- Helyiértékes számírás, egész számok, negatív számok, római számok
- Műveletek és a műveleti sorrend
- Halmazok
- Írásbeli összeadás, kivonás, szorzás, osztás
- Törtek
- Tizedes törtek
- Számrendszerek és a hatványozás alapjai
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, sokszögek, térbeli testek
- Háromszögek, négyszögek
- Kerület és terület
- Téglalap és négyzet, kerület, terület
- Koordinátarendszer, pontok koordinátái
- Téglatest és kocka, felszín és térfogat
- Mértékegységek, mértékegység átváltás
- Szerkesztések, vonalzó, körző, szögmérő
- Adatgyűjtés, grafikonok, diagramok, statisztika
Helyiértékes számírás, egész számok, negatív számok, római számok
Alaki érték
Egy számban magukat a számjegyeket úgy hívjuk, hogy alaki érték.
Pl. az 1526-ban az alaki értékek az 1, az 5 a 2 és a 6.
Azért hívjuk alaki értéknek, mert ezeknek a számoknak a valódi jelentése az 1526-ban más, hiszen az 1-es például ezret jelent, míg az 5-ös ötszázat jelent. De az alaki érték nem foglalkozik a számban szereplő számjegyek valódi jelentésével, vagyis a valódi értékükkel, csupán azt mondja meg, hogy milyen számjegyek szerepelnek az adott számban.
Helyiérték
Egy szám helyiértékeit a helyiérték-táblázatának felírásával kapjuk meg. Ez a helyiérték-táblázat a szokásos tízes számrendszer helyiérték-táblázata, ahol a helyiértékek az 1-es, 10-es, 100-as, 1000-es és így tovább...
Pl. az 1526 szám helyiérték-táblázata:
| szám | ezres | százas | tízes | egyes |
| 1526 | 1 | 5 | 2 | 6 |
A helyiérték-táblázatban szereplő számok az eredeti számnak a tízes számrendszerbeli számjegyei, az alaki értékek.
Valódi érték
A valódi érték egy számban a számjegyek valóságos értékét mondja meg. Az 1526 számjegyei az 1, az 5, a 2, és a 6, de ezeknek a számoknak az igazi jelentése az, hogy 1000, 500, 20 és 6, vagyis ezek a valódi értékek.
ez itt az 1526 szám helyiérték-táblázata:
| szám | ezres | százas | tízes | egyes |
| 1526 | 1 | 5 | 2 | 6 |
Itt az 1, 5, 2 és 6 az alaki értékek, és úgy kapunk belőlük valódi értéket, hogy a táblázat fejlécében szereplő helyiértékekkel szorozzuk őket. Ezzel egy képletet is kaphatunk a valódi értékre: Az alaki értéket kell megszorozni a helyiértékkel. De kár ezt így túlbonyolítani, egyszerűen arról van szó, hogy az 1526 számban az 5-ös 500-at jelent és ez a valódi érték.
Helyiértékes számírás
A helyiértékes számíráshoz számjegyeket, a szokásos tízes számrendszerben ezeket: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 és helyiértékeket (egyes, tizes, százas, ezres, ...) használunk.
Pl. az 1526 szám helyiérték-táblázata:
| szám | ezres | százas | tízes | egyes |
| 1526 | 1 | 5 | 2 | 6 |
Itt az 1, 5, 2 és 6 az alaki értékek.
Az ezres, százas, tizes, egyes a helyiértékek.
A számjegyek valódi értékét úgy kapjuk meg, hogyha az alaki értékeket megszorozzuk a hozzá tartozó helyiértékkel. Vagyis az 1526 esetében:
1 | 1000
5 | 500
2 | 20
6 | 6
És a számjegyek valódi értékét összeadva kapjuk meg a szám valódi értékét: 1000+500+20+6
Hármas csoportosítás (ezres tagolás)
A hármas csoportosítás vagy másnéven ezres tagolás lényege, hogy a nagyobb számok is könnyen kiolvashatóak legyenek.
Nézzünk meg erre egy példát. Ez a szám, hogy 85253532 így nagyon nehezen olvasható ki. Annak érdekében, hogy könnyebb legyen az agyunknak feldolgozni a látottakat, a számot hármas tagolással írjuk, jobbról kezdve hármas csoportokat alkotva:
Pl. 85253532 = 85 253 532
Kiolvasva: 85 millió 253 ezer 532
Számegyenes
A számegyenes egy végtelenül hosszú egyenes vonal, amit ellátunk egy skálázással. A számok balról jobbra növekednek a számegyenesen, és arra tudjuk használni, hogy magiukat a számokat vizuálisan megjeleníthetjük rajta.
A számegyenes mindig balról jobbra növekszik, és ezt úgy szoktuk jelölni, hogy egy jobbra mutató nyilat teszünk a számegyenes jobb végére. A számegyenesen a nullától balra a negatív számok, jobbra a pozitív számok vannak.
Ellentett
Egy szám ellentettje azt jelenti, hogy kicseréljük az előjelét.
Ha kezdetben pozitív volt, akkor negatív lesz.
Hogyha pedig negatív volt, akkor pozitív lesz.
Pl. a 8 ellentettje -8, és a -3 ellentettje 3.
A 0 ellentettje pedig 0 marad.
Abszolútérték
Egy szám abszolútértéke a nullától való távolságát jelenti. A jele két függőleges vonal, pl. $\mid -5 \mid =5$ és $\mid 5 \mid = 5$.
Az abszolútértéket úgy is meg lehet jegyezni, hogy lényegében a következőt csinálja mindig:
- ha a szám nemnegatív (0 vagy pozitív), akkor az abszolútértéke önmaga lesz
- ha a szám negatív, akkor az abszolútértéke az ellentettje lesz
Még egyszerűbben, ha negatív előjelet látsz, azt le kell vágni, különben nem kell csinálni semmit.
Római számok
A rómaiak minden számot úgy építettek föl, mintha építőkockákat használtak volna.
Az építőkockák pedig a következők:
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
A 67 tehát például úgy épül föl, hogy veszünk egy 50-est, egy 10-est, egy 5-öst és két 1-est, vagyis 50+10+5+1+1 tehát LXVII. Az építkezős analógia bizonyos számoknál módosítva működik, ugyanis például a 9 az úgy épül föl, hogy 10-1 és így írjuk, hogy IX. A római számok használatát és képzésétaz erről szóló epizódunkban részletesen bemutatjuk.
Vannak ezek a számok. Rendezzük hármas csoportokba a számjegyeit, és adjuk meg a számjegyek alaki értékét és valódi értékét.
a) 562344435
b) 799641
c) 8875556
Számoljuk ki ezeket:
a) $2-5+6+1-4=$
b) $-7+3=$
c) $4-9=$
d) $-2-4=$
e) $5-(-4)=$
f) $7+(-3)=$
g) $666-(-42)=$
h) $666+(-42)=$
i) $666-(+42)=$
j) $666+(+42)=$
Töltsd ki az alábbi táblázat üres helyeit.
| Szám | Ellentetje | Abszolútértéke |
| -6 | ||
| 12 | ||
| 0 | ||
| 16 | ||
| -23 | ||
| -20 |
Írjuk át a következő számokat római számokra:
a) 63
b) 87
c)49
d) 236
e) 999
Írjuk át a következő római számokat arab számokra:
a) LXXI
b) XLVII
c) CCXLIX
d) MMXXIII
e) MCMXCIX
És a számokra különböző jeleket találtak ki…
Az 1-et általában egy vonal jelentette…
A 2-t pedig két vonal.
És 3-at…
Őrület, a 3-at három vonal.
De ezt így sokáig már nem lehetett folytatni.
Képzeljük el, mi lenne, ha a huszonhármat így jelölnénk…
Hopszi, le is maradt két vonal…
Föl sem tűnt ugye?
Még megszámolni sincs kedvünk ezeket a vonalakat, nemhogy számításokat végezni vele.
A rómaiak egy egészen jól használható jelrendszert találtak ki a számokra.
A 4-et még négy vonallal jelölték…
De az 5-re már külön jelet fejlesztettek ki.
Aztán a 6 úgy lesz, hogy 5 meg 1…
A 7 pedig 5 meg 2.
És így szépen eljutunk 9-ig.
Itt jön a rómaiak újabb zseniális ötlete.
A 10-re megint új jelet használtak.
És még bevezettek egy cselt.
Észrevették, hogy az 5-ös és a 10-es előtti számokat már nehéz átlátni.
Így hát megváltoztatták a jelölést.
Ez a vonal a V előtt azt jelenti, hogy az 1-et nem hozzáadni kell az 5-höz, hanem levonni.
És ugyanez van itt is.
