- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- Egy kis geometria
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Sorozatok határértéke
- Küszöbindex és monotonitás
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Polinomok
- Interpolációs polinomok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hospital szabály
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Mátrix determinánsa, Cramer-szabály, adjungált
- Határozott integrálás
- Sorok
- Rekurzív sorozatok
L’Hospital szabály
L’ Hôpital-szabály
Legyen $f$ és $g$ deriválható az $a$ szám környezetében (kivéve esetleg $a$-ban) és tegyük fel, hogy itt $g'(x) \neq 0 $.
Ekkor, ha $\lim_{x \to a}{f(x)} = \lim_{x \to a}{g(x)} =0 $ vagy $\lim_{x \to a}{g(x)} = \pm \infty$ és $\lim_{x \to a}{ \frac{ f'(x)}{ g'(x) }}$ létezik, ekkor a L’Hôpital-szabály (vagy L'Hospital-szabály) szerint:
\( \lim_{x \to a}{ \frac{f(x)}{g(x)}} = lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\)
Néhány fontosabb határérték
\( e^{- \infty} = 0 \quad e^{\infty} = \infty \)
\( \ln{0} = - \infty \quad \ln{\infty} = \infty \)
\( \frac{1}{\infty} = 0 \quad \frac{1}{+0}=+\infty \quad \frac{1}{-0}=-\infty \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{x^2-9x+20}{x^2-x-12} } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x^2+4\sin{x}}{x+\cos{x}-1} } \)
c) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^4-5x-6}{4x^3-16x} } \)
d) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{\sqrt{x+12}-x}{x^2-3x-4} } \)
e) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^3-4x^2+4x}{x^4-8x^2+16} } \)
f) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x+\cos{x}-e^x}{x^2+\sin{x}-x} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to \infty}{ x^2 e^{-x} } \)
b) \( \lim_{x \to 0^+}{ x \ln{x} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ x^2 e^{ \frac{1}{x^2} }} \)
d) \( \lim_{x \to 1}{ \frac{\sqrt{x+7}-2x}{\sqrt{x+3}-2x^2} } \)
e) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x - \arctan{x} }{ x-\sin{x}+\sin^3{x} } } \)
f) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{e^x \ln{x}}{ e^x+x } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0^+}{ x^x } \)
b) \( \lim_{x \to 0^+}{ x^{ \sin{x} } } \)
c) \( \lim_{x \to 1}{ x^{ \frac{1}{1-x}} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ ( \cos{x} )^\frac{1}{x} } \)
b) \( \lim_{x \to 0^+}{ ( \sin{x} )^{ \sin{x} } } \)
c) \( \lim_{x \to 0^+}{ ( \sin{x} )^{ \ln{(1+x)}} } \)
d) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \ln{x^2} \right)^{ \ln{(1+x)}} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{ \sinh{(4x+3)} }{ \cosh{(5-4x)} } } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x\cdot \sinh{4x}}{\cos{2x}-1} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x \cdot \sin{4x}}{\cosh{2x}-1} } \)
d) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{e^x \cdot \cosh{4x} }{ \sinh{5x} } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{2^x-\cos{x}}{ \arctan{x}+\sin{x} } } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^x-\cos{x} }{\ln{(1+x)} + \sin{x} } } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{\sin{2x} - x}{\ln{(x+1)} +6x } } \)
d) \( \lim_{x \to 0^+}{ \frac{ \ln{(2x)}-x }{ \ln{(3x)}+x } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x} \right) } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^{x^2}-1 }{\cos{2x} - 1} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x-\sin{x} }{e^{x^2} - \cos{x} } } \)
d) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{ x^2 \cdot \ln{x} }{ x^2+x+1 } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x \to 0} \frac{x^3+x^2}{e^{4x}-\cos{x}-4x} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{+ \infty} (3x+1)^3 e^{-4x} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{0^{+}} 2x \ln{3x} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_2 \left( \frac{ \sin{ (3(x-2))}}{ \sin{(5(x-2))}} - \frac{ log_{2}{x}-1}{3x-6} \right) \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \cot{ ( \pi x )} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x \to \infty} \frac{ e^x }{x^2} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{ - \frac{2}{3}} \frac{ \sin{(3x+2)} }{e^{3x^2+2x}-1} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_1 \frac{ e^{x^2-2x+1} -1 }{2x-2} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_2 \frac{\sin{\left( x^2-2x \right)} }{x^2-4} \)
