Kétváltozós függvények

TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.

Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint egy sík pontjainak koordinátáit.

A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy

harmadik koordinátát, egy magasságot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához                                

hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát,

kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.

Az egyváltozós függvények bizonyos tulajdonságai át-

örökíthetőek a kétváltozós esetre, míg vannak olyan

tulajdonságok, amik nem.

Nincs értelme például kétváltozós esetben monotonitásról beszélni, egy felületről

ugyanis nehéz lenne eldönteni, hogy éppen nő-e vagy csökken.

A minimum és maximum fogalma viszont már átörökíthető.

Egy kétváltozós függvény maximumát úgy kell elképzelnünk, mit egy hegycsúcsot,

míg a minimumát pedig úgy, mint egy völgyet.

Lássunk néhány kétváltozós függvényt.

LOKÁLIS MINIMUM                              

NYEREGPONT                         

LOKÁLIS MAXIUM

A feladatunk az lesz, hogy kiderítsük, hol van a kétváltozós függvényeknek minimuma, maximuma,

vagy éppen ilyen nyeregpontja.

Az egyváltozós függvényekhez hasonlóan most is deriválni kell majd,

itt viszont van x és y is, így hát x szerint és y szerint is fogunk deriválni,

ami kétszer olyan szórakoztató lesz.

Ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

Lássuk a parciális deriváltakat.

PARCIÁLIS DERIVÁLTAK

Deriváljuk mondjuk ezt a függvényt.

AZ  FÜGGVÉNY  SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA

   a deriválás során x-et deriváljuk, és y csak konstans

x szerint deriválunk,                                         

y most csak konstansnak számít,                       

ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla                  

ha szorozva van valami x-essel, akkor marad      

AZ  FÜGGVÉNY  SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA

a deriválás során y-t deriváljuk, és x csak konstans

y szerint deriválunk,

x most csak konstansnak számít,

ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla

ha szorozva van valami y-ossal, akkor marad             

A parciális deriváltak jelölésére forgalomban van egy másik jelölés is.

Íme.

Mindkét jelölést használni fogjuk.

Itt jön egy másik függvény, deriváljuk ezt is.

ELSŐRENDŰ DERIVÁLTAK

MÁSODRENDŰ DERIVÁLTAK

Mindkét elsőrendű parciális deriváltat tovább deriválhatjuk x szerint is és y szerint is.

Így négy darab második deriváltat kapunk.

Ezek közül a két szélső az úgynevezett tiszta másodrendű derivált,

a két középső pedig a vegyes másodrendű derivált.

A vegyes másodrendű deriváltak általában egyenlők.

Nos egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható.

De inkább azt jegyezzük meg, hogy mindig egyenlők, kivéve a csak profiknak szóló részben, ahol a többváltozós deriválás precíz megfogalmazásáról lesz szó.

Most pedig lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

                  , ,

                 , ,

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

                  , ,

                 , ,

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum