Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matek 1 Corvinus

Kategóriák
  • Rémes előzmények
  • Függvények
  • Összetett függvény és inverzfüggvény
  • Sorozatok
  • Küszöbindex és monotonitás
  • Sorok
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Deriválás
  • Hatványsorok & Taylor sorok
  • Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
  • Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
  • L'hospital-szabály, Taylor-polinom, Taylor-sor
  • Mátrixok, vektorok
  • Független és összefüggő vektorok
  • Lineáris egyenletrendszerek
  • Determináns, sajátérték, sajátvektor
  • Határozatlan integrálás, primitív függvény
  • Határozott integrálás
  • Kettős integrál
  • Kétváltozós függvények

L'hospital-szabály, Taylor-polinom, Taylor-sor

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
  • Tesztek
01
 
L'Hospital szabály feladatok
01
 
A L'Hospital-szabály, a határérték számítás csodafegyvere
02
 
A L'Hospital-szabály újabb alkalmazási lehetőségei
02
 
Taylor polinom, Taylor sor
03
 
Tipikus feladatok L'Hospital-szabályra
04
 
Újabb tipikus feladatok L'Hospital szabályra
05
 
A Taylor polinom és a Taylor sor
06
 
Taylor sorok
07
 
A Lagrange-féle maradéktag
08
 
FELADAT | L'Hospital szabály
09
 
FELADAT | L'Hospital szabály
10
 
FELADAT | L'Hospital szabály
11
 
FELADAT | Taylor polinom
12
 
FELADAT | Taylor polinom
13
 
FELADAT | Taylor polinom
14
 
FELADAT | Taylor polinom
15
 
FELADAT | Taylor polinom
16
 
FELADAT | Taylor polinom
17
 
FELADAT | L'Hospital szabály
18
 
FELADAT | L'Hospital szabály
19
 
FELADAT | L'Hospital szabály
20
 
FELADAT | L'Hospital szabály
21
 
FELADAT | L'Hospital szabály
22
 
FELADAT | L'Hospital szabály
23
 
FELADAT | L'Hospital szabály
24
 
FELADAT | L'Hospital szabály
25
 
FELADAT | L'Hospital szabály
26
 
FELADAT | Taylor-polinom
27
 
FELADAT | Taylor-polinom
28
 
FELADAT | Taylor-polinom
29
 
FELADAT | Taylor-polinom

L’ Hôpital-szabály

Legyen $f$ és $g$ deriválható az $a$ szám környezetében (kivéve esetleg $a$-ban) és tegyük fel, hogy itt $g'(x) \neq 0 $.

Ekkor, ha $\lim_{x \to a}{f(x)} = \lim_{x \to a}{g(x)} =0 $ vagy $\lim_{x \to a}{g(x)} = \pm \infty$ és $\lim_{x \to a}{ \frac{ f'(x)}{ g'(x) }}$ létezik, ekkor a L’Hôpital-szabály (vagy L'Hospital-szabály) szerint:

\( \lim_{x \to a}{ \frac{f(x)}{g(x)}}  = lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Néhány fontosabb határérték

\( e^{- \infty} = 0 \quad e^{\infty} = \infty \)

\( \ln{0} = - \infty \quad \ln{\infty} = \infty \)

\( \frac{1}{\infty} = 0 \quad \frac{1}{+0}=+\infty \quad \frac{1}{-0}=-\infty \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Taylor polinom

Legyen $f(x)$ $k$-szor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt $k$-adfokú Taylor polinomja:

\( T(x) = \sum_{n=0}^k \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Taylor sor

Legyen $f(x)$ akárhányszor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt Taylor sora:

\( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes függvények Taylor sora

Az $e^x$, $\ln{x}$, $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények Taylor sorai:

\( e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!} x^n } \quad \ln{x}=\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n} \)

\( \cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(-1)^n}{ (2n)!} x^{2n}} \quad \sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{ (-1)^n}{ (2n+1)!} x^{2n+1}} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Lagrange-féle maradéktag

Ha $f(x)$ egymás után $k$-szor folytonosan differenciálható az $[a,b]$ zárt intervallumon, és $k+1$-edszer differenciálható az $(a,b)$ nyílt intervallumon, akkor létezik olyan $c \in (a,b)$ amire

\( f(b) = T(b) + R(b) = \sum_{n=0}^{k} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (b-a)^n + \frac{ f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}(b-a)^{k+1} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{x^2-9x+20}{x^2-x-12} } \)

b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x^2+4\sin{x}}{x+\cos{x}-1} } \)

c) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^4-5x-6}{4x^3-16x} } \)

d) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{\sqrt{x+12}-x}{x^2-3x-4} } \)

e) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^3-4x^2+4x}{x^4-8x^2+16} } \)

f) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x+\cos{x}-e^x}{x^2+\sin{x}-x} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to \infty}{ x^2 e^{-x} } \)

b) \( \lim_{x \to 0^+}{ x \ln{x} } \)

c) \( \lim_{x \to 0}{ x^2 e^{ \frac{1}{x^2} }} \)

d) \( \lim_{x \to 1}{ \frac{\sqrt{x+7}-2x}{\sqrt{x+3}-2x^2} } \)

e) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x - \arctan{x} }{ x-\sin{x}+\sin^3{x} } } \)

f) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{e^x \ln{x}}{ e^x+x } } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to 0^+}{ x^x } \)

b) \( \lim_{x \to 0^+}{ x^{ \sin{x} } } \)

c) \( \lim_{x \to 1}{ x^{ \frac{1}{1-x}} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to 0}{ ( \cos{x} )^\frac{1}{x} } \)

b) \( \lim_{x \to 0^+}{ ( \sin{x} )^{ \sin{x} } } \)

c) \( \lim_{x \to 0^+}{ ( \sin{x} )^{ \ln{(1+x)}} } \)

d) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \ln{x^2} \right)^{ \ln{(1+x)}} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Adjuk meg az $ f(x)=\cos{x} $ függvény $a=0$ pontban felírt Taylor polinomját!

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

a) Írjuk fel az $ f(x)=e^x $ Taylor sorát $x=0$-nál.

b) Írjuk fel az $ f(x)=\ln{x} $ Taylor sorát $x=1$-nél.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Számoljuk ki 0,05-nél kisebb hibával, mennyi $ \sqrt{2} $

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{ \sinh{(4x+3)} }{ \cosh{(5-4x)} } } \)

b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x\cdot \sinh{4x}}{\cos{2x}-1} } \)

c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x \cdot \sin{4x}}{\cosh{2x}-1} } \)

d) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{e^x \cdot \cosh{4x} }{ \sinh{5x} } } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{2^x-\cos{x}}{ \arctan{x}+\sin{x} } } \)

b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^x-\cos{x} }{\ln{(1+x)} + \sin{x} } } \)

c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{\sin{2x} - x}{\ln{(x+1)} +6x } } \)

d) \( \lim_{x \to 0^+}{ \frac{ \ln{(2x)}-x }{ \ln{(3x)}+x } } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x}  \right) } \)

b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^{x^2}-1 }{\cos{2x} - 1} } \)

c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x-\sin{x} }{e^{x^2} - \cos{x} } } \)

d) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{ x^2 \cdot \ln{x} }{ x^2+x+1 } } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Adjunk $e^{0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Adjunk $\sin{0,3}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Adjunk $\cos{0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Adjunk $e^{-0,1}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=3$. Adjunk hibabecslést is.

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Adjunk $\cos{0,1}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Adjunk $e^{-0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=3$. Adjunk hibabecslést is.

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{x \to 0} \frac{x^3+x^2}{e^{4x}-\cos{x}-4x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{+ \infty} (3x+1)^3 e^{-4x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{0^{+}} 2x \ln{3x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_2 \left( \frac{ \sin{ (3(x-2))}}{ \sin{(5(x-2))}} - \frac{ log_{2}{x}-1}{3x-6} \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \cot{ ( \pi x )} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{x \to \infty} \frac{ e^x }{x^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_{ - \frac{2}{3}} \frac{ \sin{(3x+2)} }{e^{3x^2+2x}-1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_1 \frac{ e^{x^2-2x+1} -1 }{2x-2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

25.

Számítsuk ki az alábbi határértéket.

\( \lim_2 \frac{\sin{\left( x^2-2x \right)} }{x^2-4} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

26.

Írjuk fel a harmadfokú Taylor polinomját az $x_0=1$ helyen.

\( f(x)=\frac{4}{3x+2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

27.

Írjuk fel a harmadfokú Taylor polinomját az $x_0= \frac{1}{4} $ helyen.

\( f(x)=\frac{1}{2-4x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

28.

Írjuk fel a másodfokú Taylor polinomját az $x_0=3$ helyen.

\( f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{3x+7}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

29.

Határozzuk meg az alábbi függvény $x_0=0$ körüli Taylor-sorfejtését, Taylor-sorának konvergenciasugarát és az $f^{100}(0)$ deriváltat.

\( f(x)= \frac{1}{\sqrt{4+x^2}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


A L'Hospital-szabály, a határérték számítás csodafegyvere

A L'Hospital-szabály újabb alkalmazási lehetőségei

A Taylor polinom és a Taylor sor

Taylor sorok

A Lagrange-féle maradéktag

Tipikus feladatok L'Hospital-szabályra

Újabb tipikus feladatok L'Hospital szabályra

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | Taylor polinom

FELADAT | Taylor polinom

FELADAT | Taylor polinom

FELADAT | Taylor polinom

FELADAT | Taylor polinom

FELADAT | Taylor polinom

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | L'Hospital szabály

FELADAT | Taylor-polinom

FELADAT | Taylor-polinom

FELADAT | Taylor-polinom

FELADAT | Taylor-polinom

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim