- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- Lineáris leképezések
- Mátrixok és vektorok
- Valszám alapok, kombinatorika
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Várható érték és szórás
- Geometriai valószínűség, Binomiális tétel
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Kétváltozós eloszlások
Várható érték és szórás
Szórás diszkrét esetben
A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk.
Jele: $D(X$)
Kiszámításának módja diszkrét esetben:
\( D(X) = \sqrt{E \left( X^2 \right) - E^2(X) } \)
Várható érték diszkrét esetben
A várható érték jele $E(X)$.
Diszkrét esetben úgy kell kiszámolni, hogy
\( E(X) = \sum X_i P(X_i) \)
Szórás folytonos esetben
Folytonos valószínűségi változó esetén a szórást ugyanúgy kell számolni, mint diszkrét valószínűségi változó esetén:
\( D(X) = \sqrt{ E \left( X^2 \right) - E^2(X) } \)
Várható érték folytonos esetben
Folytonos valószínűségi változók esetén a várható érték:
\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \; dx \)
3 darab 10 dollárossal befektetési terveink vannak, egy rulett segítségével. A terv a következő: felteszünk 10 dollárt a pirosra. Ha nyer, akkor megdupláztuk a 10 dollárt és abbahagyjuk a játékot. Namost, ha veszít, akkor újabb 10 dollárt teszünk a pirosra, és ha ezúttal nyerünk, akkor szintén abbahagyjuk a játékot. Ha másodszorra sem nyerünk, akkor az utolsó 10 dollárt is felrakjuk a pirosra. A kérdés az, várhatóan mennyi pénzünk lesz a tranzakció végén.
Adjuk meg a várható értékét és szórását:
\( f(x)= \begin{cases} \frac{1}{x^4}, &\text{ha } x \leq -1 \\ -x^2-2x, &\text{ha } -1 \leq x \leq 0 \\ 0, &\text{ha } 0<x \end{cases} \)
a) Számoljuk ki, hogy hány esős napra számítsunk egy nyaralóhelyen, hogyha öt napig vagyunk ott és ezek a kilátások...
3% az esélye annak, hogy mindegyik nap esni fog. Aztán 9% az esélye, hogy csak 4 nap fog esni, 24%, hogy 3 nap fog esni, 40%, hogy 2 nap fog esni, 16%, hogy 1 nap fog esni, és 8%, hogy egyik nap sem fog esni.
b) Egy vadrezervátumban 3 hím oroszlán él. Az illegális vadászat miatt 40% eséllyel 5 éven belül mindegyik elpusztul, 30% eséllyel 2 oroszlán pusztul el és 20% eséllyel egy. Ha átköltöztetik az oroszlánokat egy biztonságosabb területre, akkor a tapasztalatok szerint az állatok harmada pusztul el a költöztetés miatt, a többiek életben maradnak. Átköltöztessük-e az oroszlánokat, ha azt szeretnénk, hogy 5 év múlva a lehető legtöbben legyenek életben?
c) Négy dobókockával dobunk. Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor nyerünk nyerünk 10 dollárt. Ha a dobás nem 1-es, akkor dobhatunk a második kockával. Ha a második kockával 1-est dobunk, a nyeremény 20 dollár. Hogyha azzal sem 1-est dobunk, akkor jöhet a harmadik kocka. Ha a harmadik kockával 1-est dobunk, a nyeremény 30 dollár. De ha azzal se, akkor dobhatunk a negyedik kockával is. Hogyha ez végre 1-es, a nyeremény 40 dollár. Ha ez sem egyes, akkor vége a játéknak és nem nyertünk semmit. Ha 8 dollárba kerül, hogy játszhassunk egy ilyen játékot, megéri-e játszani?
a) Egy dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok várható értéke és szórása?
b) Két dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok összegének várható értéke és szórása?
Elemér és Huba egy dobókocka játékot játszanak. Huba annyi dollárt ad Elemérnek, amennyi a dobott szám kétszerese, Elemér pedig annyit ad Hubának, amennyi a dobott szám négyzete. Melyikünk kedvez a játék?
Az ötös lottón, egy hasábon 5 számot kell beikszelnünk 1-től 90-ig. Ha nulla vagy egy számot találunk el, akkor nem nyerünk semmit. Két találat esetén a nyeremény 700 Ft, hármas találatnál 10 ezer Ft, négyes esetén 789 ezer Ft, az ötös pedig 535 millió Ft-ot fizet. Mennyi a nyereményünk várható értéke?
