- Helyiértékes számírás, egész számok, negatív számok, római számok
- Műveletek és a műveleti sorrend
- Halmazok
- Írásbeli összeadás, kivonás, szorzás, osztás
- Törtek
- Tizedes törtek
- Számrendszerek és a hatványozás alapjai
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, sokszögek, térbeli testek
- Háromszögek, négyszögek
- Kerület és terület
- Téglalap és négyzet, kerület, terület
- Koordinátarendszer, pontok koordinátái
- Téglatest és kocka, felszín és térfogat
- Mértékegységek, mértékegység átváltás
- Szerkesztések, vonalzó, körző, szögmérő
- Adatgyűjtés, grafikonok, diagramok, statisztika
Műveletek és a műveleti sorrend
Zárójelek
A zárójel egy fontos matematikai szimbólum, ami a műveleteknél a műveletek sorrendjét befolyásolja. A zárójelben szereplő műveleteket mindig előbb kell elvégezni, mint a többi műveletet.
Nézzük például ezt:
$6-(2+3)= $
Itt először a zárójelben szereplő összeadást végezzük el, aminek az eredménye 5. És utána jön a többi művelet:
$6-(2+3)=6-5=1 $
Műveleti sorrend
Ha több művelet szerepel egymás után, akkor ezeket a műveleti sorrend szerint kell elvégeznünk.
A műveleti sorrendben az első mindig a zárójel, vagyis a zárójelben szereplő műveleteket kell elsőként elvégezni.
A második a szorzás és az osztás. Ha több szorzás és osztás van, akkor balról jobbra kell őket elvégezni.
Végül az utolsó szint az összeadás és kivonás, és itt is ha több is van belőlük, akkor balról jobbra kell elvégezni.
A hatványozás még egy kicsit bezavarhat a dologba, így érdemes megnézni külön a hatványozásról és a hatványazonosságokról szóló epizódokat is.
Most pedig nézzünk egy példát a műveleti sorrendre:
Pl.: $3\cdot (5-3)+2:2=3\cdot 2 +2:2 = 6 +1 = 7 $
Számoljuk ki ezeket:
a) $4+3=$
b) $3-4=$
c) $4-3=$
d) $6-(3+2)=$
e) $6-3+2=$
f) $6-3-2-1=$
g) $6-(3-2)-1=$
h) $6-3-(2-1)=$
i) $6-(3-2-1)=$
Számoljuk ki ezeket:
a) $5\cdot 4 = $
b) $4 \cdot 5 = $
c) $(5\cdot 4)\cdot 2= $
d) $(5+4)\cdot 2 = $
e) $2+3\cdot 4 + 5 = $
f) $(2+3)\cdot 4 + 5 = $
Számoljuk ki ezeket:
a) $7-4+2= $
b) $7-(4+2) = $
c) $7-2\cdot 3 =$
d) $5+4\cdot 3 + 2 = $
e) $5+ 4 \cdot (3+2) = $
f) $6+2+3\cdot 4 = $
g) $6+(2+3)\cdot 4 = $
h) $6\cdot 2 + 3 + 4 = $
i) $6 \cdot (2+3) + 4 = $
j) $7+7:7+7\cdot 7-7=$
k) $12:2\cdot 3 = $
l) $12:(2\cdot 3 ) = $
m) $8:2\cdot (2+2) = $
Számoljuk ki ezeket:
a) $3+4\cdot (5+2\cdot3)-7 = $
b) $(4\cdot 2 +5 ) \cdot 3 + 10 = $
c) $ (3+2) \cdot (4+5)+6 = $
d) $3\cdot 8 : (1+3)-2 = $
e) $24:6:2\cdot 5 = $
f) $3\cdot 8 : 6 : 2 = $
g) $(2+4):3\cdot 4 = $
h) $(5+3\cdot 2 ) \cdot 4 + 7 = $
A csokit sokkal többen szeretik, mint az algebrát.
De az algebra csokival… Azt már szinte mindenki szereti.
Kezdjük is az összeadással.
Ez itt 3…
Ez a másik pedig 4.
Ha összeadjuk őket…
Akkor teljesen mindegy, hogy a 3 kocka csokihoz adunk hozzá 4-et, vagy fordítva…
A végén lesz 7 kocka csokink.
Az összeadás sorrendje tehát fölcserélhető.
Ezt úgy hívjuk, hogy kommutatív.
A kivonás már nem cserélhető föl.
Ha 4 kocka csokiból megeszünk 3 kockát…
Az teljesen más, mintha 3 kocka csokiból megeszünk 4 kockát.
Ezt otthon bárki kipróbálhatja.
A kivonás tehát nem felcserélhető, vagyis nem kommutatív.
De az izgalmak csak most jönnek.
Egy újabb adag csoki segítségével.
Teljesen mindegy, hogy a 4+3 kocka csokihoz adunk még hozzá 5 kockát…
Vagy a 4 kockához adunk 3+5 kockát.
Mindkét esetben 12 kocka csokink lesz.
Ezt a dolgot, amikor mindegy, hova tesszük ki a zárójelet, úgy mondjuk, hogy asszociatív.
Sőt, itt az összeadásnál egyáltalán nem is kell a zárójel.
Kivonásnál már más lesz a helyzet.
Itt van például ez:
A zárójel azt jelenti, hogy először az abban szereplő műveletet kell elvégezni.
És most jöhet a kivonás.
A zárójel összeragasztja a csokikockákat…
Most nézzük, mi a helyzet ezzel:
Zárójel nélkül már egészen más a helyzet.
Ilyenkor szépen megyünk balról jobbra…
És ha így van a zárójel…
Akkor először elvégezzük a zárójelben lévő műveletet…
Vagyis pontosan ugyanazt csináljuk, mint az előbb:
Zárójelek nélkül ebben nincsen semmi érdekes.
Szépen balról jobbra elvégezzük a kivonásokat.
Zárójelekkel már egészen más a helyzet…
Ilyenkor ezzel kezdjük…
Most nézzük, mi történik, ha mondjuk így tesszük ki a zárójeleket…
És lehetnek a zárójelek akár így is.
De a valódi izgalmak csak most jönnek. A szorzással…
És most nézzük, hogyan működik a szorzás…
Hát, így.
Ez egy tábla csoki ötször 4 kockával.
Vagy éppen négyszer 5 kockával.
A végeredmény ugyanaz: 20 kocka csoki.
És most lássunk valami érdekesebbet…
Hogyha most ezt megszorozzuk 2-vel…
A szorzás sorrendje is felcserélhető.
Vagyis a szorzás is kommutatív.
Amikor egy szorzatot megszorzunk valamilyen számmal…
Akkor a szorzatnak vagy az egyik szereplőjét szorozzuk meg vele…
Vagy a másikat.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
De csak az egyiket.
Az összeadásnál ez teljesen máshogy van.
Íme, itt egy összeadás.
Hogyha megszorozzuk 2-vel…
Akkor lesz 10 kocka meg 8 kocka.
Amikor egy összeadást szorzunk meg valamilyen számmal, akkor mindkét szereplőt meg kell szorozni vele.
Az összeadás szereplői tehát máshogyan viselkednek, mint a szorzás szereplői.
Éppen ezért máshogy is hívjuk őket.
Ezeket a szereplőket úgy hívjuk, hogy tényezők.
Ezeket pedig úgy hívjuk, hogy tagok.
A kettő közti különbség csokiban is kimutatható.
A zárójel azt csinálja, hogy összeragasztja a csokidarabokat.
A műveleti sorrend innentől kezdve a világ legegyszerűbb kérdése lesz...
