Algebra, nevezetes azonosságok, hatványozás, gyökvonás

A zárójelben lévő műveleteket mindig előbb kell elvégezni, és a szorzást előbb kell elvégezni, mint az összeadást.

A kivonás úgy viselkedik, mint az összeadás, az osztás pedig úgy, ahogyan a szorzás.

Az algebra az a része a matematikának, ami betűs kifejezésekkel foglalkozik. Az algebrai kifejezések olyan matematikai kifejezések, amik betűket is tartalmaznak.

A kiemelés során egy többtagú kifejezést egy vagy többtagú kifejezések szorzatává alakítjuk át úgy, hogy minden tagból kiemeljük a közös részeket.

Algebrai törteknek nevezzük azokat a törteket, melyek nevezőjében betűs kifejezés van.

Tehát ha csak a tört számlálójában van betűs kifejezés (pl. $x$), de a nevezőjében nem, akkor az még nem algebrai tört.

A törtek egyszerűsítése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem nulla számmal osztjuk. Ha nincs olyan szám, amivel mind a számláló és a nevező is osztható lenne, akkor már nem egyszerűsíthető tovább a tört.

\( (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 \)

\( (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2 \)

\( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)

\( a^3 + b^3 = (a+b) \left( a^2 -ab +b^2 \right) \)

\( a^3 - b^3 = (a-b) \left( a^2 +ab +b^2 \right) \)

\( (a+b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 + b^3  \)

\( (a-b)^3 = a^3 -3a^2b +3ab^2 -b^3 \)

\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)

Binomiális tétel:

\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \dots + \binom{n}{n} b^n \)

Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.

A következőket érdemes megjegyezni:

\( \sqrt[ \text{páros}]{ \text{ez itt} \geq 0} \quad \sqrt[ \text{páratlan} ]{ \text{ez itt bármi}} \quad \log{ \left( \text{ez itt} > 0 \right)} \quad \text{ tört nevező} \neq 0  \)

pl.

$ \frac{2}{x-3}$ értelmezési tartománya $x \in R \setminus \{ 3 \}$, mert tört van benne és a tört nevezője nem lehet nulla ($x \neq 3$)

$\sqrt{2x+5}$ értelmezési tartománya $x \in \left[ - \frac{5}{2}, \infty \right[ $, mert páros gyök alatt van (második) és így a gyök alatti kifejezés $\geq 0$

\( \sqrt{ a \cdot b } = \sqrt{a} \cdot \sqrt{ b } \qquad a \geq 0, \; b \geq 0 \)

\( \sqrt{ \frac{a}{b} }= \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } \qquad a \geq 0, \; b > 0 \)

Egy $a$ szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe $a$.

\( a \in R \qquad \left( \sqrt[3]{a} \right)^3 = a \)

\( \sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \qquad a \in R, \; b \in R \)

\( \sqrt[3]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt[3]{b} } \qquad a \in R, \; b \in R \)

A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

Egy $a$ nem negatív szám $n=2k$-adik gyöke az a nem negatív szám, amire:

\( \left( \sqrt[2k]{a} \right)^{2k} = a \)

Egy tetszőleges $a$ szám $n=2k+1$-edik gyöke az a szám, amire:

\( \left( \sqrt[2k+1]{a} \right)^{2k+1} = a \)

Egy $a$ nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete $a$.

\( a \geq 0 \qquad \sqrt{a}\geq 0 \qquad \sqrt{a}^2 = a \)