Két kockával dobva mennyi a dobott számok nem kisebbikének várható értéke?
Egy magasugró versenyen a versenyzők 0,8 valószínűséggel ugorják át a lécet. Minden versenyző háromszor próbálkozhat. Mivel könnyen megeshet, hogy nem rajongunk a magasugró versenyekért, így nem teljesen alaptalan az a kérdés, hogy 12 versenyző esetén várhatóan hány ugrást kell megtekintenünk.
Adott az $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye.
a) Mekkora a várható értéke?
b) Mekkora a szórás?
c) Mekkora az $ Y=3-2X$ várható értéke és szórása?
Most pedig nézzünk, hogy milyen izgalmak várhatók ebben a várható érték témában.
Itt is jön az első, számoljuk ki, hogy hány esős napra számítsunk egy nyaralóhelyen, hogyha öt napig vagyunk ott és ezek a kilátások…
5% esélye van annak, hogy mindegyik nap esni fog.
Aztán 7% az esélye, hogy csak 4 nap fog esni, és így tovább…
Az esős napok számának várható értéke:
a hét napos ott tartózkodásunk alatt.
át napos tartózkodásunk alatt várhatóan hány esős napra készüljünk.Egy vadrezervátumban 3 hím oroszlán él. Az illegális vadászat miatt 40% eséllyel 5 éven belül mindegyik elpusztul, 30% eséllyel 2 oroszlán pusztul el és 20% eséllyel egy. Ha átköltöztetik az oroszlánokat egy biztonságosabb területre, akkor a tapasztalatok szerint az állatok harmada pusztul el a költöztetés miatt, a többiek életben maradnak. Átköltöztessük-e az oroszlánokat, ha azt szeretnénk, hogy 5 év múlva a lehető legtöbben legyenek életben?
Hogyha költöznek az oroszlánok…
akkor várhatóan 2 marad életben.
Ha nem költöznek…
40% az esélye, hogy nulla darab oroszlán lesz.
30% eséllyel egy darab…
20% eséllyel kettő…
És úgy tűnik 10% eséllyel mindhárom oroszlán életben marad.
Most pedig lássuk, hogy várhatóan hány élő oroszlánunk lesz…
A jelek szerint a költözés jobb hatással van az oroszlánok életben maradására.
Várhatóan 2,19 nap fog esni.
Na persze nem mindegy, hogy mekkora a szórás.
Nézzük meg.
Nézzünk meg egy másik nagyon izgalmas történetet is.
Van négy dobókockánk.
Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor
Végül itt jön egy nagyon izgalmas történet négy dobókockával.
Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor nyerünk 1 dollárt.
Ha a dobás nem 1-es, akkor dobhatunk a második kockával.
Ha a második kockával 1-est dobunk, a nyeremény 20 dollár.
Hogyha azzal sem 1-est dobunk, akkor jöhet a harmadik kocka.
Ha a harmadik kockával végre 1-est dobunk, a nyeremény 30 dollár.
De ha azzal se, akkor dobhatunk a negyedik kockával is.
Hogyha ez végre 1-es, a nyeremény 40 dollár.
Ha ez sem egyes, akkor vége a játéknak és nem nyertünk semmit.
És még csak most jön a kérdés…
Ha 8 dollárba kerül, hogy játszhassunk egy ilyen játékot, megéri-e játszani?
Vagyis a játék várható nyereménye vajon több vagy kevesebb, mint 8 dollár?
Hát, nézzük meg.
Akkor nyerünk 10 dollárt, ha elsőre 1-est dobunk.
Annak a sansza, hogy az első dobás nem 1-es 5/6.
A második dobás 1/6 eséllyel lesz 1-es.
De az is lehet, hogy nem 1-es.
Hogyha a harmadik dobás végre 1-es, akkor 30 dollárt nyerünk.
De előfordulhat, hogy az sem 1-es.
Aztán jön a mindent eldöntő negyedik dobás.
És most lássuk a várható nyereményt.
0,167
0,139
0,116
0,096
0,482
Hogyha 8 dollárba kerül a játék, akkor játékonként átlagosan 11,77 – 8 = 3,77 dollárt nyerünk.
Nekünk tehát megéri…
Annak viszont, akinek a játékot üzemelteti veszteséges.
Kéne szólni neki, hogy 11,77 dollárnál drágábban árulja…
