L'hospital-szabály, Taylor-polinom, Taylor-sor

1. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{x^2-9x+20}{x^2-x-12} } \)

b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x^2+4\sin{x}}{x+\cos{x}-1} } \)

c) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^4-5x-6}{4x^3-16x} } \)

d) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{\sqrt{x+12}-x}{x^2-3x-4} } \)

e) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^3-4x^2+4x}{x^4-8x^2+16} } \)

f) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x+\cos{x}-e^x}{x^2+\sin{x}-x} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

2. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to \infty}{ x^2 e^{-x} } \)

b) \( \lim_{x \to 0^+}{ x \ln{x} } \)

c) \( \lim_{x \to 0}{ x^2 e^{ \frac{1}{x^2} }} \)

d) \( \lim_{x \to 1}{ \frac{\sqrt{x+7}-2x}{\sqrt{x+3}-2x^2} } \)

e) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x - \arctan{x} }{ x-\sin{x}+\sin^3{x} } } \)

f) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{e^x \ln{x}}{ e^x+x } } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

3. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to 0^+}{ x^x } \)

b) \( \lim_{x \to 0^+}{ x^{ \sin{x} } } \)

c) \( \lim_{x \to 1}{ x^{ \frac{1}{1-x}} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

4. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to 0}{ ( \cos{x} )^\frac{1}{x} } \)

b) \( \lim_{x \to 0^+}{ ( \sin{x} )^{ \sin{x} } } \)

c) \( \lim_{x \to 0^+}{ ( \sin{x} )^{ \ln{(1+x)}} } \)

d) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \ln{x^2} \right)^{ \ln{(1+x)}} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

5. A Taylor polinom segítségével becsüljük meg a \( \cos{1} \) értékét

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

6.

a) Írjuk fel az $ f(x)=e^x $ Taylor sorát $x=0$-nál.

b) Írjuk fel az $ f(x)=\ln{x} $ Taylor sorát $x=1$-nél.

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

7. Számoljuk ki 0,05-nél kisebb hibával, hogy mennyi \( \sqrt{2} \).

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

8. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{ \sinh{(4x+3)} }{ \cosh{(5-4x)} } } \)

b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x\cdot \sinh{4x}}{\cos{2x}-1} } \)

c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x \cdot \sin{4x}}{\cosh{2x}-1} } \)

d) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{e^x \cdot \cosh{4x} }{ \sinh{5x} } } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

9. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{2^x-\cos{x}}{ \arctan{x}+\sin{x} } } \)

b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^x-\cos{x} }{\ln{(1+x)} + \sin{x} } } \)

c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{\sin{2x} - x}{\ln{(x+1)} +6x } } \)

d) \( \lim_{x \to 0^+}{ \frac{ \ln{(2x)}-x }{ \ln{(3x)}+x } } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

10. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x}  \right) } \)

b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^{x^2}-1 }{\cos{2x} - 1} } \)

c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x-\sin{x} }{e^{x^2} - \cos{x} } } \)

d) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{ x^2 \cdot \ln{x} }{ x^2+x+1 } } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani