Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matek 2

Kategóriák
  • Kettős integrál (csak gazdinfon)
  • Diff.egyenletek (csak gazdinfon)
  • Valszám alapok, kombinatorika
  • Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
  • Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
  • Idióta feladatok, amik várhatók az első ZH-ban
  • Várható érték és szórás
  • Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
  • Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
  • Kétváltozós eloszlások
  • Nem árt, ha tudunk integrálni

Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
  • Tesztek
01
 
Eloszlás, eloszlásfüggvény teszt
01
 
Az eloszlásfüggvény
02
 
A sűrűségfüggvény
03
 
Valószínűségek kiszámolása az eloszlásfüggvénnyel és a sűrűségfüggvénnyel
04
 
Sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvény és fordítva
05
 
Tipikus eloszlásfüggvény feladat
06
 
Tipikus sűrűségfüggvény feladat
07
 
Még egy tipikus sűrűségfüggvény feladat
08
 
FELADAT | Eloszlás, eloszlásfüggvény
09
 
FELADAT | Eloszlás, eloszlásfüggvény
10
 
FELADAT | Eloszlás, eloszlásfüggvény

Diszkrét valószínűségi változó

Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel. Ez azt jelenti, hogy vagy véges sokat, vagy végtelent, de úgy, hogy fel tudjuk sorolni az értékeit.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Eloszlásfüggvény

Az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

\( F(x)=P(X<x) \)

Ha az $X$ valószínűségi változó diszkrét és értékei $X=a, X=b, X=c$ meg ilyenek, akkor az eloszlásfüggvény mindig egy lépcsőzetes függvény, ami minden számnál pontosan akkorát ugrik, mint az adott szám valószínűsége, amíg el nem érjük az 1-et.

\( F(x) = \begin{cases} 0 \quad \text{ha} \; x \leq a \\ P(X=a) \quad\text{ha} \; a<x \leq b \\ P(X=a)+P(X=b) \quad \text{ha} \; b<x \leq c \\ \dots \\ 1 \end{cases} \)

Ha az $X$ valószínűségi változó folytonos, akkor az $a$ és $b$ számok között bármilyen valós értéket fölvehet. Ilyenkor az eloszlásfüggvény is folytonos, ami $a$-ig nullát vesz föl, $a$ és $b$ közt növekszik és $b$ után végig egyet vesz föl.Vagyis ahol az $X$ valószínűségi változó működik, ott a függvény életre kel, előtte és utána pedig hibernált állapotban van. 

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Folytonos valószínűségi változó

Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság. Ebben az esetben az eloszlás függvény is mindig folytonos függvény lesz.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sűrűségfüggvény

A sűrűségfüggvény úgy működik, hogy a valószínűségeket a görbe alatti területek adják meg. Az eloszlásfüggvény jele $F(x)$ volt, a sűrűségfüggvény jele $f(x)$. Az $a<X<b$ valószínűség éppen a görbe alatti terület $a$-tól $b$-ig.

\( P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) \; dx \)

Ha az $X<a$ valószínűséget szeretnénk kiszámolni:

\( P(X<a) = \int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx \)

Ha a $b<X$ valószínűséget:

\( P(b<X) = \int_{b}^{+\infty} f(x) \; dx \)

Ha ezt a három területet összeadjuk, akkor éppen a teljes görbe alatti területet kapjuk, ami a 100%-ot jelenti, így hát ez a terület éppen 1.

 

A sűrűségfüggvény tulajdonságai:

\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = 1 \)

nem negatív

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Eloszlásfüggvény tulajdonságai

1. $\lim_{-\infty} F(x) = 0$

2. $\lim_{\infty} F(x) = 1 $

3. monoton nő

4. balról folytonos

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Összefüggések eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény között

\( P(X<a)=F(a)=\int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx \)

\( P(b<X) = 1 -F(b) = \int_{b}^{+\infty} f(x) \; dx \)

\( P(a<X<b) = F(b)-F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \; dx \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sűrűségfüggvény tulajdonságai

1. $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = 1 $

2. nem negatív

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvény és fordítva

Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk, azaz:

\( F'(x) = f(x) \)

