Matek 3 SZE

Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

$n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.

Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.

A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.

Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.

Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.

A feltételes valószínűség. Az A feltéva B valószínűség azt jelenti, hogy mekkora eséllyel következik be az A esemény, ha a B esemény biztosan bekövetkezik..

Események metszetének, uniójának, különbségének és komplementerének valószínűségei.

A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.

Olyankor használjuk, ha egy korábban bekövetkezett $B_k$ esemény valószínűségére vagyunk kíváncsiak egy később bekövetkezett A esemény tükrében.

Ha a szövegben valószínűségek vannak megadva, akkor a binomiális eloszlást szoktuk használni.

A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.

Ha húzásokat vizsgálunk úgy, hogy a kihúzott elemeket nem tesszük vissza, akkor ez egy visszatevés nélküli mintavétel.

A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás.

Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság.

Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel.

Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x). F(x)=P(x<X) Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Nos ez elég izgi..

A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.

Az eloszlásfüggvény határértéke minusz végtelenben 0, plusz végtelenben 1, monoton nő és balról folytonos.

A sűrűségfüggvény integrálja minusz végtelentől plusz végtelenig 1, és nem negatív.

Három nagyon fontos összefüggés eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény között.

Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk. Fordítva pedig integrálni kell.

A valószínűségi változó értékeinek valószínűségekkel súlyozott átlaga. De valójában ez rém egyszerű, nézzünk rá néhány példát.

A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk.

Folytonos valószínűségi változók esetén a várható értéket egy integrálás segítségével számítjuk.

Folytonos valószínűségi változó esetén a szórást ugyanúgy kell számolni, mint diszkrét valószínűségi változó esetén:

A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejtes van.

A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.

A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.

Az eltelt idők és a távolságok eloszlása.

Ez egy folytonos eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének valószínűsége valamely intervallumon konstans.

Mennyiségek eloszlása.

A módusz a leggyakoribb érték.

A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.

Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.

Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.

Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.

Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.

A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.

A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka:

Olyan esetekben, amikor valamiért nem tudjuk vagy nem akarjuk a teljes sokaságot megvizsgálni, hogy meghatározzuk a fontosabb statisztikai mutatóit, becslést alkalmazunk.

A megbízhatósági szintet konfidencia szintnek nevezzük.

Az $1- \alpha$ megbízhatósági szinthez, vagy másként konfidencia szinthez tartozó konfidencia intervallumok azok az intervallumok, amik a sokasági átlagot $1-\alpha$ valószínűséggel tartalmazzák.

Módszer az átlag intervallumbecslésére, ha a sokasági szórás ismert.

A FAE minta azt jelenti, hogy a mintavétel során bármely mintaelemet azonos eséllyel választunk ki.

Módszer átlag intervallumbecslésére, ha a sokasági szórás nem ismert.

Módszer arány intervallumbecslésére.

Módszer variancia intervallumbecslésre.

Az EV-minta abban különbözik a FAE-mintától, hogy a kiválasztott mintaelemek nem függetlenek egymástól.

Módszer átlag intervallumbecslésre, ha a sokasági szórás nem ismert (EV-minta).

Módszer arány intervallumbecslésére EV-minta esetén.

Ha a teljes sokaságot felosztjuk viszonylag homogén rétegekre, és a mintát is ezen a rétegek szerint vizsgáljuk, a variancia csökkenthető.

A kétmintás becslésekre akkor van szükség, amikor két sokaság valamilyen paraméterét, leginkább az átlagát szeretnénk összehasonlítani.

Ha mindkét sokaság közel normális eloszlású, akkor az átlagok különbségének becslésére ez a formula van forgalomban.

Egy becslést torzítatlannak nevezünk, ha az egyes mintákból kapott becslések várható értéke megegyezik a becsülni kívánt mennyiséggel.

A kérdés az, hogy ha egy sokasági jellemzőre több becslés jöhet szóba, hogyan válasszunk közülük, vagyis mikor tekintünk egy becslést jónak, kettő közül melyiket tekintjük jobbnak és kijelenthetjük-e valamelyikről, hogy a legjobb?

Két becslés közül azt részesítjük előnyben, amelyre MSE kisebb.

A standard hiba azt mondja meg, hogy a mintaátlagok mekkora szórással ingadoznak a tényleges sokasági átlag körül.

Mintavételi hibának azokat a hibákat nevezzük, amik kimondottan azért fordulnak elő, mert nem tudjuk, vagy nem akarjuk a teljes sokaságot vizsgálni.

A regressziószámítás lényege annak vizsgálata, hogy egy bizonyos változó, amit eredményváltozónak hívunk, hogyan függ más változók, az úgynevezett magyarázó változók alakulásától.

A regressziós egyenes egy lineáris függvény, ami mindegyik x-hez hozzárendel valamilyen y-t. Ezek általánan eltérnek a valódi y-októl. Ezeket az eltéréseket reziduumoknak nevezzük.

A reziduumokból képzett mutató az úgynevezett SSE, jelentése sum of squares of the errors vagyis eltérés-négyzetösszeg.

Ha az SSE értékeit elosztjuk a megfigyelt pontok számával és a kapott eredménynek vesszük a gyökét, akkor kapjuk a reziduális szórást.

A lineáris korrelációs együttható azt méri, hogy x és y között milyen szoros lineáris kapcsolat van.

A magyarázóerőt méri az úgynevezett determinációs együttható.

A hatványkitevős modellben y helyett lg y, x helyett lg x van, $\hat{b}_1$ viszont marad $\hat{b}_1$

Az exponenciális modellben y helyett lg y van, az x viszont marad x, $\hat{b}_1$ helyett pedig $\lg{ \hat{b}_1}$ van.

Az elaszticitás két összefüggő jelenség közti kapcsolat.

5 feltétel standard lineáris modellhez.

A paraméterek és a regresszió becslése standard lineáris modellben.

A többváltozós regressziós modelleket olyankor alkalmazzuk, amikor az eredményváltozó alakulását több magyarázó változó tükrében vizsgáljuk.

A kétváltozós esethez hasonlóan a korreláció itt is a változók közti kapcsolat szorosságát írja le, csakhogy itt egy fokkal rosszabb a helyzet, ugyanis most bármely két változó korrelációját vizsgálhatjuk. Ezt tartalmazza a korrelációmátrix.

A tesztelés úgy zajlik, hogy nullhipotézisnek tekintjük a $H_0 :  b_i = 0$ feltevést, ellenhipotézisnek pedig azt, hogy $H_1  :  b_i \neq 0$.

Négyzetösszeg, szabadságfok, átlagos négyzetösszeg, F.

A multikollinearitás röviden összefoglalva azt jelenti, hogy két vagy több magyarázó változó között túl szoros korrelációs kapcsolat van, és ez zavarja a becslést.

Az autokorreláció a regresszió maradéktagjának a saját későbbi értékeivel való korrelációját jelenti, vagyis egyfajta szabályszerűséget a maradékváltozóban.

A Durbin-Wattson-teszt lényegében egy hipotizésvizsgálat.

Az elfogadási tartomány az a tartomány, ahová ha a próba értéke kerül, akkor a nullhipotézist elfogadjuk.

A kritikus tartomány az a tartomány, ahová ha a próba értéke kerül, akkor a nullhipotézist elvetjük.

A szignifikanciaszint a hibás döntés valószínűsége.

A hipotézis megfogalmazása. A próbafüggvény kiválasztása. Szignifikanciaszint és kritikus tartomány. Mintavétel és döntés.

A sokaság normális eloszlású, szórása $\sigma$, $H_0$ a sokaság átlagára vonatkozik, a minta elemszáma $n$.

A sokaság normális eloszlású, szórása nem ismert, $H_0$ a sokaság átlagára vonatkozik, a minta elemszáma $n$

A sokaság tetszőleges eloszlású, szórása nem ismert, $H_0$ a sokaság átlagára vonatkozik, a minta $n$ elemű, elemszáma nagy.

