Matek 9. osztály
A kurzus 17 szekcióból áll: Halmazok, Kombinatorika, Gráfok, Százalékszámítás, Algebra, nevezetes azonosságok, hatványozás, gyökvonás, Elsőfokú egyenletek, Egyenletrendszerek, Szöveges feladatok, Síkgeometria, Egybevágósági transzformációk, Vektorok, Elsőfokú függvények, Függvények ábrázolása, Egyenlőtlenségek, Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek, Statisztika, Valószínűségszámítás
Halmazok
- -
Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.
- -
A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.
- -
Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.
- -
Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.
- -
Az A és B halmazok Descartes-szorzata úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból, a második elemét pedig B-ből vesszük, és ezeket a rendezett párokat betesszük egy halmazba.
- -
Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár és minden x-hez csak egy y tartozik.
Kombinatorika
- -
$n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.
- -
Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.
- -
Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.
- -
Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.
- -
Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.
- -
Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.
- -
Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.
Gráfok
- -
A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.
- -
Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.
- -
Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.
- -
A gráf csúcsokból és azokat összekötő élekből áll.
- -
Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.
- -
Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.
- -
Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.
- -
Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.
Százalékszámítás
- -
Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.
- -
A kamatos kamat számításának képlete.
Algebra, nevezetes azonosságok, hatványozás, gyökvonás
- -
Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás és zárójelezések műveleti sorrendjei.
- -
Hogyan végezzünk műveleteket betűs kifejezésekkel.
- -
Itt jön néhány példa arra, hogyan lehet kiemeléssel szorzattá alakítani.
- -
Ha a törtekből nem lett volna elég, itt jönnek az algebrai törtek.
- -
Törtek és algebrai törtek egyszerűsítésének módszerei.
- -
Kéttagú összegek és különbségek négyzetre emelése. Két négyzet különbségének szorzata.
- -
Kéttagú összegek és különbségek köbre emelése.
- -
Kéttagú összegek n-edik hatványra emelésének képlete.
- -
Az (a+b) hatványainak általánosítására egy képlet.
- -
Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.
- -
Gyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.
- -
Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.
- -
Köbgyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.
- -
A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.
- -
Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.
Elsőfokú egyenletek
- -
Elsőfokú egyenletek megoldása, a mérleg elv. Törtes egyenletek megoldása.
Egyenletrendszerek
- -
A behelyettesítő módszer az egyenletrendszerek megoldásának egyik technikája, ami során az egyik ismeretlent kifejezzük a másikkal.
- -
Az egyenlő együtthatók módszere egy megoldási technika az egyenletrendszerekhez, ami során a két egyenletet összeadjuk vagy kivonjuk egymásból.
Szöveges feladatok
- -
Utazásról szóló szöveges feladatok.
Síkgeometria
- -
Hogyan számítjuk egyenes és sík távolságát?
- -
Hogyan számíthatjuk ki két egyenes távolságát?
- -
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
- -
Hogyan számíthatjuk ki két sík távolságát?
- -
Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza.
- -
Hogyan számíthatjuk ki pont és egyenes távolságát?
- -
Hogyan számíthatjuk ki pont és sík távolságát?
- -
Pont, egyenes és sík a tér elemei, alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletből kialakult jelentésükre hagyatkozunk.
- -
A háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelezőmerőlegesei metszéspontja. Hogyan lehet megszerkeszteni egy háromszög köré írható körét
- -
A magasságvonal a háromszög egy csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges. A magasságvonalak metszéspontja a magasságpont.
- -
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Ezek metszéspontja a súlypont.
- -
A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög köré írható körének középpontja.
- -
Néhány képlet háromszögek területére.
- -
Azok a háromszögek, amelyeknek van 90°-os szöge.
- -
Az egyenlőszárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal.
- -
Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).
- -
Azokat a négyszögeket nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány alakúak és az átlóik merőlegesek egymásra.
- -
A legszabályosabb négyszög a négyzet.
- -
A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja.
- -
Rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.
- -
Téglalapnál a szögek derékszögek, de az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.
- -
A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.
- -
A derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.
- -
Ha egy kör átmérőjét összekötjük a körvonal egy másik, tetszőleges C pontjával, akkor a C csúcsnál derékszöget kapunk.
- -
A húrnégyszög egy olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.
- -
A kerületi szög egy körben lévő szög úgy, hogy a szög csúcsa a körvonal egy pontja, szárai pedig vagy a kör két húrja, vagy egy húrja és egy érintője.
- -
Egy kör adott ívéhez tartozó kerületi szögek mind ugyanakkorák.
- -
Egy körben egy adott ívhez tartozó bármely középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög nagyságának.
- -
Két szimmetrikus körív, amely megadja azokat a pontokat, amik alatt egy szakasz azonos szögben látható.
- -
Kör kerületének és területének képletei.
- -
Mi az a körcikk, és hogyan számolható ki az ívhossza és területe.
Egybevágósági transzformációk
- -
A tengelyes tükrözés során egy egyenesre tükrözünk, amit tengelynek nevezünk.
- -
Egy alakzatot vagy sokszögek tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek a hatására a tükörképe önmaga.
- -
Hogyan kell megszerkeszteni egy alakzat középpontosan tükrözött képét, és mik a középpontos tükrözés tulajdonságai.
- -
Egy alakzat vagy sokszög akkor középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga lesz.
- -
Egy alakzatot vagy sokszöget forgás-szimmetrikusnak nevezünk, hogyha van olyan O pont, ami körül egy 0 és 360 fok közé eső szöggel elforgatva a sokszöget önmagába tudjuk forgatni.
- -
A pont körüli forgatáshoz kell egy pont, ami körül forgatunk, na és persze egy szög.
- -
Az eltolás során az alakzat lényegében ugyanaz marad, csak kicsit arrébb kerül.
- -
Két alakzat akkor egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, ami az egyiket a másikba viszi.
- -
Háromszögek egybevágóságának 4 esete.
Vektorok
- -
A vektor egy irányított szakasz.
- -
Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.
- -
Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.
- -
Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.
Elsőfokú függvények
- -
A lineáris függvények, azaz egyenesek ábrázolása és jellemzése.
Függvények ábrázolása
- -
Azon x-ek halmaza, amik részt vesznek a hozzárendelésben.
- -
A függvény egy egyértelmű hozzárendelés.
- -
Olyan hozzárendelés, ami különböző x-ekhez különböző y-okat rendel.
- -
Azokat a pontokat, ahol a függvény grafikonja az x tengelyt metszi, zérushelynek nevezzük.
- -
A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.
- -
A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.
- -
Globális és lokális maximumok és minimumok.
- -
Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.
- -
Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.
- -
Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.
Egyenlőtlenségek
- -
Hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket? Mi a különbség egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei között? Egyenlőtlenségek megoldása számegyenesen előjel ábrázolással.
Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- -
Egy szám abszolútértékén a nullától való távolságát értjük.
Statisztika
- -
A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.
- -
A módusz a leggyakoribb érték.
- -
Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.
- -
Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.
- -
Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.
- -
A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.
- -
Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.
- -
A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka:
Valószínűségszámítás
- -
Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.
- -
A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.
- -
Ha a szövegben valószínűségek vannak megadva, akkor a binomiális eloszlást szoktuk használni.
- -
A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás.
- -
Ha húzásokat vizsgálunk úgy, hogy a kihúzott elemeket nem tesszük vissza, akkor ez egy visszatevés nélküli mintavétel.
- -
A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.
- -
Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.
- -
Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.