- Algebrai kifejezések, műveleti sorrend
- Egyenletek, egyenlőtlenségek, szöveges feladatok
- Százalékszámítás
- Oszthatóság, LNKO, LKKT, prímek
- Halmazok, kombinatorika, valószínűség
- Statisztika
- Háromszögek, négyszögek, Pitagorasz-tétel
- Tükrözés, forgatás, hasonlóság
- Gúlák, kúpok, gömbök, hasábok
- Mértékegységek, mértékegység átváltás
- Függvények
- Sorozatok
Függvények
Függvény értelmezési tartománya
Adott az $f: A \mapsto B$ függvény. A függvény értelmezési tartománya azoknak az elemeknek a halmaza az $A$ halmazban, amikhez a függvény hozzárendel $B$ halmazbeli elemeket.
Az értelmezési tartományt az angol domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány, így jelöljük: $D_f$.
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Függvény fogalma
Adott az $A$ és $B$ nem üres halmaz.
Ha az $A$ halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a $B$ halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés
Az $f: \; x\mapsto y$ függvény kölcsönösen egyértelmű, ha $x_1 \neq x_2$ akkor $y_1 \neq y_2$. Vagyis különböző $x$-ekhez mindig különböző $y$-okat rendel.
Zérushely
Azokat a pontokat, ahol a függvény grafikonja az $x$ tengelyt metszi, zérushelynek nevezzük.
Lineáris függvény
A lineáris függvény képlete:
$y = m\cdot x + b$ vagy $ x \mapsto m\cdot x + b$ vagy $f(x)=m\cdot x + b$
Az egyik dolog, amit érdemes tudni róla, hogy milyen meredeken megy.
Ezt meredekségnek hívjuk, és így jön ki:
\( m=\frac{ \text{amennyit fölfele megy}}{ \text{amennyit előre megy} } \)
A másik dolog, amit érdemes tudni, hogy hol metszi a függvény grafikonja az $y$ tengelyt.
Ezt úgy hívjuk ,hogy tengelymetszet, és a jele $b$ a képletéből.
Adott a következő függvény.
\( f(x)=x^2-4 \quad D_f : -2 \leq x \leq 4 \)
a) Milyen számot rendel hozzá ez a függvény a 3-hoz?
b) Melyik az a szám, amihez a függvény a 12-t rendeli hozzá?
c) Mik a függvény zérushelyei?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy lineáris függvény a 2-höz 3-at, az 5-höz pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát.
b) Egy vonat reggel 8-kor éppen 200 kilométer utat tett már meg, 11 órakor pedig 400-at. A vonat átlagsebessége útja során végig állandó. Hánykor indult a vonat és mekkora utat tesz meg 14 óráig?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Mit rendel az \( y = - \frac{1}{3}x +4 \) lineáris függvény az \( x=2 \) számhoz? Melyik az a szám, amihez a függvény az \( y=2 \) értéket rendeli? Ábrázoljuk a függvényt!
b) Adjuk meg a \( 6=2x+3y \) lineáris függvény meredekségét, és hogy hol metszi a koordinátatengelyeket.
c) Van itt ez a lineáris függvény, amiről tudjuk, hogy a zérushelye \( x=4 \) és az \( x=-2 \) helyen a függvény 3-at vesz föl.
\( y=a \cdot x + b \qquad a=? \qquad b=? \)
Van itt ez a két halmaz…
Hogyha az egyik halmaz elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit…
Akkor kiderül, hogy milyen idő lesz a héten.
Az is megeshet, hogy több nap is ugyanolyan lesz az idő…
Ezzel nincsen semmi baj.
De ha szombathoz például két különböző elemet is rendelünk…
Na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
Hát igen, ez így nem túl egyértelmű…
Egy hozzárendelést egyértelműnek nevezünk, ha minden elemhez pontosan egy másik elemet rendel hozzá.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
egyedül az a fontos, hogy csak egyet.
Ez a hozzárendelés most egyértelmű.
Az egyértelmű hozzárendeléseket úgy hívjuk, hogy függvény.
Az ilyen egyértelmű hozzárendeléseknek az a neve, hogy függvény.
Adott az és nem üres halmaz.
Ha az A halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a B halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Simán előfordulhat, hogy az A halmaznak csak néhány eleméhez rendeljük hozzá…
a B halmaznak néhány elemét.
És az sem okoz problémát, ha több elemhez is ugyanazt rendeljük.
Egyedül az lenne baj, ha egy elemhez rendelnénk hozzá több elemet.
ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
ÉRTÉKKÉSZLET
Az értelmezési tartomány azoknak az elemeknek a halmaza az A halmazban… amikhez a függvény hozzárendel B halmazbeli elemeket.
Az értékkészlet pedig azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban…
amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.
Az értelmezési tartományt a domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány így jelöljük:
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Az értékkészlet jele pedig a range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés:
Ennek is van egy akadálymentesített jelölése, ami így szól, hogy É.K.
Egy hozzárendelést kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, hogyha nem csak az egyik irányba egyértelmű…
hanem a másik irányba is.
Esetünkben ez most nem mondható el.
Az eső ugyanis pénteken és szombaton is esik.
Így aztán a visszafelé irányban az esőhöz a pénteket és a szombatot is hozzárendeljük.
Talán, ha pénteken sütne egy kicsit a nap…
az minden problémát megoldana.
Ez most egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Az függvény kölcsönösen egyértelmű, ha akkor .
Vagyis különböző x-ekhez mindig különböző y-okat rendel.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Itt van az x tengely, tele számokkal.
És ezek közül a számok közül bizonyos számokhoz hozzárendelünk egy másik számot.
Mondjuk hozzárendeljük a négyzetüket.
Ezt a függvényt így jelöljük, hogy
Legtöbbször ezt a harmadik jelölést fogjuk használni.
És most nézzük meg, mit rendel hozzá a függvény a 4-hez.
Itt is bármelyik jelölést használhatjuk …
Ezt úgy mondjuk, hogy a függvény a 4-ben 16-ot vesz föl.
Az x tengelyen vannak a helyek…
az y tengelyen pedig az értékek.
HOL?
MENNYI?
Azokat a szerencsés x-eket amikhez a függvény hozzárendel valamit, értelmezési tartománynak nevezzük és -el jelöljük.
Az x2-nél ez az egész x tengely.
Az y tengelynek azt a részét, amit az x-ekhez hozzárendeltünk értékkészletnek nevezzük.
Egy függvény értelmezési tartományát az alapján is megadhatjuk, hogy milyen kedvünk van éppen.
Hogyha például rossz kedvünk van, mondhatjuk azt, hogy vegyük az x2-et csak a negatív x-ekre.
Vagy éppen ezekre az x-ekre:
És ilyenkor az értékkészlet…
Itt van aztán ennek a másik függvénynek a grafikonja.
A függvény képletét most épp nem tudjuk…
De ez nem is baj, a rajz alapján rengeteg dolgot meg tudunk róla mondani.
Azokat a pontokat, ahol a függvény grafikonja az x tengelyt metszi, zérushelynek nevezzük.
Ezek most a zérushelyek.
Nézzük, mi van az értelmezési tartománnyal.
A függvény -5 és 8 között van értelmezve.
Hogyha itt üres karika van…
Az azt jelenti, hogy a -5 már nincs benne az értelmezési tartományban.
A 8-nál viszont teli karika van, az tehát benne van.
Az értékkészlet pedig…
Végül itt jön még egy függvény.
Milyen számot rendel hozzá ez a függvény a 3-oz?
Melyik az a szám, amihez a függvény a 12-t rendeli hozzá?
Mik a függvény zérushelyei?
Mindig csak ez a rengeteg kérdés…
Ha szeretnénk tudni, hogy mit rendel a függvény a 3-hoz…
egyszerűen csak be kell helyettesíteni x helyére 3-at.
És kész is.
Most nézzük, melyik az a szám, amihez a függvény a 12-t rendeli.
Ilyenkor az x-et keressük, és ez az egész, ami egyenlő 12-vel.
És meg kell oldanunk ezt az egyenletet.
Két olyan szám van, aminek a négyzete éppen 16.
De most csak az egyik lesz jó.
Csak a 4 van benne ugyanis az értelmezési tartományban.
Egy függvény zérushelyét mindig úgy kapjuk meg, hogy egyenlővé tesszük nullával.
Két olyan szám van, aminek a négyzete 4.
Ezek a zérushelyek.
A lineáris függvények nem túl izgalmas részei a matematikának. De hát néha velük is kell foglalkozni, úgyhogy nézzünk meg néhányat. Ez itt egy lineáris függvény. És két dolgot érdemes róla tudni. Az egyik, hogy milyen meredeken megy… Ezt meredekségnek hívjuk, és így jön ki: A másik dolog, amit érdemes tudni, hogy hol metszi a függvény grafikonja az y tengelyt. Ezt úgy hívjuk, hogy tengelymetszet, és a jele b. És íme, itt a lineáris függvények képlete: Most pedig nézzük, mire használhatnánk ezeket a lineáris függvényeket, jóra vagy rosszra… Egy lineáris függvény a 2-höz 3-at, az 5-höz pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát. A függvény az x tengelyen lévő számokhoz rendeli hozzá… az y tengelyen lévő számokat. Íme, itt is van a függvény grafikonja, ami egy egyenes vonal. Számoljuk ki a meredekségét. Lássuk, mennyit megy fölfele… Semennyit, mert ez most lefele megy. Előre pedig 3-at. A meredekség tehát megvolna. Most pedig jöhet a tengelymetszet. Hát, ez valahol 3 és 4 között van. Ennél azért egy picit pontosabban kéne tudnunk… Itt van a függvény képlete. És azt már tudjuk, hogy a meredekség -1/3. Úgy tudjuk kiszámolni b-t, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján… és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe. De mi van akkor, ha egy másik pontot választunk? Mondjuk például ezt… Mindig ugyanaz jön ki. Hát, ezzel megvolnánk. Így elsőre nehéz elhinni, hogy ezek a lineáris függvények jók is valamire. Pedig azért néhány dologra lehet őket használni. Itt van például ez a vonat, ami reggel 6-kor indul… és 8 óráig megtesz 300 kilométert. Menet közben nem állt meg sehol, és végig állandó sebességgel haladt. A vonat által megtett utat ez a lineáris függvény írja le. A 300 kilométeres utat… 2 óra alatt tette meg. A vonat sebessége éppen a függvény meredeksége. Hogyha mondjuk 8 és 11 óra között a vonat 100 km/h sebességgel halad tovább… Akkor egy olyan függvényt kell rajzolnunk, aminek a meredeksége 100. Ezt a függvényt például arra tudjuk használni, hogy megmondja nekünk, mikor hol van épp a vonat. Ha kíváncsiak vagyunk például arra, hogy 10 óráig mekkora utat tett meg… Ekkorát. Itt jön aztán egy másik vonatos történet. Erről a vonatról annyit lehet tudni, hogy reggel 8-kor éppen 200 kilométer utat tett már meg, 11 órakor pedig 400-at. A vonat átlagsebessége útja során végig állandó. Hánykor indult a vonat és mekkora utat tesz meg 14 óráig? A vonat 8 óráig 200 kilométert tett meg… 11 óráig pedig 400-at. A vonat átlagsebessége állandó, ezért a megtett utat egy lineáris függvény írja le. Az remekül látszik a rajzon, hogy a vonat 5-kor indult. Az már kevésbé, hogy hol lesz 14 órakor. Persze készíthetnénk egy nagyobb rajzot is… De a matematika nem igazán rajzok készítésével foglalkozik. Az egy másik tantárgy. Lássuk inkább azt a függvényt, amely megmondja nekünk, hol tart épp a vonat. Kezdjük azzal, hogy, mekkora a meredekség… A b-t most is úgy kapjuk meg, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján… és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe. Íme, itt is van. És, hogy hol lesz a vonat 14 órakor?
Van itt ez a nagyon izgalmas lineáris függvény:
Mit rendel hozzá ez a függvény az számhoz?
Ez egy igazán egyszerű kérdés, csak be kell helyettesíteni a függvénybe.
Itt jön aztán a következő kérdés.
Melyik az a szám, amihez a függvény az értéket rendeli?
Most tehát az y tengelyen van a 2…
És keressük a hozzá tartozó x-et.
Hát ez is kiderült.
Hogyha már ennyit szenvedtünk ezzel a függvénnyel, rajzoljuk is föl.
A meredekség:
Az y tengelyt pedig 4-ben metszi.
Egyébként ez a rajzról is látszik.
Egy lineáris függvény a 2-höz 3-at, az 5-höz pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát.
A függvény az x tengelyen lévő számokhoz rendeli hozzá…
az y tengelyen lévő számokat.
Íme, itt is van a függvény grafikonja, ami egy egyenes vonal.
Számoljuk ki a meredekségét.
Lássuk, mennyit megy fölfele…
Semennyit, mert ez most lefele megy.
Előre pedig 3-at.
A meredekség tehát megvolna.
Most pedig jöhet a tengelymetszet.
Hát, ez valahol 3 és 4 között van.
Ennél azért egy picit pontosabban kéne tudnunk…
Itt van a függvény képlete.
És azt már tudjuk, hogy a meredekség -1/3.
Úgy tudjuk kiszámolni b-t, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján…
és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe.