A sokaság tetszőleges eloszlású, $H_0$ a sokasági arányra vonatkozik, a minta $n$ elemű, elemszáma nagy

A sokaság normális eloszlású, $H_0$ a sokasági szórásra vonatkozik, a minta $n$ elemű.

A sokaság eloszlására irányuló vizsgálat.

A sokaságon belül két ismérv függetlenségére irányuló vizsgálat. $H_0$: a két ismérv független, az ellenhipotézis pedig, $H_1$: a két ismérv közti kapcsolat sztochasztikus vagy függvényszerű.

Két sokaságban valamely változó eloszlásának egyezőségére irányuló vizsgálat. $H_0$: a két sokaságban az eloszlás egyező, az ellenhipotézis pedig, $H_1$: a két eloszlás nem egyező.

Mindkét sokaság normális eloszlású, szórásaik $\sigma_X$ és $\sigma_Y$.

A két sokaság normális eloszlású és szórásaik egyformák.

A két sokaság eloszlása és szórása nem ismert, mindkettő szórása véges, és mindkét minta elemszáma elég nagy.

Két sokaság szórásának összehasonlítására irányuló próba, ha mindkét sokaság normális eloszlású. A nullhipotézis $H_0$: $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$

Több sokaság várható értékének összehasonlítására vonatkozó próba, ha mindegyik sokaság normális eloszlású és azonos szórású.

A Bartlett-próba több sokaság szórásának összehasonlítására vonatkozó próba, ha mindegyik sokaság normális eloszlású.

A Gauss-féle normálegyenletek segítségével megkereshetjük a pontokra legjobban illeszkedő egyenes egyenletét.

Egy túlhatározott egyenletrendszerből a Gauss-féle normálegyenlettel egy optimális megoldást nyerhetünk.

Ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor az optimális megoldás megadja a legjobb közelítést.

A Gauss-féle normálegyenlet egyenletrendszerek megoldásainak közelítéséhez használható módszer.

Egy $\underline{b}$ vektort nem csak merőlegesen vetíthetjük, hanem ferdén is. Viszont egyedül a merőleges vetítés rendelkezik a legjobb közelítés tulajdonságával.

Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.

Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.

Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.

Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.

Ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlene, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.

Ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.

A szabadságfok a szabadváltozók száma.

Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.

Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.

Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.

Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.

Egy mátrix LU felbontása azt jelenti, hogy a mátrixot felbontjuk egy alsó és egy felső háromszögmátrix szorzatára.

Egy nxn-es mátrixnak akkor létezik LU-felbontása, ha az első n-1 főminora nem nulla.

Hogyha egy olyan mátrix LU felbontására van szükségünk, amelynek valamelyik (nem utolsó) főminora 0, akkor megtehetjük azt, hogy egy premutációs mátrix segítségével felcseréljük a sorait.

Az LU-felbontás módszere nem négyzetes mátrixokra ugyanolyan, mint eddig, a Gauss elimináció segítségével történik.

Ez tulajdonképpen egy olyan LU-felbontás, ahol az U mátrix az L-nek a transzponáltja.

A QR-felbontás azt jelenti, hogy egy mátrixot egy ortogonális és egy felsőháromszögmátrix szorzatára bontjuk.

Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire.

A Lagrange-féle interpolációs polinom megadja azt a polinomot, amely $x_1$-ben $y_1$-et, $x_2$-ben $y_2$-t és így tovább $x_n$-ben $y_n$ értéket vesz föl.

A Newton interpoláció első lépése, hogy elkészítjűk az úgynevezett Newton-együtthatókat. Ezt követően ezek segítségével állítjuk elő a polinomot.

A Hermite interpoláció abban különbözőik a Lagrange és Newton féle interpolációktól, hogy az $x_1, x_2, \dots , x_n$ helyeken nem csak az eredeti polinom-függvény értékeit, hanem a deriváltjait is nézzük.

Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire. Ennek hibájának a megbecsléséhez van egy remek képlet.