Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matek 1 Corvinus

Kategóriák
  • Rémes előzmények
  • Függvények
  • Összetett függvény és inverzfüggvény
  • Sorozatok
  • Küszöbindex és monotonitás
  • Sorok
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Deriválás
  • Hatványsorok & Taylor sorok
  • Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
  • Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
  • L'hospital-szabály, Taylor-polinom, Taylor-sor
  • Mátrixok, vektorok
  • Független és összefüggő vektorok
  • Lineáris egyenletrendszerek
  • Determináns, sajátérték, sajátvektor
  • Határozatlan integrálás, primitív függvény
  • Határozott integrálás
  • Kettős integrál
  • Kétváltozós függvények

Küszöbindex és monotonitás

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
  • Tesztek
01
 
Sorozatok küszöbindexe teszt
01
 
Konvergens sorozatok definíciója és a küszöbindex kiszámolása
02
 
Divergens sorozatok
02
 
Sorozatok monotonitása teszt
03
 
Érdekesebb konvergens sorozatok
04
 
Sorozatok monotonitása
05
 
Sorozatok korlátossága, infimum és szuprémum
06
 
A küszöbindex kiszámolása izgalmasabb sorozatok esetében
07
 
FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája
08
 
FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája
09
 
FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája
10
 
FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája
11
 
FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája
12
 
FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája
13
 
FELADAT | Sorozatok konvergenciája
14
 
FELADAT | Sorozatok konvergenciája

Konvergens sorozat definíciója

Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy

$ \mid a_n - A \mid < \epsilon $ minden $n > n_0$-ra

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sorozat határértéke

Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $ \mid a_n - A \mid < \epsilon$ minden $n>n_0$-ra.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Divergens sorozat

Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke plusz végtelen, ha bármely $M>0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M<a_n$ minden $n>n_0$-ra.

Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke minusz végtelen, ha bármely $M<0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M>a_n$ minden $n>n_0$-ra.

Az $a_n$ sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagysi sem egy valós számhoz, sem plusz vagy minusz végtelenbe nem tart.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sorozatok monotonitása

Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton nő, ha $0<a_{n+1}-a_n$.

Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton csökken, ha $0>a_{n+1}-a_n$.

Az $a_n$ sorozat monoton nő, ha $0\leq a_{n+1}-a_n$.

Az $a_n$ sorozat monoton csökken, ha $0 \geq a_{n+1}-a_n$.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-2} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

a) \( a_n = \frac{3n^2+5}{2n^2+4} \)

b) \( a_n = \frac{ 2 \cdot 5^n + 4 }{ 4\cdot 5^n +1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-3} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

\( a_n =(-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-2} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

\( a_n =\frac{6-n}{8n^2-600} \)

b) Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-3} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

\( a_n =\frac{5\cdot 4^n - 12}{3 \cdot 4^n - 64} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását.

a) \( a_n = \frac{6n+7}{2n+1} \)

b) \( a_n = \frac{2n+1}{5n+7} \)

c) \( a_n = \frac{4n^2+7}{3n^2+1} \)

d) \( a_n = \frac{2n^2-3n+6}{n^2+4} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = \frac{6n+1}{2n+7} \)

b) \( a_n = (-1)^n \frac{2n^2+5}{n^2+1} \)

c) \( a_n = (-1)^n \frac{5^{n+1}+3}{5^n+7} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = \frac{3n^2-7}{2n^2+5} \)

b) \( a_n = \frac{n^2+n}{2n^2+1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = (-1)^n \frac{n+1}{n^2+1} \)

b) \( a_n = (-1)^n \frac{3n+2}{n+3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = (-1)^n \frac{3n+5}{n+1} \)

b) \( a_n = (-1)^n \frac{5}{n^2+1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = \frac{3n^3+8}{2n^3+13} \)

b) \( a_n =\frac{4^{n+1}-1}{2^{2n}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozat monotonitását és korlátosságát.

\( a_n = \frac{7n^2-1}{7n^2+1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = \frac{4^{n+1}-5}{2^{2n+1}+1} \)

b) \( a_n =\frac{2^{2n+1}}{4^{n+1}+3 } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Mennyi lesz az $\epsilon = 0,01$-hoz tartozó $n_0$, ha

\( a_n = \frac{3n+2}{5n-1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Mennyi lesz az $\epsilon = 0,01$-hoz tartozó $n_0$, ha

\( a_n = \frac{2n^2+5}{n^2-3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Konvergens sorozatok definíciója és a küszöbindex kiszámolása

Ha egy sorozat előbb utóbb tetszőlegesen megközelít valamilyen számot, akkor a sorozatoknak ezt a tulajdonságát konvergenciának nevezzük.

A konvergencia definícióját több száz év alatt találták ki a matematikusok. Nekünk most lesz rá egy percünk.

Az  sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha bármilyen pici -hoz tudunk találni olyan  indexet, hogy minden ezt követő tag -nál közelebb van az A számhoz.

Ezt nevezzük a sorozat határérték definíciójának.

Mivel azonban a matematika törekszik az egyszerű megfogalmazásokra, nos emiatt még át kell esnie egy kis igazításon.

Íme itt is van.

A leginkább kétségbeejtő rész ebben az új definícióban ez.

De aggodalomra semmi ok. Az, hogy

mindössze ezt jelenti.

Vagyis azt, hogy  közelebb van -hoz, mint .

Nézzük meg például, hogy mennyi lesz az -hoz tartozó , ha

Nos, úgy tűnik akkor lesz a sorozat -nál közelebb a határértékéhez, ha

Vagyis a hetedik tagtól és így .

Itt van aztán egy másik nagyszerű sorozat.


Divergens sorozatok

Újabb nagyszerű sorozatok felbukkanása várható életünkben. A konvergens sorozatokat már ismerjük:

Itt jönnek aztán a divergens sorozatok.

Ez a sorozat például azért divergens, mert végtelenbe tart.

A sorozat bármilyen  számot túlnő, tagjai megállíthatatlanul tartanak a végtelen felé.

Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek azért divergensek, mert mínusz végtelenbe tartanak.

És végül vannak olyan divergens sorozatok is, amelyek nem tartanak sehova. Ilyen sehova sem tartó sorozat például ez:

Az  sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagyis sem egy valós számhoz, sem plusz vagy mínusz végtelenbe nem tart.

Íme a menü:

Nézzük meg, mit művel például ez a sorozat:

A jelek szerint divergens, és tart plusz végtelenbe.

Ez azt jelenti, hogy bármely M>0-ra van olyan n0, hogy

Ha mondjuk , akkor

és így

Ez azt jelenti, hogy sorozatnak a 14696-odik tag utáni összes tagja 600-nál nagyobb.

Ha ez a bizonyos M nem 600, hanem mondjuk 800…

akkor a sorozat egy későbbi tagtól ugyan, de a 800-on is túlnő.

Itt jön aztán egy vicces sorozat. Próbáljuk meg kiszámolni az -hoz tartozó -t

A sorozat divergens.

Így aztán nem létezik -hoz semmiféle .


Érdekesebb konvergens sorozatok

Itt az ideje, hogy szeszélyesebben viselkedő sorozatokkal is megismerkedjünk.

És most megszabadulunk az abszolútértékektől.

Fönt kezdjük.

Ha n=1

Lássuk csak,  vajon pozitív-e.

Nos, ha n=1, 2, 3, 4, 5 akkor igen. De 6 után negatív.

Minket a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis  valahol itt lesz.

Most pedig nézzük mi van a nevezővel.

Ha n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akkor negatív.

De 9-től már pozitív.

Minket most is a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis  valahol itt lesz.

Beszorzunk és aztán kicsit rendet rakunk…

És íme a küszübindex.

Itt jön egy újabb remek sorozat,  és

Lássuk mi a helyzet a nevezővel. Ha n=1, 2, 3, akkor negatív…

De az összes többi n-re pozitív.


Sorozatok monotonitása

A sorozatok monotonitásának vizsgálata valóban elég monoton elfoglaltság lesz.

Szóval ne sok izgalomra számítsunk…

Egy sorozat szigorúan monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb az előtte lévő tagnál.

Szigorúan monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb az előtte lévő tagnál.

Monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.

És monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.

Itt van például egy sorozat, és vizsgáljuk meg a monotonitását.

Nos ez elég rémes lesz.

2.1.   

A jelek szerint tehát szigorúan monoton nő.

Ugyanezt kideríthetjük egy trükk segítségével is.

Épp itt is jön:

Itt picit álljunk meg gondolkodni.

Mi történik, ha a 4-et egyre nagyobb számokkal osztjuk?

Nos ez.

Nézzünk meg egy másikat is.

A sorozat szigorúan monoton nő.

Lássuk, hogyan jön ez ki a trükk segítségével is:

Jön megint a gondolkodás.

Mi történik, ha a 9/5-öt egyre nagyobb számokkal osztjuk?

A mínusz jellel együtt viszont már szigorúan monoton nő.

És így az egész sorozat is szigorúan monoton nő.

Itt jön aztán egy érdekesebb eset:

Ha akkor a számláló éppen nulla.

Ha  akkor pozitív.

Tehát a sorozat monoton nő.

Lássuk, hogyan működik itt a trükk:

Nos, sehogy.

Az okozza a problémát, hogy egyszerre  és  is szerepel és sajna ilyenkor a trükk nem működik…

Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek nem monotonok.

Sajnos ettől még nem mondható el róluk, hogy izgalmasak volnának.

Itt van például egy ilyen.

Az ilyen sorozatokat oszcilláló sorozatoknak nevezzük.

Ez a sorozat például a nulla körül oszcillál:

  ha n páratlan

  ha n páros

Mi jöhet még ez után…


A küszöbindex kiszámolása izgalmasabb sorozatok esetében

Sorozatok korlátossága, infimum és szuprémum

FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája

FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája

FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája

FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája

FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája

FELADAT | Sorozatok monotonitása, korlátossága, konvergenciája

FELADAT | Sorozatok konvergenciája

FELADAT | Sorozatok konvergenciája

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim