Matek 9. osztály

Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.

Az A és B halmazok Descartes-szorzata úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból, a második elemét pedig B-ből vesszük, és ezeket a rendezett párokat betesszük egy halmazba.

Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár és minden x-hez csak egy y tartozik.

$n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.

Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.

Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.

Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

A gráf csúcsokból és azokat összekötő élekből áll.

Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.

Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.

Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.

Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.

Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.

A kamatos kamat számításának képlete.

Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás és zárójelezések műveleti sorrendjei.

Hogyan végezzünk műveleteket betűs kifejezésekkel.

Itt jön néhány példa arra, hogyan lehet kiemeléssel szorzattá alakítani.

Ha a törtekből nem lett volna elég, itt jönnek az algebrai törtek.

Törtek és algebrai törtek egyszerűsítésének módszerei.

Kéttagú összegek és különbségek négyzetre emelése. Két négyzet különbségének szorzata.

Kéttagú összegek és különbségek köbre emelése.

Kéttagú összegek n-edik hatványra emelésének képlete.

Az (a+b) hatványainak általánosítására egy képlet.

Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.

Gyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.

Köbgyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.

Elsőfokú egyenletek megoldása, a mérleg elv. Törtes egyenletek megoldása.

A behelyettesítő módszer az egyenletrendszerek megoldásának egyik technikája, ami során az egyik ismeretlent kifejezzük a másikkal.

Az egyenlő együtthatók módszere egy megoldási technika az egyenletrendszerekhez, ami során a két egyenletet összeadjuk vagy kivonjuk egymásból.

Utazásról szóló szöveges feladatok.

Hogyan számítjuk egyenes és sík távolságát?

Hogyan számíthatjuk ki két egyenes távolságát?

Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.

Hogyan számíthatjuk ki két sík távolságát?

Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza.

Hogyan számíthatjuk ki pont és egyenes távolságát?

Hogyan számíthatjuk ki pont és sík távolságát?

Pont, egyenes és sík a tér elemei, alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletből kialakult jelentésükre hagyatkozunk.

A háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelezőmerőlegesei metszéspontja. Hogyan lehet megszerkeszteni egy háromszög köré írható körét

A magasságvonal a háromszög egy csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges. A magasságvonalak metszéspontja a magasságpont.

A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Ezek metszéspontja a súlypont.

A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög köré írható körének középpontja.

Néhány képlet háromszögek területére.

Azok a háromszögek, amelyeknek van 90°-os szöge.

Az egyenlőszárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal.

Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).

Azokat a négyszögeket nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány alakúak és az átlóik merőlegesek egymásra.

A legszabályosabb négyszög a négyzet.

A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja.

Rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.

Téglalapnál a szögek derékszögek, de az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.

A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

A derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.

Ha egy kör átmérőjét összekötjük a körvonal egy másik, tetszőleges C pontjával, akkor a C csúcsnál derékszöget kapunk.

A húrnégyszög egy olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.

A kerületi szög egy körben lévő szög úgy, hogy a szög csúcsa a körvonal egy pontja, szárai pedig vagy a kör két húrja, vagy egy húrja és egy érintője.

Egy kör adott ívéhez tartozó kerületi szögek mind ugyanakkorák.

Egy körben egy adott ívhez tartozó bármely középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög nagyságának.

Két szimmetrikus körív, amely megadja azokat a pontokat, amik alatt egy szakasz azonos szögben látható.

Kör kerületének és területének képletei.

Mi az a körcikk, és hogyan számolható ki az ívhossza és területe.

A tengelyes tükrözés során egy egyenesre tükrözünk, amit tengelynek nevezünk.

Egy alakzatot vagy sokszögek tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek a hatására a tükörképe önmaga.

Hogyan kell megszerkeszteni egy alakzat középpontosan tükrözött képét, és mik a középpontos tükrözés tulajdonságai.

Egy alakzat vagy sokszög akkor középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga lesz.

Egy alakzatot vagy sokszöget forgás-szimmetrikusnak nevezünk, hogyha van olyan O pont, ami körül egy 0 és 360 fok közé eső szöggel elforgatva a sokszöget önmagába tudjuk forgatni.

A pont körüli forgatáshoz kell egy pont, ami körül forgatunk, na és persze egy szög.

Az eltolás során az alakzat lényegében ugyanaz marad, csak kicsit arrébb kerül.

Két alakzat akkor egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, ami az egyiket a másikba viszi.

Háromszögek egybevágóságának 4 esete.

A vektor egy irányított szakasz.

Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

A lineáris függvények, azaz egyenesek ábrázolása és jellemzése.

Azon x-ek halmaza, amik részt vesznek a hozzárendelésben.

A függvény egy egyértelmű hozzárendelés.

Olyan hozzárendelés, ami különböző x-ekhez különböző y-okat rendel.

Azokat a pontokat, ahol a függvény grafikonja az x tengelyt metszi, zérushelynek nevezzük.

A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.

A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.

Globális és lokális maximumok és minimumok.

Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.

Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.

Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.

Hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket? Mi a különbség egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei között? Egyenlőtlenségek megoldása számegyenesen előjel ábrázolással.

Egy szám abszolútértékén a nullától való távolságát értjük.

A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.

A módusz a leggyakoribb érték.

Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.

Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.

Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.

A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.

Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.

A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka:

Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.

A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.

Ha a szövegben valószínűségek vannak megadva, akkor a binomiális eloszlást szoktuk használni.

A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás.

Ha húzásokat vizsgálunk úgy, hogy a kihúzott elemeket nem tesszük vissza, akkor ez egy visszatevés nélküli mintavétel.

A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.

Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.

Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.