Ha az $X$ valószínűségi változó $f(x)$ sűrűségi függvényét ismerjük, és meg akarjuk adni az $F(x)$ eloszlásfüggvényét, akkor azt pedig így tehetjük:

\( F(x) = \int_{- \infty}^{x} f(t) \; dt \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Egy céltábla sugara 50 cm. Azt a távolságot, hogy ilyen távol lövünk a céltábla középpontjától, jelöljük $X$-szel. Tegyük föl, hogy a céltáblát biztosan eltaláljuk. 

a) $P(X<10)=?$

b) $P(X<20)=?$

c) $P(X<x)=?$

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

a) Lehet-e $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi függvény?

\( f(x)= \begin{cases} e^{2x}, &\text{ha } x<0 \\ 1-x, &\text{ha } 0\leq x\leq1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)

b) Milyen $A$ paraméter esetén lesz $f(x)$ sűrűségfüggvény?

\( f(x)= \begin{cases} e^{3x}, &\text{ha } x<0 \\ Ax^2, &\text{ha } 0\leq x\leq1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Csináljunk $F(x)$-ből $f(x)$-et.

\( F(x)= \begin{cases} \frac{3}{4}e^{2x-4}, &\text{ha } x<2 \\ 1-\frac{1}{x^2}, &\text{ha } 2 \leq x \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

a) Adott az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, álltsuk elő a sűrűségfüggvényt.

\( F(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}e^{2x}, &\text{ha } x \leq 0 \\ \frac{1}{2}+x-\frac{x^2}{2}, &\text{ha } 0 < x \leq 1 \\ 1, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)

b) Itt volna a sűrűségfüggvény és állítsuk elő az eloszlásfüggvényt!

\( f(x)= \begin{cases} e^{2x}, &\text{ha } x \leq 0 \\ 1-x, &\text{ha } 0 < x \leq 1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

\( F(x) \) egy eloszlásfüggvény.

\( F(x)= \begin{cases} A+2^{x-2}, &\text{ha } x<1 \\ B-\frac{1}{x^2+1}, &\text{ha } 1 \leq x \end{cases} \)

\( A=? \qquad B=? \qquad P(0<X<2)=? \qquad f(x)=? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

\( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.

\( f(x)= \begin{cases} Ae^{3x-6}, &\text{ha } x<2 \\ 0, &\text{ha } 2 \leq x \end{cases} \)

\( A=? \qquad F(x)=? \qquad P(1<X<3)=? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

\( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.

\( f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{x+1}}, &\text{ha } 0<x \leq 8 \\ 0, &\text{máshol } \end{cases} \)

\( F(x)=? \qquad P(0<X<3)=? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Egy sorsjegy ára 200 forint és minden ötödik sorsjegy nyer. Pista bácsinak 800 forintja van és addig veszi a sorsjegyeket, amíg nem nyer - vagy amíg el nem fogy a pénze. Jelentse X a vásárolt sorsjegyek számát. Adjuk meg az eloszlást, eloszlásfüggvényt, várható értéket és szórást.

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Egy dobozban van 2 piros, 3 sárga és 1 kék labda. Kiveszünk három darabot visszatevés nélkül. Jelentse X a húzott piros labdák számát. Adjuk meg az eloszlást, eloszlásfüggvényt, várható értéket és szórást.

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Egy dobozban cédulákat helyezünk el. Egy darab 1-es, két darab 2-es és három darab 3-as feliratút. A dobozokból két cédulát húzunk és jelentse X a húzott cédulákon szereplő számok összegét. Adjuk meg az eloszlást és az eloszlásfüggvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Az eloszlásfüggvény

A sűrűségfüggvény

Valószínűségek kiszámolása az eloszlásfüggvénnyel és a sűrűségfüggvénnyel

Sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvény és fordítva

Tipikus eloszlásfüggvény feladat

Tipikus sűrűségfüggvény feladat

Még egy tipikus sűrűségfüggvény feladat

FELADAT | Eloszlás, eloszlásfüggvény

FELADAT | Eloszlás, eloszlásfüggvény

FELADAT | Eloszlás, eloszlásfüggvény

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim