletnek.
- Függvénytranszformációk - Külső és belső transzformációk.
- Eltolás és tükrözés - Tükrözés az x tengelyre és tükrözés az y tengelyre.
EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUS FÜGGVÉNYEK
- Exponenciális azonosságok - Lássuk a legfontosabb hatványazonosságokat.
- Exponenciális egyenletek - Megoldunk néhány exponenciális egyenletet.
- Exponenciális függvények - Az exponenciális függvények áttekintése.
- Logaritmus azonosságok - Lássuk a legfontosabb logaritmus azonosságokat.
- Logaritmikus egyenletek - Megoldunk néhány logaritmikus egyenletet.
- Logaritmus függvények - A logaritmus függvények áttekintése.
TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS AZ EGYSÉGKÖR
- Az egységkör - Az egységkör egy origo középpontú egységnyi sugarú kör és marhajó dolgokra képes...
- Kezdő sugár - Az egységkörben az x tengely irányába mutató sugárirány, innen kezdjük mérni a forgásszöget.
- Forgásszög - A kezdő sugártól mért szög.
- Koszinusz - Az egységkörben az egységvektor x koordinátája.
- Szinusz - Az egységkörben az egységvektor y koordinátája.
- Trigonometrikus függvények - Lássuk milyen trigonometrius függvények vannak.
- Periodikus függvények - Olyan függvények, amelyek időről időre megismétlik önmagukat.
- Trigonometrikus egyenletek - Lássuk hogyan kell megoldani trigonometrikus egyenleteket.
- Magasabb fokú trigonometrikus egyenletek - Néhány izgalmas feladat.
INVERZ FÜGGVÉNY
- Az inverz függvény - Lássuk hogyan kell kiszámolni az inverzt.
- Néhány fontosabb függvény inverze - Fontosabb függvények inverze és az inverz geometriai jelentése.
SOROZATOK
- Sorozatok indexe - A sorozatok indexe azt mondja meg nekünk, hogy éppen hányadik tagnál járunk.
- Sorozatok határértéke - A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.
- Nevezetes sorozatok - Exponenciális sorozatok határértéke, polinomiális sorozatok határértéke, gyökös sorozatok határértéke.
- Határérték és műveletek - Két sorozat összegének határértéke, két sorozat szorzatának határértéke, két sorozat hányadosának határértéke.
- A határérték kiszámolása - A törtes sorozatok határértékének kiszámolása: mindig a nevező legerősebb tagjával osztunk.
- Gyökös sorozatok - Lássuk mi a teendő gyökös sorozatok és ronda gyökös sorozatok esetén.
- e-hez tartó sorozatok - Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.
- Konvergens sorozatok - Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.
- Divergens sorozatok - Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensenk nevezzük.
- Oszcilláló sorozatok - Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.
- Rendőr-elv - Ha két rendőr közrefog egy honpolgárt és a két rendőr konvergál a rendőrörsre, akkor az általuk közrefogott honpolgárnak is szükségképpen konvergálnia kell a rendőrörsre..
- Becslések - Megtanuljuk, hogyan kell alulról és felülről becsülni.
FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
- Függvényhatárérték - Lássuk mi is az a függvényhatárérték!
- Határérték kiszámolása - Néhány remek módszer a függvények határértékének kiszámolására.
- Racionális törtfüggvények határértéke - Racionális törtfüggvényeknél előforduló 0/0 és szám/0 típusú határértékek kiszámolásának módszerei.
- Trigonometrikus függvények határértéke - Beszéljünk egy kicsit a trigonometrikus függvények határértékéről. Néhány nevezetes határérték, élükön a sinx/x típusúval.
FOLYTONOSSÁG
- Függvények folytonossága - Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.
- Szakadás - Ha egy adott pontban a függvényérték és a határérték nem egyezik meg, akkor a függvénynek szakadása van az adott pontban. Ennek számos típusa lehet...
- Megszüntethető szakadás - Ez olyankor van, ha a függvénynek létezik határértéke az adott pontban, de az nem egyezik meg a függvényértékkel.
- Ugrás - Ez olyankor van, ha a függvénynek nem létezik határértéke az adott pontban, de van jobb és bal oldali véges határértéke.
- Nem megszüntethető nem véges szakadás - Ez olyankor van, ha a függvénynek nem véges a határértéke az adott pontban.
- Nem megszüntethető oszcilláló szakadás - Ez mindegyik közül a legszörnyűbb eset, ilyenkor a függvénynek jobb és bal oldali határértéke sincs.
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
- Mi az a deriválás? - A derivált a függvény grafikonjához húzott érintő meredeksége. Lássuk a sztorit..
- A deriválás definíciója - A deriválás bemutatása és a precíz definíció.
- Differencia hányados - A szelő meredeksége a differencia hányados.
- Differenciál hányados - Az érintő meredeksége a differenciál hányados.
- Alapderiváltak - Fontosabb függvények deriváltjai.
- Deriválási szabályok - Összeg, szorzat és hányados függvények deriváltjai.
- Lánc-szabály - Egy csodálatos szabály az összetett függvények deriválására.
- Összetett függvények deriválása - Példák összetett függvények deriválására.
A DERIVÁLÁS ALKALMAZÁSAI, FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT
- Az első derivált és a monotonitás - Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.
- A második derivált és a konvexitás - A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.
- Stacionárius pontok és a derivált előjele - A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.
- A függvény grafikonja - Lássuk, hogyan kell megrajzolni a függvény grafikonját.
- Gazdasági feladatok - Néhány izgalmas gazdasági feladat.
- L'Hospital szabály - A határérték számítás csodafegyvere, egy szuper módszer, amivel nagyon sok bonyolult határérték gyorsan kiszámolható.
- Taylor Polinom és Taylor sor - Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...
MÁTRIXOK
- Mátrixok - A mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.
- Mátrix műveletek - Skalárral szorzás, mátrixok összeadása, mátrixok szorzása..
- Négyzetes és diagonális mátrixok - A négyzetes mátrix azt jelenti, hogy ugyanannyi sora van, mint ahány oszlopa. A diagonális mátrix olyan négyzetes mátrix, aminek a főátlón kívüli elemei nullák.
- Transzponált - A transzponálás tükrözi a mátrixot a főátlóra. Nézzük meg, hogyan.
VEKTOROK
- Skaláris szorzat - A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.
- Vektoriális szorzat - Ez pedig egy olyan szorzás, amely a két vektorból csinál egy harmadik vektort..
- Diadikus szorzat - Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen..
- Két vektor közti szög - Két vektor által bezárt szög kiszámolása a skaláris szorzat segítségével.
EGY KIS GEOMETRIA
- Az egyenes egyenlete - Az egyenes síkbeli egyenlete és az egyenes térbeli egyenletrendszere.
- A sík egyenlete - Lássuk mi lesz a sík egyenlete - térben.
- Két pont közti vektor - Síkban és térben.
- Két pont távolsága - Síkban és térben.
VEKTORTEREK
- Az axiómák - Végre valami izgalom...
- Koordináták - A valós feletti n dimenziós vektortér jele Rn ahol n a vektorok koordinátáinak számát jelöli.
- Lineárisan független vektorok - Egy vektorrendszer elemei linárisan függetlenek, ha egyik vektor sem állítható elő a többi segítségével.
- Lineárisan összefüggő vektorok - Egy vektorrendszer elemei linárisan összefüggők, ha van olyan vektor közöttük, amelyik előállítható a többi vektor segítségével.
- Generátorrendszer - Vektorknak egy halmaza, amely segítségével minden egyéb vektortérbeli vektor előállítható. Lássuk hogyan.
- Bázis - A lineárisan független generátorrendszer.
- Alterek - W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.
- Rang - Vektorrendszer rangja és mátrix rangja.
- Gram-Schmidt ortogonalizáció - Egy remek délutáni program, amivel egy bázisból olyan bázist lehet fabrikálni, ahol a bázisvektorok egymásra merőlegesek.
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
- Együttható mátrix - Az egyenletrendszer együtthatóiból álló mátrix.
- Gauss elimináció - Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.
- Elemi bázistranszformáció - Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.
- Szabadságfok - A szabad változók száma, amelyeket nem lehet levinni a bázistranszformáció során.
- Rang - A transzformációba bevont változók száma.
- Vektorrendszer rangja - A vektorrendszerben a lineárisan független vektorok maximális száma. Lássuk hogyan számolható ki.
- Végtelen sok megoldás, általános megoldás - Mikor van az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása? Az általános megoldás kiszámolása..
- Inverz mátrix nxn-es eset - Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.
- Inverz mátrix nxk-as eset - Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.
A DETERMINÁNS, SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR
- A determináns definíciója - A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.
- Sarrus szabály - Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.
- A kifejtési tétel - Egy túl jó módszer a determináns kiszámplására.
- Szinguláris és invertálható mátrixok - Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla. Regulárisnak pedig azokat, amelyeknek nem nulla.
- A determináns tulajdonságai - Remek tulajdonságai vannak a determinánsoknak.
- Sajátvektor - Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.
- Sajátérték - Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.
- Karakterisztikus egyenlet - A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.
- A diagonális alak - Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.
- Mátrixok definitsége - Hát ez is egy érdekes ügy.
- Kvadratikus alakok - Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...
- Kvadratikus alakok definitsége - A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.
KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
- Mik azok a kétváltozós függvények? - Néhány elképesztően izgalmas példa kétváltozós függvényekre.
- Lokális szélsőértékek - A kétváltozós függvények minimumai és maximumai olyanok, mint hegycsúcsok és völgyek.
- Nyeregpont - Ez egy speciális pont a kétváltozós függvények felületén, amely bizonyos irányok szerint maximum, míg más irányok mentén minimum.
- Parciális deriválás - A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
- x szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol x-et tekintjük változónak.
- y szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol y-t tekintjük változónak.
- Másodrendű deriváltak - Az első deriváltak tovább deriválása újra parciális deriválással történik. Így négy darab másodrendű deriváltat kapunk. Két tiszta másodrendű deriváltat és két vegyes másodrendű deriváltat.
- Young tétel - A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.
- Stacionárius pont - Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
- Hesse mátrix - A másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen gyeregpontja van-e.
- Érintősík - Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ezesetben most egy sík lesz az érintő.
- Az érintősík normálvektora - Az érintősík normálvektora a parciális derivltakból keletkező vektor, amit gradiensnek vagy másként deriváltvektornak is neveznek.
- Gradiens - A parciális derivltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.
- Deriváltvektor - A parciális derivltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.
- Iránymenti derivált - Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.
- Implicit deriválás tétele - Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.