10-től 20-ig így már vidáman el tudtak számolni a rómaiak…
Sőt tovább…
De azért, ha így hirtelen meg kéne mondani, hogy ez mennyi…
Hát ige, azért egy kis idő kell hozzá, hogy elemezzük.
Így aztán az emberiség előbb-utóbb lekukázták a római számokat.
Kitaláltak a római számok helyett valami sokkal jobbat.
És mindjárt látni fogjuk a titkot, amitől ez tényleg sokkal jobb a római számoknál.
De ehhez kellett még valami, ami nem volt a rómaiaknál…
Megjelenik a nulla.
És most…
Itt jön a hatalmas trükk…
Nézzük meg még egyszer?
Végülis miért ne…
Bummm…
A trükk az, hogy újrahasznosítjuk a számjegyeket.
Vagyis a 10-re nem használunk új jelet, hanem a korábbi 1-esből és 0-ból rakjuk össze.
És aztán szép sorban megyünk tovább.
Aki nem egy barlangban élt eddig, ezt már annyira megszokta, hogy föl sem tűnik.
De ettől ez még egy hatalmas ötlet.
A rómaiak ott akadtak el, hogy náluk a jelek mindig ugyanazokat a számokat jelentették…
Ez volt a rómaiaknál az 1-es:
De az már nem jutott eszükbe, hogy ez a jel a 11 legyen és ne a 2:
A rómaiak minden számot egyesével építettek föl.
Mintha építőkockákat használtak volna.
Hogyha le akarták írni mondjuk azt a számot, hogy 17…
Akkor ezt úgy rakták össze, mint egy kirakót:
És így bizony elég nehéz összerakni mondjuk azt a számot, hogy 1526…
Túl sok építőkocka kell hozzá.
Ebben az új rendszerben viszont 0-tól 9-ig minden számra különböző jeleket használunk…
És aztán ezekkel a számjegyekkel már akármilyen nagy számot le lehet írni.
Ezt hívjuk helyiértékes számírásnak.
Amikor itt van ez a két darab 1-es…
Akkor itt a két egyes nem ugyanazt jelenti.
Mert az egyik 1-es valójában 10-et jelent.
És ezzel eljutottunk a helyiértékes számírás lényegéhez.
Ez a szám, hogy 1562…
Valójában ezt jelenti.
Ezeket hívjuk helyiértékeknek.
Helyiérték-táblázat:
Ez a szám, hogy 1526 négy darab számjegyből áll.
Magukat a számjegyeket úgy hívjuk, hogy alaki érték.
Az alaki értékek az 1, az 5, a 2 és a 6.
De ezek a számok nem ugyanannyit érnek, hiszen az 5 például 500-at jelent, a 2 meg csak 20-at.
Így kapjuk meg az alaki értékből a valódi értéket…
A rómaiak még minden számot egyesével építettek föl.
Mintha építőkockákat használtak volna.
Hogyha le akarták írni mondjuk azt a számot, hogy 38…
Akkor ezt úgy rakták össze, mint egy kirakót:
Huh, még épp kifért…
Mostanában egy kicsit egyszerűbben oldjuk meg ezt a problémát…
Csak veszünk egy 3-ast meg egy 8-ast…
És kész is.
Ez a helyiértékes számírás lényege.
A kirakó darabjait nyugodtan ki is dobhatjuk.
A 38-hoz nincs szükség ezekre.
Csak a 10 darab számjegyre van szükség…
És még annyit kell tudnunk, hogy milyen helyiértéken szerepelnek.
Hogyha itt van például ez a szám, hogy
Akkor ebben az egyik 5-ös nem ugyanazt jelenti, mint a másik.
Azt, hogy melyik 5-ös mit jelent, nagyon könnyű eldönteni…
Egyszerűen csak megnézzük, hogy hányadik helyen áll.
Ezt hívjuk helyiértéknek.
Magukat a számjegyeket úgy hívjuk, hogy alaki érték.
De ezek a számjegyek nem ugyanannyit érnek, hiszen az egyik 5-ös 500, a másik meg csak 5.
És így jutunk el a valódi értékhez.
A valódi érték a számjegyek tényleges értékét adja meg.
A rómaiak rengeteget bajlódtak az 1000-nél nagyobb számok írásával.
És 3999-nél fel is adták a dolgot.
Az 4000-et már nem voltak képesek leírni.
A helyiértékes számírásnál viszont csak a végtelen a határ.
A Jupitert például már a rómaiak is ismerték…
De azt nem tudták, hogy az átlagos távolsága a Naptól 778412027 kilométer.
Mondjuk úgysem tudták volna leírni…
Bővítenünk kell egy kicsit a helyiérték-táblázatunkat…
Eddig ezernél járunk…
Aztán jön a tízezer.
Aztán a százezer…
De ez a szám még ennél is nagyobb…
Azért, hogy könnyebb legyen átlátni a helyiértékeket, a számjegyeket hármasával csoportosítjuk.
Így kiderül, hogy idáig százezer…
Aztán jön a millió…
A tízmillió…
És a százmillió.
Meg is vagyunk.
csoportokat hozunk létre.
És a Szaturnusz még messzebb van…
És színre lép a milliárd…
A milliárd a milliónak az ezerszerese.
Vagyis ezer millió éppen egy milliárd.
A Szaturnusz távolsága…
Itt van ez a szám:
Rendezzük hármas csoportokba a számjegyeit, és adjuk meg a számjegyek alaki értékét és valódi értékét.
A hármas csoportokhoz mindig hátulról kezdjük el számolgatni a számjegyeket.
És hármasával tegyünk egy pontot.
Szuper, így már látszanak is a hármas csoportok…
Most betesszük ide a helyiérték-táblázatba…
Ez itt három…
Ez pedig négy.
És vannak helyzetek, amikor szükség van negatív számokra is…
A negatív számokat hosszú ideig nem tekintették számnak…
Az európai matematikusok még az 1700-as években is úgy gondolták, hogy nem létezhetnek olyan számok, amelyek negatívak.
De aztán megépültek a plázák…
Mélygarázzsal.
A negatív számok működését lazán megérthetjük ennek a liftnek a segítségével…
Ha fölfelé megyünk a lifttel, az pozitív…
Lefelé pedig negatív.
Ez például azt jelenti:
Hogy a 2. emelten vagyunk, és fölmegyünk még 3-at.
Az eredmény nyilván 5.
Hogyha most lemegyünk két emeletet…
Akkor a harmadikra érkezünk.
Menjünk le most 7 emeletet.
Nézzük, mi történik, ha fölmegyünk 3 emeletet…
Így még mindig a föld alatt leszünk.
És most jöjjön valami érdekesebb.
Számoljuk ki ezt:
A másodikról indulunk…
Először lemegyünk 5 emeletet.
Aztán fölmegyünk hatot…
Itt az ideje szintet lépni…
És a liftek nem is kellenek.
Ezt úgy hívjuk, hogy számegyenes.
A számegyenesek általában nem függőlegesek…
Hanem vízszintesek.
A számokat pedig így tudjuk ábrázolni rajta.
Ez itt például három.
És ez pedig mínusz hét.
A pozitív számok fölfelé mennek…
A negatívak pedig lefelé.
Hogyha itt van például ez:
Akkor az eredményt a számegyenesről is könnyen le tudjuk olvasni.
A mínusz héthez hozzáadjuk a hármat…
És az eredmény…
Nézzünk meg még egyet:
Ez a 4…
Ez pedig a 9.
Így néz ki, amikor a 4-hez hozzáadjuk a 9-et.
És ez pedig, amikor kivonjuk.
Az eredmény mínusz öt.
Itt jön egy olyan, amikor mind a kettő mínusz:
És most nézzük, mit kezdhetnénk ezzel:
Hűha, ez valami egészen fura…
Készítsünk egy rajzot.
Ja, mondjuk ne ilyet…
Rajzoljuk föl ezeket a számokat a számegyenesre.
Hogyha összeadás lenne…
De kivonás van.
Ilyenkor a két egymás melletti mínuszjel…
Összeáll egy pluszjellé.
Lássuk, mi van ezzel:
Ha két mínusz torlódik így össze…
Az plusz jellé alakul.
Ha az egyik mínusz és a másik plusz…
Akkor az mínusz lesz.
Egy szám ellentettje azt jelenti, hogy kicseréljük az előjelét.
Ha kezdetben pozitív volt…
Akkor az ellentettje negatív lesz.
Hogyha pedig negatív volt…
Akkor az ellentettje pozitív lesz.
A nyolc és a mínusz nyolc tehát egymás ellentettje.
Vagy éppen az ötnek az ellentettje…
A mínusz öt.
És a mínusz ötnek az ellentettje…
A tizenhárom…
Dehogyis, hát persze, hogy az öt.
És most egy másik őrülten izgalmas dolog következik.
Egy szám abszolútértéke.
Az abszolútérték egy nagyon egyszerű fogalom.
Egy szám abszolútértéke a nullától való távolságát jelenti.
És az abszolútérték jele két függőleges vonal.
A mínusz öt abszolútértéke:
És az öt abszolútértéke:
Egy szám abszolútértéke:
– ha a szám nem negatív, akkor önmaga
– ha negatív, akkor az ellentettje
És most valami hihetetlenül izgalmas dolgot fogunk csinálni…
Kitöltjük ezt a táblázatot:
A rómaiak nem gondolkodtak túl sokat a számokon…
Az 1-et egy vonal jelentette náluk…
A 2-t két vonal…
És a 3-at három vonal.
Hamarosan ők is rájöttek, hogy egy idő után le kell állni ezzel, mert 10-et már nem lehet tíz vonallal jelölni…
Így hát kénytelenek voltak újabb jeleket is kitalálni.
A 30-cal kezdődő számok három darab X-el indultak…
Aztán jönnek a 40-nel kezdődők…
És az 50-nel kezdődők…
Az 50-re megint egy újabb jelet találtak ki a rómaiak.
Egy L betűt.
És ahogyan a 4-et is úgy jelölik, hogy IV…
A 40-et is inkább így írjuk, hogy XL.
És így már el tudtak számolni egészen 89-ig.
Közben pedig jegyezzünk meg egy fontos szabályt.
A római számok úgy működnek, hogy sosem lehet ugyanabból a jelből egymás után háromnál több.
És ahogy egyre nagyobb számokat akarunk felírni, egyre több újabb elem kell.
Külön jel kell a 100-ra…
Aztán az 500-ra…
Készítsünk egy listát…
És most írjunk át néhány számot római számra...
Ha a 4-et úgy kell írni, hogy IV, mert 5 mínusz 1…
Akkor logikus lenne a 49-re az, hogy IL mert 50 mínusz 1.
De a 49-et nem így írjuk.
Újabb szabály.
Ez a kivonósdi csak az egymás utáni jelekre használható.
És most fordítsuk meg. Írjuk át a római számokat arab számokra.
Ez itt egy számegyenes.
És itt vannak rajta a számok.
Mindegyik számot egy pötty jelöli.
És azt, hogy egy szám mekkora, a nullától való távolsága mutatja meg.
Ez itt például nyolc.
Ez pedig mínusz nyolc.
A pozitív számokba jobbra mutat a nyíl…
A negatív számokba pedig balra.
Hogyha itt van például ez:
Akkor ez az öt…
Ez pedig a kilenc.
Így néz ki, amikor az öthöz hozzáadjuk a kilencet...
És ez pedig, amikor levonjuk.
Az eredmény mínusz négy.
Nézzünk meg még egyet:
Ez itt a mínusz hét…
Ez pedig a négy.
És, ha összeadjuk őket…
Hát, ez eddig nem túl izgalmas…
Nézzük, mit tudnak még ezek a számegyenesek.
Itt egy számegyenes ezzel a két számmal.
Milyen számokat jelölnek a sárga pöttyök?
Az ilyen feladatok megoldásához mindig a számegyenes skálázását kell kideríteni…
Az meg mi?
A skálázás azt jelenti, hogy hányasával vannak ezek a vonalak.
Nézzük meg mi a helyzet most…
A 20 és a 25 egymás utáni vonalak.
A kettő közti távolság éppen öt.
Vagyis a vonalak ötösével vannak.
Kezdjünk el számolni…
Most menjünk lefelé…
Meg is vagyunk.
Ez a módszer egy kicsit azért lassú volt…
Jó lenne valahogyan felpörgetni a dolgot.
Nézzünk meg egy gyorsabb módszert is.
Simán csak megszámoljuk, hogy hányat kell ugrani a sárga pöttyig…
Négy darab ugrás kell…
És ötösével ugrunk.
És 25 plusz 20 az valóban 45.
A dolog lefelé is működik…
Öt darab ugrás van.
Nézzünk meg még egyet…
Itt egy másik számegyenes ezzel a két számmal.
Milyen számokat jelölnek a sárga pöttyök?
Végül itt jön még egy számegyenes két számmal.
