ALTEREK

A vektortérnek altere, ha és maga is vektortér a -beli műveletekre.

Az altér tehát egy olyan részhalmaza a vektortérnek, ami a vektortér összes tulajdonságát átörökíti. Teljesülnek benne a vektortér-axiómák és a műveletek.

Van egy érdekes tétel ami megkönnyíti annak eldöntését, hogy egy részhalmaz valóban altér-e. A tétel azt mondja, hogy elegendő csak a műveleteket ellenőrizni és ha azok működnek, vagyis nem vezetnek ki a részhalmazból, akkor ennyi elég is, ahhoz, hogy altér legyen.

A vektortérnek altere, ha -beli műveletek nem vezetnek ki -ből.

Ennek az a magyarázata, hogy ha a műveletek nem vezetnek ki, vagyis és is benne van -ben akkor a vektortér-axiómák automatikusan teljesülnek.

nézzük meg!

A kommutativitás, asszociativitás és disztributivitás a vektortér minden elemére, tehát a -beli elemekre is teljesül. A többi axióma pedig, lássuk csak:

Létezik nullelem -ben.

Hát persze, hogy létezik, mert benne van -ben és

Létezik ellentett -ben.

Ez is létezik, mert benne van -ben és

Végül pedig teljesül -ben,

mert ez ugye az egész vektortér minden elemére igaz.

Ezzel kiderült, hogy valóban elegendő csak annyit megvizsgálni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.

Nézzünk is meg egy ilyet!

Vizsgáljuk meg, hogy altere-e -nak, ha igen, adjunk meg egy bázist -ben.

Az előző tétel miatt elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.

Kezdjük az összeadással.

Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.

Hát ez probléma! Az összeadás úgy tűnik kivezet -ből.

A jelek szerint tehát nem altér.

Nézzünk meg egy másikat is!

Vizsgáljuk meg, hogy altere-e -nek, ha igen, adjunk meg egy bázist -ben.

Elegendő most is annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.

Kezdjük az összeadással.

Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.

itt

az összegük:

Mivel a két vektor összegére is teljesül a koordináták közti összefüggés, az összeadás nem vezet ki.

Lássuk mi a helyzet a -szorossal!

Úgy tűnik ez is stimmel, tehát altér.

A dimenzió a szabadon megadható paraméterek száma.

Két szabadon megadható paraméter van, az egyik az és akkor miatt már nem szabad, a másik pedig és akkor miatt már nem szabad.

A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végigjátsszuk az összes lehetséges módon.

A bázis tehát: