Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matek 11. osztály

Kategóriák
  • Trigonometria
  • Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Szinusztétel és koszinusztétel
  • Kombinatorika
  • Gráfok
  • Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
  • Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Logaritmus, logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek
  • Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
  • Számelmélet, számrendszerek
  • Statisztika
  • Valószínűségszámítás
  • A várható érték
  • Vektorok
  • Koordinátageometria
  • A parabola (emelt szint)
  • Százalékszámítás és pénzügyi számítások
  • Függvények ábrázolása
  • Feladatok függvényekkel
  • Bizonyítási módszerek, matematikai logika
  • Számtani és mértani sorozatok
  • Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
  • Sorozatok határértéke (emelt szint)
  • Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
  • Deriválás (emelt szint)
  • Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
  • Függvények érintője (emelt szint)
  • Az integrálás (emelt szint)

Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Az egységkör
02
 
Szinuszos és koszinuszos egyenletek megoldása, trigonometrikus azonosságok
03
 
Trigonometrikus egyenletek megoldása
04
 
Izgalmasabb trigonometrikus egyenletek
05
 
Trigonometrikus függvények ábrázolása
06
 
Trigonometrikus egyenlőtlenségek
07
 
Trigonometrikus egyenlet addíciós tételekkel (emelt szint)
08
 
FELADAT
09
 
FELADAT
10
 
FELADAT
11
 
FELADAT
12
 
FELADAT
13
 
FELADAT
14
 
FELADAT
15
 
FELADAT
16
 
FELADAT
17
 
FELADAT
18
 
FELADAT

Egységkör

Azt a kört a koordinátarendszerben, aminek középpontja az origo és a sugara 1, egységkörnek nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Koszinusz

Az egységkörben az $x$ tengely irányát kezdő iránynak nevezzük, az egységvektor végpontjába mutató irányt pedig záró iránynak. A két irány által bezárt szög $\alpha$. Az egységvektor végpontjának $x$ koordinátáját nevezzük az $\alpha$ szög koszinuszának, és így jelöljük: $\cos{ \alpha}$.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szinusz

Az egységkörben az $x$ tengely irányát kezdő iránynak nevezzük, az egységvektor végpontjába mutató irányt pedig záró iránynak. A két irány által bezárt szög $\alpha$. Az egységvektor végpontjának $y$ koordinátáját nevezzük az $\alpha$ szög szinuszának, és így jelöljük: $\sin{ \alpha}$.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Tangens

Egy $\alpha$ szög tangense az $\alpha$ szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő:

\( \tan{\alpha} = \frac{ \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \quad \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\cdot \pi \quad k \in Z \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Trigonometriai összefüggések

\( \tan{x} = \frac{ \sin{x} }{ \cos{x} } \)

\( \cot{x} = \frac{ \cos{x} }{ \sin{x} } \)

\( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1  \quad \sin^2{\alpha} = 1-\cos^2{\alpha} \quad \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha} \)

\( \cos{\alpha} = \sin{ \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) } \quad \cos{\alpha} = \sin{ \left( \alpha + \frac{ \pi}{2}\right) }  \quad \sin{\alpha} = \sin{ ( \pi - \alpha) }\)

\( \sin{\alpha} = \cos{ \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) } \quad -\sin{\alpha} = \cos{ \left( \alpha + \frac{ \pi}{2}\right) }  \quad -\cos{\alpha} = \cos{ ( \pi - \alpha) }\)

\( \sin{2\alpha} = 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \quad \sin{(\alpha \pm \beta)} = \sin{\alpha} \cos{\beta} \pm \cos{\alpha} \sin{\beta} \)

\( \cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} \quad \cos{(\alpha \pm \beta )} = \cos{\alpha} \cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} \)

\( \sin^2{\alpha}=\frac{1-\cos{2 \alpha}}{2}  \)

\( \cos^2{\alpha}=\frac{1+\cos{2 \alpha}}{2}  \)

 

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szinuszos és koszinuszos egyenletek megoldása

A $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények periodikusak, ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat. Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben a periódus $2\pi$.

Ha van egy ilyen egyenlet, hogy

$ \sin{x} = \frac{1}{2} $

akkor ennek a periodikussága miatt végtelen sok megoldása van, ezért írjuk oda a megoldások mögé, hogy $+2k\pi$.

További nehézség, hogy két megoldás is van, az egyiket a számológépünk adja, a másikat pedig...

Szinusz esetén úgy, hogy a két megoldás összegének $\pi$-nek kell lennie.

Koszinusz esetén pedig úgy, hogy a két megoldás mindig egymás minuszegyszerese.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Trigonometrikus függvények

Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Adjuk meg az alábbi szögek szinuszának és koszinuszának pontos értékeit!

0°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 180°

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) \( \cos{x} = \frac{1}{2} \)

b) \( \sin{3x} = -\frac{1}{2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Oldjuk meg az alábbi két egyenletet a $[0,2\pi ]$ intervallumba eső számok halmazán

a) \( 2\cos{x} + 1 = 0 \)

b) \( 2\cos^2{x} - \cos{x} = 0\)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) \( 2\cos^2{x} - 7 \cos{x} + 3 = 0 \)

b) \( 2\sin^2{x} + 4 \cos^2{x} - 3\cos{x} -1 = 0 \)

c) \( \sin{2x} + \cos{x} = 0 \)

d) \( \sin{2x} + \cos{2x} + \sin^2{x} = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=2 \sin{x} \)

b) \( f(x)=\sin{(2x)} \)

c) \( f(x)=\cos{(3x)}  \)

d) \( f(x)=2\cos{(3x)}  \)

e)  \( f(x)=\frac{5}{3} \cos{\frac{x}{2}}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket.

a) \( 2\sin{x}-1>0 \)

b) \( 2\cos{3x}-1<0 \)

c) \( \sin{2x}-\cos{x} \geq 0 \)

d) \( 4\cos^3{x}-3\cos{x} \leq 0  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) \( \cos{x} + \sqrt{3} \cdot \sin{x} = 1 \)

b) \( 12 \sin{x} + 5 \cos{x} = 13 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Oldjuk meg az alábbi trigonometrikus egyenleteket.

a) \( 2\cos{x}+1=0 \)

b) \( 4\cos^2{x}=3 \)

c) \( 2\sin{x}=3\cos{x} \)

e) \( \cos{x}+\sin{x}=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\( 2 \sin^2{x} - 5 \sin{x} -3 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\( 3 \cos^2{x} - 3 \cos{x} + \sin^2{x} = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\( 3 \sin^2{x} - \cos{x} = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\( \tan^2{x} - 3 \tan{x} + 2 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\( \sin^2{x} - 4 \sin{x} \cos{x} + 3 \cos^2{x} = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\( ( 2 \sin{x} - 1) ( \cos{x} - \sin{x} )= 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\( 2 \sin{6x} - \sqrt{3} = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\( ( 2 \cos{3x} -1)( \sin{2x} + \cos{2x}) = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\(  2 \cos{x} = 1 \qquad x \in [ -2 \pi, 0 ] \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\(  2\sin^2{x} - 5 \sin{x} +2 = 0 \qquad x \in [  -\pi, \pi ] \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Az egységkör

Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.

Ezt a kört egységkörnek nevezzük.

Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.

Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…

Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.

Itt van, mondjuk ez a P pont.

Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,

a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.

A két irány által bezárt szög lehet pozitív,

és lehet negatív.

A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.

Nos, ez a radián egész érdekesen működik:

a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.

Van itt ez a szög, ami fokban számítva

És most lássuk mi a helyzet radiánban.

A kör kerületének a képlete .

Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .

A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,

így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis

Nos így kapjuk, hogy

Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.

Kezdjük ezzel, amikor

Ezt jegyezzük föl.

A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.

Jön a Pitagorasz-tétel:

Most nézzük meg mi van akkor, ha

Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.

És most jön a Pitagorasz-tétel.

Az  esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.

Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.

-nál túl sok számolásra nincs szükség.

Ahogyan –nál és -nál sem.

És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.

Az x koordinátát hívjuk Bobnak,

az y koordinátát pedig…

Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.

Legyen mondjuk koszinusz.

A másik pedig szinusz.

Rögtön folytatjuk.

Van itt ez az egység sugarú kör.

Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,

a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.

A két irány által bezárt szög lehet pozitív,

és lehet negatív.

A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.

A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.

Az y koordinátáját -nak.

Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.

A sinx és cosx periodikus függvények.


Szinuszos és koszinuszos egyenletek megoldása, trigonometrikus azonosságok

Van itt ez az egység sugarú kör.

Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,

a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.

A két irány által bezárt szög lehet pozitív,

és lehet negatív.

A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.

A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.

Az y koordinátáját -nak.

Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.

A sinx és cosx periodikus függvények.

Ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat.

Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben ez a periódus 2pi.

Ha van egy ilyen egyenlet, hogy

nos akkor ennek a periodikusság miatt végtelen sok megoldása van.

Ráadásul van egy kék megoldás,

ezt adja a számológép, ez meg a periódus.

Na persze a számológéppel ezt úgy lehet kiszámolni, hogy

és van egy zöld.

Na, ezt már nem adja ki a számológép, hanem egy kis cselhez kell folyamodnunk.

A szinusz úgy működik, hogy mindig van egy kék megoldás, amit a számológép ad,

és van egy zöld megoldás, amit nekünk kell kiszámolni és úgy kapjuk,

hogy az összegüknek éppen pi-nek kell lennie.

Ezt nem árt megjegyezni.

Lássuk, mi a helyzet a koszinusszal.

Itt is lesz egy kék és egy zöld megoldás,

ráadásul mindkettőből végtelen sok.

A helyzet annyival egyszerűbb, mint a szinusz esetében, hogy itt

a kék és a zöld megoldás mindig egymás mínuszegyszerese.

A kéket adja a számológép.

és ha elé biggyesztünk egy mínuszjelet.

nos akkor meg is van a zöld.

A koszinusz tehát sokkal jobb, mint a szinusz.

Itt jön egy újabb remek történet.

A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást mindig a számológép adja,

a zöld megoldás pedig úgy jön ki, hogy a két szög összege mindig pi legyen.

Most pedig újabb állatfajták következnek.

Lássuk hogyan is néznek ezek ki.

Nos nem túl szépen.

Leginkább talán tapétamintának használhatnánk őket.

A vizuális élvezetek után most a trigonometriai képletek özönvízszerű áradata következik.

Csak a legfontosabb egymillió darab képletet nézzük meg.

A LEGFONTOSABB TRIGONOMETRIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK

Itt az egység sugarú körben van egy derékszögű háromszög,

amire felírjuk a Pithagorasz-tételt.

Nos talán ez a legfontosabb trigonometriai összefüggésünk.

Van ennek két mutáns változata is.

Most pedig újabb bűvészkedések következnek az egységsugarú körben.

És itt jön még néhány.


Trigonometrikus egyenletek megoldása

Izgalmasabb trigonometrikus egyenletek

Trigonometrikus függvények ábrázolása

Trigonometrikus egyenlőtlenségek

Trigonometrikus egyenlet addíciós tételekkel (emelt szint)

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim