- Halmazok
- Kombinatorika
- Gráfok
- Egyenes arányosság, fordított arányosság, arányos osztás
- Százalékszámítás
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok
- Elsőfokú egyenletek
- Egyenletrendszerek
- Szöveges feladatok
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkgeometria
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Rakjuk sorba, soroljuk fel az eseteket
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- Vektorok
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Egyenlőtlenségek
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
Függvények ábrázolása
Függvény fogalma
Adott az $A$ és $B$ nem üres halmaz.
Ha az $A$ halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a $B$ halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Függvény értelmezési tartománya
Adott az $f: A \mapsto B$ függvény. A függvény értelmezési tartománya azoknak az elemeknek a halmaza az $A$ halmazban, amikhez a függvény hozzárendel $B$ halmazbeli elemeket.
Az értelmezési tartományt az angol domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány, így jelöljük: $D_f$.
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés
Az $f: \; x\mapsto y$ függvény kölcsönösen egyértelmű, ha $x_1 \neq x_2$ akkor $y_1 \neq y_2$. Vagyis különböző $x$-ekhez mindig különböző $y$-okat rendel.
Zérushely
Azokat a pontokat, ahol a függvény grafikonja az $x$ tengelyt metszi, zérushelynek nevezzük.
Függvény monotonitása
Az $f(x)$ függvényt egy $]a,b[$ intervallumon monoton növekedőnek mondunk, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) \leq f(x_2) $
Szigorúan monoton növekedő, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) < f(x_2) $
Az $f(x)$ függvényt egy $]a,b[$ intervallumon monoton csökkenőnek mondunk, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) \geq f(x_2) $
Szigorúan monoton csökkenő, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) > f(x_2) $
Függvény szélsőértéke
Függvény szélsőértékén a maximumát illetve minimumát értjük.
Precízebben:
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában (globális) maximuma van, ha minden $x\in D_f$ esetén $f(x) \leq f(x_0)$.
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában (globális) minimuma van, ha minden $x\in D_f$ esetén $f(x) \geq f(x_0)$.
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában lokális maximuma van, ha létezik olyan nem nulla környezete, hogy ott ő a maximum.
Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában lokális minimuma van, ha létezik olyan nem nulla környezete, hogy ott ő a minimum.
Függvény konvexitása
Konkávnak nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "szomorú hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes felett halad.
Konvexnek nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "vidám hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes alatt halad.
Függvénytranszformációk
Belső függvénytranszformáció: $f(x+a)$, ez úgy működik, hogy az $x$ tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.
Külső függvénytranszformáció: $f(x)+a$, ez pedig az $y$ tengelyen tolja el a függvényt.
Függvény szorzása számmal: $a\cdot f(x)$, ilyenkor megnyújtjuk a függvényt az $y$ tengely szerint.
Függvény változójának szorzása egy számmal: $f(a \cdot x)$, ilyenkor az $x$ tengely szerint nyújtjuk a függvényt.
Függvények paritása
Minden olyan függvényt, ami az $y$ tengelyre szimmetrikus, páros függvénynek hívunk. Ezek a függvények azt tudják, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:
\( f(-x) = f(x) \)
Azokat a függvényeket, amelyek az origóra szimmetrikusak, páratlan függvénynek nevezzük. A páratlan függvények úgy működnek, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:
\( f(-x) = - f(x) \)
Polinomfüggvény
Ha az $x$ különböző pozitív egész kitevős hatványait összeadjuk vagy kivonjuk, akkor polinomokat kapunk.
A polinomfüggvény általános alakja:
\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0 \)
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
Adott a következő függvény.
\( f(x)=x^2-4 \quad D_f : -2 \leq x \leq 4 \)
a) Milyen számot rendel hozzá ez a függvény a 3-hoz?
b) Melyik az a szám, amihez a függvény a 12-t rendeli hozzá?
c) Mik a függvény zérushelyei?
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=(x-3)^2 \)
b) \( f(x)=(-x-2)^2 \)
c) \( f(x)=(x-4)^2-3 \)
d) \( f(x)=\sqrt{x-3}+2 \)
e) \( f(x)=-\sqrt{x} \)
f) \( f(x)=\sqrt{-x} \)
Ábrázoljuk a következő függvényeket.
a) \( f(x)=(x-3)^2 \)
b) \( f(x)=x^2-3 \)
c) \( f(x)=(x-4)^2-8 \)
d) \( f(x)=(x+2)^2-4 \)
e) \( f(x)=2\cdot x^2 \)
f) \( f(x)=3\cdot(x-4)^2-5 \)
g) \( f(x)=(-x+3)^2-8 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=x^2-6x+7 \)
b) \( f(x)=x^2+5x+6 \)
c) \( f(x)=3x^2-12x+9 \)
d) \( f(x)=-2x^2+2x-12 \)
Ábrázoljuk a következő függvényeket.
\( f(x)=x^2 \)
\( f(x)=x^3 \)
\( f(x)=x^4 \)
\( f(x)=x^5 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\sqrt{x-5} \)
b) \( f(x)=\sqrt{6-2x} \)
c) \( f(x)=-\sqrt{3x+6} \)
d) \( f(x)=\sqrt{2x-4}+3 \)
e) \( f(x)=\sqrt{4x-12}+1 \)
f) \( f(x)=\sqrt{4-2x}-3 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x-5| \)
b) \( f(x)=|7-x| \)
c) \( f(x)=|6-2x| \)
d) \( f(x)=|x+5|-3 \)
e) \( f(x)=|3x-12|+1 \)
f) \( f(x)=2-|4-2x| \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x^2-4| \)
b) \( f(x)=|x^2-5x| \)
c) \( f(x)=||x|-3| \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\frac{1}{x-3} \)
b) \( f(x)=\frac{x+3}{x-2} \)
c) \( f(x)=\frac{2x+5}{x+3} \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=3^{x-5} \)
b) \( f(x)=3^{x-2}+3 \)
c) \( f(x)=-2^{x-3}+4 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=e^{x-5} \)
b) \( f(x)=e^{x-2}+3 \)
c) \( f(x)=-e^{x-3}+4 \)
d) \( f(x)=e^{3-x}+3 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\ln{(x-5)} \)
b) \( f(x)=\ln{(x-2)}+3 \)
c) \( f(x)=-\ln{(x-3)}+4 \)
d) \( f(x)=\ln{(2-x)}+3 \)
13. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\sqrt{x+4} \)
b) \( f(x)=\sqrt{5-x} \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x|-3 \)
b) \( f(x)=|x-3| \)
c) \( f(x)=|x-3|-5 \)
d) \( f(x)=-|x+1|+2 \)
Van itt ez a két halmaz…
Hogyha az egyik halmaz elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit…
Akkor kiderül, hogy milyen idő lesz a héten.
Az is megeshet, hogy több nap is ugyanolyan lesz az idő…
Ezzel nincsen semmi baj.
De ha szombathoz például két különböző elemet is rendelünk…
Na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
Hát igen, ez így nem túl egyértelmű…
Egy hozzárendelést egyértelműnek nevezünk, ha minden elemhez pontosan egy másik elemet rendel hozzá.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
egyedül az a fontos, hogy csak egyet.
Ez a hozzárendelés most egyértelmű.
Az egyértelmű hozzárendeléseket úgy hívjuk, hogy függvény.
Az ilyen egyértelmű hozzárendeléseknek az a neve, hogy függvény.
Adott az és nem üres halmaz.
Ha az A halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a B halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Simán előfordulhat, hogy az A halmaznak csak néhány eleméhez rendeljük hozzá…
a B halmaznak néhány elemét.
És az sem okoz problémát, ha több elemhez is ugyanazt rendeljük.
Egyedül az lenne baj, ha egy elemhez rendelnénk hozzá több elemet.
ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
ÉRTÉKKÉSZLET
Az értelmezési tartomány azoknak az elemeknek a halmaza az A halmazban… amikhez a függvény hozzárendel B halmazbeli elemeket.
Az értékkészlet pedig azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban…
amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.
Az értelmezési tartományt a domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány így jelöljük:
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Az értékkészlet jele pedig a range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés:
Ennek is van egy akadálymentesített jelölése, ami így szól, hogy É.K.
Egy hozzárendelést kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, hogyha nem csak az egyik irányba egyértelmű…
hanem a másik irányba is.
Esetünkben ez most nem mondható el.
Az eső ugyanis pénteken és szombaton is esik.
Így aztán a visszafelé irányban az esőhöz a pénteket és a szombatot is hozzárendeljük.
Talán, ha pénteken sütne egy kicsit a nap…
az minden problémát megoldana.
Ez most egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Az függvény kölcsönösen egyértelmű, ha akkor .
Vagyis különböző x-ekhez mindig különböző y-okat rendel.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Itt van az x tengely, tele számokkal.
És ezek közül a számok közül bizonyos számokhoz hozzárendelünk egy másik számot.
Mondjuk hozzárendeljük a négyzetüket.
Ezt a függvényt így jelöljük, hogy
Legtöbbször ezt a harmadik jelölést fogjuk használni.
És most nézzük meg, mit rendel hozzá a függvény a 4-hez.
Itt is bármelyik jelölést használhatjuk …
Ezt úgy mondjuk, hogy a függvény a 4-ben 16-ot vesz föl.
Az x tengelyen vannak a helyek…
az y tengelyen pedig az értékek.
HOL?
MENNYI?
Azokat a szerencsés x-eket amikhez a függvény hozzárendel valamit, értelmezési tartománynak nevezzük és -el jelöljük.
Az x2-nél ez az egész x tengely.
Az y tengelynek azt a részét, amit az x-ekhez hozzárendeltünk értékkészletnek nevezzük.
Egy függvény értelmezési tartományát az alapján is megadhatjuk, hogy milyen kedvünk van éppen.
Hogyha például rossz kedvünk van, mondhatjuk azt, hogy vegyük az x2-et csak a negatív x-ekre.
Vagy éppen ezekre az x-ekre:
És ilyenkor az értékkészlet…
Itt van aztán ennek a másik függvénynek a grafikonja.
A függvény képletét most épp nem tudjuk…
De ez nem is baj, a rajz alapján rengeteg dolgot meg tudunk róla mondani.
Azokat a pontokat, ahol a függvény grafikonja az x tengelyt metszi, zérushelynek nevezzük.
Ezek most a zérushelyek.
Nézzük, mi van az értelmezési tartománnyal.
A függvény -5 és 8 között van értelmezve.
Hogyha itt üres karika van…
Az azt jelenti, hogy a -5 már nincs benne az értelmezési tartományban.
A 8-nál viszont teli karika van, az tehát benne van.
Az értékkészlet pedig…
Végül itt jön még egy függvény.
Milyen számot rendel hozzá ez a függvény a 3-oz?
Melyik az a szám, amihez a függvény a 12-t rendeli hozzá?
Mik a függvény zérushelyei?
Mindig csak ez a rengeteg kérdés…
Ha szeretnénk tudni, hogy mit rendel a függvény a 3-hoz…
egyszerűen csak be kell helyettesíteni x helyére 3-at.
És kész is.
Most nézzük, melyik az a szám, amihez a függvény a 12-t rendeli.
Ilyenkor az x-et keressük, és ez az egész, ami egyenlő 12-vel.
És meg kell oldanunk ezt az egyenletet.
Két olyan szám van, aminek a négyzete éppen 16.
De most csak az egyik lesz jó.
Csak a 4 van benne ugyanis az értelmezési tartományban.
Egy függvény zérushelyét mindig úgy kapjuk meg, hogy egyenlővé tesszük nullával.
Két olyan szám van, aminek a négyzete 4.
Ezek a zérushelyek.
Az x2 függvény grafikonja egy parabola.
A parabola csúcsa az origóban van.
Nézzük, mi történik akkor…
ha itt a zárójelen belül levonunk 3-at.
Ennek hatására a parabola eltolódik 3-mal...
A parabola csúcsa mindig oda tolódik,
ahol ez nulla.
Ez pedig akkor nulla, ha x=3.
Ebből tehát látjuk, hogy 3-mal tolódik el…
és azt is látjuk, hogy az x tengelyen.
Olyankor, amikor a 3-at így vonjuk le…
egészen más dolog történik.
Ilyenkor az y tengelyen tolódik 3-mal lefelé.
Az izgalmak növelése érdekében most nézzük, mi van akkor, ha ezt a két dolgot egyszerre csináljuk…
Kezdjük ezzel a résszel itt…
Aztán itt van még ez is.
Ezt úgy hívjuk, hogy belső függvény-transzformáció.
És úgy működik, hogy az x tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.
A külső függvény-transzformáció a zárójelen kívül van itt.
Ez pedig az y tengelyen tolja el a függvényt.
Hogyha itt van például ez a függvény:
A belső transzformáció miatt az x tengely mentén eltolódik…
Egészen pontosan ide.
Az y tengely mentén pedig ide.
Most nézzük, mi a helyzet ezzel:
Ez pontosan ugyanúgy néz ki, mint az x2, csak éppen a kétszeresére nyújtva.
Az is megeshet, hogy a háromszorosára nyújtjuk…
Vagy éppen a mínusz kétszeresére.
És az is előfordulhat, hogy egyetlen függvényben minden eddigi rémség egyszerre van benne.
Végül itt jön még ez is:
De szenvedéseink tovább folytatódnak…
Néhány izgalmas kísérletet fogunk elvégezni a függvény segítségével.
Ha a elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt
mindkét tengelyre is.
Lássuk, hogyan néz ki például ez…
A gyökjel előtt nincsen mínuszjel…
Itt belül az x előtt viszont igen.
Na persze még el is van tolva…
Megnézzük, hogy ez itt belül mikor nulla…
Úgy néz ki, hogy 4-gyel tolódik el az x tengelyen.
2-vel pedig fölfelé.
És talán még egy utolsó nem árthat meg:
A parabolát is pontosan ugyanígy tudjuk tükrözni a tengelyekre.
Hogyha az x2 elé írjuk a mínusz jelet, akkor a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig a zárójelen belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
Csak sajnos ez nem igazán látszik…
mert a parabola az y tengelyre szimmetrikus.
Ezért is végeztük az iménti kísérleteinket a függvényen.
De azért így a végén még nézzük meg ezt:
Hát így kezdetnek ennyit a függvény-transzformációkról.
Ha az x különböző hatványait összeadjuk, akkor polinomokat kapunk.
Ez itt például az x5.
És, ha kivonjuk belőle azt, hogy x3…
akkor egy ilyen kanyargós polinomfüggvényt kapunk.
Íme, itt a polinomfüggvények általános alakja.
A polinomfüggvények viselkedése
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
És a legmagasabb fokú tag határozza meg a polinomfüggvény viselkedését.
Ha a legmagasabb fokú tag kitevője páros és a főegyüttható pozitív, akkor így néz ki a polinomfüggvény.
Vagy így.
Ha a főegyüttható negatív, akkor ilyen.
A páratlan fokú polinomfüggvények egészen máshogy néznek ki.
Ha a főegyüttható pozitív, akkor innen lentről mennek fölfelé…
Ha negatív, akkor pedig fentről mennek lefelé.
Egy páros fokú polinomfüggvény megteheti, hogy sohasem metszi az x tengelyt.
De egy páratlan fokúnak legalább egyszer biztosan metszenie kell.
Ezért van az, hogy egy páratlan fokú polinomfüggvénynek mindig van zérushelye.
Most pedig néhány művészi rajzot fogunk készíteni.
Kezdjük egy olyan harmadfokú polinomfüggvénnyel, aminek pontosan két zérushelye van.
Egy harmadfokú polinomfüggvénynek legalább egy zérushelye biztosan van.
És maximum három tud lenni.
De egy kis trükk segítségével azért megoldható a kettő is.
Művészi pályafutásunk következő darabja egy olyan negyedfokú polinomfüggvény, aminek három zérushelye van.
Egy negyedfokú polinomfüggvénynek lehet nulla zérushelye…
aztán lehet egy is.
És kettő is.
Sőt lehet négy is.
De négynél több már nem.
Egy n-edfokú polinomfüggvénynek mindig legfeljebb n darab zérushelye tud lenni.
Ha a fokszám páratlan, akkor 1-től n-ig bármennyi lehet.
Ha a fokszám páros, akkor pedig 0-tól n-ig bármennyi.
Most éppen azt szeretnénk, hogy három zérushely legyen.
És íme, itt is van.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon ez a típus.
Egy páratlan fokú polinomfüggvény.
A mi kis függvényünk viszont negyedfokú.
A másik kettő már jobbnak tűnik.
Az ilyen extra kanyarokhoz viszont…
itt még lennie kéne valaminek.
Vagy x3-nek,
vagy x2-nek,
vagy mindkettőnek.
De egyik sincs.
Így hát a nyertes a középső.
Nézzünk meg még egyet.
Döntsük el, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon egy páros fokú polinomfüggvényé.
Úgyhogy pápá első grafikon.
A másik kettő páratlan fokú.
Ha lenne itt még egy x…
akkor lehetne itt egy extra kanyar.
De nincs.
