- Halmazok, egyenletek, azonosságok
- Trigonometria, komplex számok, polinomok
- Vektorok, mátrixok, determináns
- Függvények, függvények ábrázolása
- Összetett függvény, inverz függvény
- Sorozatok határértéke, sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság, az érintő egyenlete
- L'Hospital szabály
- Teljes függvényvizsgálat
- Határozatlan integrálás
- Határozott integrálás és alkalmazásai
- Racionális törtfüggvények integrálása
Sorozatok határértéke, sorok
Nevezetes sorozatok határértékei 1
\( \frac{1}{n} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^2} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^3} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^k} \rightarrow 0 \)
Nevezetes sorozatok határértékei 2
\( n \rightarrow \infty \quad n^2 \rightarrow \infty \quad n^3 \rightarrow \infty \quad n^k \rightarrow \infty \)
Nevezetes sorozatok határértékei 3
\( \sqrt{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[3]{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[4]{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[k]{n} \rightarrow \infty \)
Nevezetes sorozatok határértékei 4
\( q^n \rightarrow \begin{cases} \infty \; \text{ha} \; q > 1 \\ 0 \; \text{ha} \; -1<q<1 \\ 1 \; \text{ha} \; q=1 \\ \text{div} \; \text{ha} \; q\leq -1 \end{cases} \)
Sorozat határértéke
Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $ \mid a_n - A \mid < \epsilon$ minden $n>n_0$-ra.
Konvergens sorozat definíciója
Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy
$ \mid a_n - A \mid < \epsilon $ minden $n > n_0$-ra
Divergens sorozat
Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke plusz végtelen, ha bármely $M>0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M<a_n$ minden $n>n_0$-ra.
Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke minusz végtelen, ha bármely $M<0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M>a_n$ minden $n>n_0$-ra.
Az $a_n$ sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagysi sem egy valós számhoz, sem plusz vagy minusz végtelenbe nem tart.
Sorozatok monotonitása
Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton nő, ha $0<a_{n+1}-a_n$.
Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton csökken, ha $0>a_{n+1}-a_n$.
Az $a_n$ sorozat monoton nő, ha $0\leq a_{n+1}-a_n$.
Az $a_n$ sorozat monoton csökken, ha $0 \geq a_{n+1}-a_n$.
e-hez tartó sorozatok határértéke
\( \left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^n \rightarrow e^{\alpha} \)
\( \left( 1 + \frac{\alpha}{\text{IZÉ}} \right)^\text{IZÉ} \rightarrow e^{\alpha} \)
Ha IZÉ $ \rightarrow \infty$
Konvergens, divergens, oszcilláló sorozatok
Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.
Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.
Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart, és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova. A sehova nem tartó sorozatok mindig oszcillálló sorozatok.
Rendőr-elv
Ha $a_n \rightarrow A$ és $c_n \rightarrow A$ és van olyan $n_0$, hogy minden $n > n_0$ esetén $a_n \leq b_n \leq c_n$ akkor $b_n \rightarrow A$.
Nevezetes sorozatok határértékei 5
\( \sqrt[n]{a} \rightarrow 1 \quad \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \quad \sqrt[n]{n^k} \rightarrow 1 \)
Nagyságrend a végtelenbe tartó sorozatoknál
A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe. A nagysagrendi rangsor:
\( \log_n << \sqrt[k]{n} << n^k << q^n << n! << n^n \)
Mértani sor
Azokat a sorokat nevezzük mértani sornak, amelyek így néznek ki, mint ez:
\( \sum_{n=0}^{\infty}{a_1 q^n} \)
Ha $ \mid q \mid <1$ akkor a mértani sor konvergens és összege
\( \sum_{n=0}^{\infty}{a_1 q^n} = \frac{a_1}{1-q} \)
Ha $ \mid q \mid \geq 1 $ akkor a sor divergens.
Sor konvergenciája
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha részletösszegsorozata konvergens és ekkor a sor összege:
\( \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} = \lim{S_n} \)
Konvergencia kritériumok | Szükséges feltétel
Ha $\lim{a_n} \neq 0$ akkor $ \sum{a_n}$ divergens.
Konvergencia kritériumok | Leibniz-sorok
A $\sum{ (-1)^n} \cdot a_n$ sor konvergens, ha $a_n \rightarrow 0$ monoton csökkenő sorozat.
Konvergencia kritériumok | Gyök kritérium
A $\sum{a_n}$ sor konvergenciája a gyök kritérium alapján így dönthető el:
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} < 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ abszolút konvergens.
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} > 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ divergens.
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} = 1 $ akkor nem tudunk semmit.
Konvergencia kritériumok | Hányados kritérium
A $\sum{a_n}$ sor konvergenciája a hányados kritérium alapján így dönthető el:
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } < 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ abszolút konvergens.
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } > 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ divergens.
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } = 1 $ akkor nem tudunk semmit.
Leibniz sor
Ha $a_n \rightarrow 0$ pozitív tagú monoton csökkenő sorozat, akkor a
\( \sum (-1)^n a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \dots \)
végtelen sort Leibniz sornak nevezzük.
Konvergencia kritériumok | Az összehasonlító kritérium
Ha $\sum{a_n}$ és $\sum{b_n}$ nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól $a_n \leq b_n$ akkor
$\sum{b_n}$ konvergens $\Rightarrow \; \sum{a_n}$ is konvergens
$\sum{a_n}$ divergens $\Rightarrow \; \sum{b_n}$ is divergens
Nevezetes sor határérték
\( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{\alpha}}} = \begin{cases} \text{konvergens, ha} \; \alpha >1 \\ \text{divergens, ha} \; \alpha \leq 1 \end{cases} \)
teleszkopikus sorok
A teleszkopikus sorok olyan végtelennek tűnő összegek, amik megfelelő átalakítások után már csak véges sok tagból állnak.
Például:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (n+1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =1 - \frac{1}{n+1} \)
konvergenciasugár
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
konvergenciatartomány
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Hova tart az $a_n=q^n$ sorozat
ha $q>1$?
ha $\mid q \mid < 1$ ?
ha $q=1$?
ha $q=-1$?
a) \( \lim{\frac{4n^3-3n}{n^2+5n+2}} = ? \)
b) \( \lim{\frac{n^3+4n^2+5}{n^4+5n^2+7}} = ? \)
c) \( \lim{\frac{n^3-6n^2+1}{n^2+5n+6}} = ? \)
d) \( \lim{\left( \frac{n^2+5n+3}{2n^2+7n} \right)^3} = ? \)
e) \( \lim{\frac{5^{n+2}+2^{n-3}+3^{2n+1}}{4^{\frac{n}{2}} +5\cdot 3^{2n+1}+ 10}} = ? \)
f) \( \lim{\frac{ \sqrt{n^2+1} + 2n }{ \sqrt[3]{n^2+6}-\sqrt[5]{n^3}+4n }} = ? \)
Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-2} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha
a) \( a_n = \frac{3n^2+5}{2n^2+4} \)
b) \( a_n = \frac{ 2 \cdot 5^n + 4 }{ 4\cdot 5^n +1} \)
Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-3} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha
\( a_n =(-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} \)
a) Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-2} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha
\( a_n =\frac{6-n}{8n^2-600} \)
b) Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-3} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha
\( a_n =\frac{5\cdot 4^n - 12}{3 \cdot 4^n - 64} \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x-5| \)
b) \( f(x)=|7-x| \)
c) \( f(x)=|6-2x| \)
d) \( f(x)=|x+5|-3 \)
e) \( f(x)=|3x-12|+1 \)
f) \( f(x)=2-|4-2x| \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását.
a) \( a_n = \frac{6n+7}{2n+1} \)
b) \( a_n = \frac{2n+1}{5n+7} \)
c) \( a_n = \frac{4n^2+7}{3n^2+1} \)
d) \( a_n = \frac{2n^2-3n+6}{n^2+4} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = \frac{6n+1}{2n+7} \)
b) \( a_n = (-1)^n \frac{2n^2+5}{n^2+1} \)
c) \( a_n = (-1)^n \frac{5^{n+1}+3}{5^n+7} \)
a) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) } = ? \)
b) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^2 } = ? \)
c) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^4 } = ? \)
d) \( \lim{ \left( 1+\frac{3}{n} \right)^n } = ? \)
e) \( \lim{ \left( 1+\frac{4}{n^3} \right)^{n^3} } = ? \)
f) \( \lim{ \left( 1+\frac{3}{2n} \right)^n } = ? \)
a) \( \lim{ \left( \frac{n+4}{n-5} \right)^n } = ? \)
b) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{2n-5} \right)^n } = ? \)
c) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{3n+4} \right)^n } = ? \)
d) \( \lim{ \left( \frac{n^2+3n}{n^2+4n} \right)^{4n-7} } = ? \)
e) \( \lim{ \left( \frac{3n^2+2n^3}{5n^2+2n^3} \right)^{6n+4} } = ? \)
a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} } = ? \)
b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n+1}{n^2+n} } = ? \)
c) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n+1} } = ? \)
d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+9}{n^3+1} } = ? \)
e) \( \lim{ \frac{(-5)^n+4}{5^n+6} } = ? \)
f) \( \lim{ \left( \frac{2n-n^2}{3n+n^2} \right)^n } = ? \)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} +2n }{ \sqrt[3]{n^2+6} - \sqrt[5]{n^3} +4n } } = ? \)
b) \( \lim{ \frac{ \sqrt[3]{n^4+1} - \sqrt{ 9n^4-5n^2} +1 }{ \sqrt[4]{n^6+5n^4} + \sqrt[5]{n^8} + \sqrt{4n^4-9n} } } = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt{n^4-4n^2+5} + \sqrt{n^4+6n} } = ? \)
d) \( \lim{ \sqrt{n^4-5n^2+4}+n^2 } = ? \)
e) \( \lim{ \sqrt{n^4-n}-\sqrt{n^2+1} } = ? \)
a) \( \lim{ \sqrt[n]{5^n+4^n+3^n} } = ? \)
b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{4^n+3^n}{n^3+n^5+1} }} = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt[n]{6^n-5^n} } = ? \)
a) \( \lim{ \sqrt[n]{6^n-5^n-4^n} } = ? \)
b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{5^n-4^n-3^n-2^n}{n^4+n^3-n} }} = ? \)
a) \( \lim{ \left( 1+\frac{5}{n+\sqrt[n]{n}} \right)^n } = ? \)
b) \( \lim{ \left( 1+\frac{3n}{n^2+1} \right)^n } = ? \)
c) \( \lim{ \left( \frac{n^2+4n+5}{n^2+5} \right)^n } = ? \)
Konvergensek vagy divergensek-e az alábbi sorok?
a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \)
b) \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \)
c) \( \sum_{n=0}^{\infty} 2^n \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} 5 \left( \frac{3}{4} \right)^n \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{-2} \right)^n $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(-2)^n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} 4 \frac{3^n}{(-2)^{2n}} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} 6\cdot \frac{5}{4^{n+1}} \cdot 3^{n-1} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n+4^n+5^n}{6^n} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n+1} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^n} $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+3}{n+2} \right)^n $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n!} $$
e) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(2n+1)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+3}{n^5+5n} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln{n}}{\sqrt{n}} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3 + \sqrt{n}}{ n^4-n^3+\sqrt[3]{n}} $$
Mi lesz az összege az alábbi végtelen soroknak?
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ n (n+1) } $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ 4n^2-1 } $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ 4n^2+16n+15 } $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n} (x-2)^n $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{ n^2 3^n } $$
c) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ 2^n n! } $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5^n (x+1)^{2n}}{ n^2 } $$
a) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^3+7}-n^2+n}{n^2+6n-\sqrt[3]{n^4}} } = ?\)
b) \( \lim{ \frac{\sqrt[3]{n^4-8n}+n^2+3n}{\sqrt{9n^4+1}-\sqrt{n^5+n^4}+n-n^2} } = ?\)
c) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^4+7}-3n^2+n}{n^2+4n-\sqrt[5]{n^4}} } = ?\)
a) \( \lim{ \frac{2^n-4\cdot 3^{n+2}}{5\cdot 3^{n-1} +2^{n+5} } } = ?\)
b) \( \lim{ \frac{5^n-4\cdot 6^{n+2}}{ 3^{2n+1}+5^{n+2} } } = ?\)
c) \( \lim{ \frac{ \left( (-1)^n +4 \right)^n -2 \cdot 3^{n+2}}{ 4 \cdot 3^{n+1} + 2^{-n}} } = ?\)
a) \( \lim{ \frac{3n^2+5n-6}{n^3-5} }= ? \)
b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+4n-6}{n^3-5} }= ? \)
c) \( \lim{ (-1)^n \frac{5n^2+n-1}{n^2+n} } = ?\)
d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+1}{n^2+6n} } = ?\)
e) \( \lim{ \frac{(-1)^n \cdot n^2+n}{n^2+1} }= ? \)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} } } = ? \)
b) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} + \sqrt{3n+1} } } = ? \)
c) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+2n}}{ \sqrt{3n+2} - \sqrt{3n+1} } } = ? \)
a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+4n-6}{n^3-5} } = ? \)
b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+1}{n^2+6n} } = ? \)
c) \( \lim{ \frac{(-1)^n n^2 +3n + (-1)^{n+2}}{(-1)^{n+1}n^3 + n^2 + (-1)^n n} } = ? \)
a) \( \lim{ \sqrt{n-5} - \sqrt{2n+4} } = ? \)
b) \( \lim{ \sqrt{n^2+7} - \sqrt{n^2+3n} } = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt{2n^2-5} - \sqrt{2n^2+3n-4} } = ? \)
d) \( \lim{ \frac{1}{ \sqrt{3n^2+n} - \sqrt{3n^2-n+6} } }= ? \)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2-8} - \sqrt{n^2+3n-4} }{ \sqrt{3n^2+n} - \sqrt{3n^2-n+6} } } = ? \)
b) \( \lim{ n^2 \left( \sqrt{n^2+4}-\sqrt{n^2+5n} \right) } = ? \)
c) \( \lim{ n \left( \sqrt{n^2-9} - \sqrt{n^2+n-4} \right) } = ? \)
a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^3+7} -n^2 +n }{n^2+6n-\sqrt[3]{n^4} } } = ? \)
b) \( \lim{ \frac{ \sqrt[3]{n^4-8n} + n^2+3n }{ \sqrt{9n^4+1}-\sqrt[3]{n^5+n^4}+n-n^2 } }= ? \)
c) \( \lim{ \sqrt{ \frac{ 4^{n+1}-5 }{ 2^{2n+1}+1 } } } = ? \)
d) \( \lim{ \sqrt[3]{ \frac{ 24n^5-12n^3+3n }{ 7n-n^2-3n^5 } } } = ? \)
a) \( \lim{ \left( \frac{ 2n^2+9n^3-6 }{ 3n^3+5n } \right)^2 } = ? \)
b) \( \lim{ \left( \frac{ 2n^2-4n-6 }{ 2n^2-7 } \right)^{12} } = ? \)
c) \( \lim{ \sqrt{ \frac{ 20n^3-4n }{ 5n^3+10n^2 }}} = ? \)
a) \( \lim{ \left( \frac{2n-7}{2n+5} \right)^n } = ?\)
b) \( \lim{ \left( \frac{3n-5}{3n+4} \right)^{3n} } = ?\)
c) \( \lim{ \left( \frac{ \sqrt{n}-2 }{ \sqrt{n}+2 } \right)^\sqrt{n} } = ? \)
d) \( \lim{ \left(\frac{ 2n^3+7}{2n^3-5}\right)^{\frac{n^3}{4}} } = ?\)
e) \( \lim{ \left(\frac{ 6n+n^2}{2n+n^2}\right)^{\frac{n+3}{2}} } = ?\)
a) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{2n} } = ?\)
b) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{3n+1} \right)^{n} } = ?\)
c) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{7+2n}{1-2n} \right)^{n-5} } = ?\)
d) \( \lim{ \left(\frac{ 5-2n}{1-2n}\right)^{n+3} } = ?\)
e) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{4n+5}{4n} \right)^{-3n+4} } = ?\)
f) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{2n-3} \right)^{\frac{4n-5}{3}} } = ?\)
a) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{ 6^n - 4^n - 3^n}{5^n -4^n -3^n} } }= ?\)
b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{ n^n +n! +3^n}{5^n +4^n} } }= ?\)
c) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{ n^n - n! - 5^n}{7^n -6^n -5^n} }} = ?\)
d) \( \lim{ \sqrt[n]{ \left( \frac{ 13+5}{5n+2} \right)^n + n \cdot 5^n }} = ?\)
e) \( \lim{ \sqrt[n]{ \left( \frac{ 12n+4}{3n+1} \right)^n + n \cdot 2^n }} = ?\)
f) \( \lim{ \sqrt[n]{ \left( \frac{ 12n+5}{3n-2} \right)^n - n \cdot 3^n }} = ?\)
a) \( \lim{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} } = ?\)
b) \( \lim{ \left( 1 + \frac{n}{n^2+1} \right)^{n} } = ?\)
c) \( \lim{ \left( \frac{n^2+5n+4}{n^2+4} \right)^{n} } = ?\)
d) \( \lim{ \left( \frac{n^2+5n+4}{n^2+4} \right)^{n^2} } = ?\)
e) \( \lim{ \left( \frac{(n+2)!}{n! \cdot n^2} \right)^{n} } = ?\)
a) \( \lim{ \left( \frac{n+7}{n-5} \right)^n } = ?\)
b) \( \lim{ \left( \frac{2n-7}{2n+5} \right)^n } = ?\)
c) \( \lim{ \left( \frac{3n-5}{3n+4} \right)^{3n} } = ?\)
d) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{2n-1} \right)^{3n-7} } = ?\)
e) \( \lim{ \left( \frac{2n + (-1)^n}{2n+1} \right)^{2n} } = ?\)
f) \( \lim{ (-1)^n \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{2n} } = ?\)
a) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^3+7}-n^2+n}{n^2+6n-\sqrt[3]{n^4}} } = ?\)
b) \( \lim{ \frac{\sqrt[3]{n^4-8n}+n^2+3n}{\sqrt{9n^4+1}-\sqrt{n^5+n^4}+n-n^2} } = ?\)
c) \( \lim{ \frac{\sqrt{n^4+7}-3n^2+n}{n^2+4n-\sqrt[5]{n^4}} } = ?\)
Adjuk meg az alábbi határérték értékét.
\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-2} \right)} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim \sqrt[n]{2^n+3^n+1} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2+n} \right)} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \frac{2n^2+1}{2n^2-3} \right)^{5n^2} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{n \to \infty}{ \left( \frac{2n+2}{2n+3} \right)^{n\sqrt{n}+5n} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{n \to \infty}{ \frac{3^n+2^n}{2^n-3^n} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{n \to \infty}{ \frac{2^n+3^n}{3^n-2^n} } \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(\sin{1})^{2n}} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(\tan{1})^{2n}} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 2^n \cdot n! }{ 3^{n-1} \cdot n^{n+1} } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan^2{n} }{n^2+1} \)
Adjuk meg a sor összegét.
\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{ 9 \cdot 2^{2n-1}}{5^{n-1}} \)
Állapítsuk meg az alábbi sor összegét.
\( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{4}{n^2-1} \)
Döntsük el, hogy konvergens-e a következő végtelen sor.
\( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n \in \mathbb{N}^{+}} \frac{ \sin^n{\left( 2n^2 \right)}}{n^3} \quad \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( \frac{n+2}{n+3} \right)^n \quad \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{n^2+3+7^n}{2+2^{2n}} \)
Adjuk meg a pontos értékét az alábbi sornak.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{4^n} \)
Amennyiben konvergens, úgy adjuk meg a végtelen sor összegét.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5\cdot 6^{n+1}}{e^{2n}} \)
Ha egy sorozat előbb utóbb tetszőlegesen megközelít valamilyen számot, akkor a sorozatoknak ezt a tulajdonságát konvergenciának nevezzük.
A konvergencia definícióját több száz év alatt találták ki a matematikusok. Nekünk most lesz rá egy percünk.
Az sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha bármilyen pici -hoz tudunk találni olyan indexet, hogy minden ezt követő tag -nál közelebb van az A számhoz.
Ezt nevezzük a sorozat határérték definíciójának.
Mivel azonban a matematika törekszik az egyszerű megfogalmazásokra, nos emiatt még át kell esnie egy kis igazításon.
Íme itt is van.
A leginkább kétségbeejtő rész ebben az új definícióban ez.
De aggodalomra semmi ok. Az, hogy
mindössze ezt jelenti.
Vagyis azt, hogy közelebb van -hoz, mint .
Nézzük meg például, hogy mennyi lesz az -hoz tartozó , ha
Nos, úgy tűnik akkor lesz a sorozat -nál közelebb a határértékéhez, ha
Vagyis a hetedik tagtól és így .
Itt van aztán egy másik nagyszerű sorozat.
Itt az ideje, hogy szeszélyesebben viselkedő sorozatokkal is megismerkedjünk.
És most megszabadulunk az abszolútértékektől.
Fönt kezdjük.
Ha n=1
Lássuk csak, vajon pozitív-e.
Nos, ha n=1, 2, 3, 4, 5 akkor igen. De 6 után negatív.
Minket a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Most pedig nézzük mi van a nevezővel.
Ha n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akkor negatív.
De 9-től már pozitív.
Minket most is a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Beszorzunk és aztán kicsit rendet rakunk…
És íme a küszübindex.
Itt jön egy újabb remek sorozat, és
Lássuk mi a helyzet a nevezővel. Ha n=1, 2, 3, akkor negatív…
De az összes többi n-re pozitív.
Újabb nagyszerű sorozatok felbukkanása várható életünkben. A konvergens sorozatokat már ismerjük:
Itt jönnek aztán a divergens sorozatok.
Ez a sorozat például azért divergens, mert végtelenbe tart.
A sorozat bármilyen számot túlnő, tagjai megállíthatatlanul tartanak a végtelen felé.
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek azért divergensek, mert mínusz végtelenbe tartanak.
És végül vannak olyan divergens sorozatok is, amelyek nem tartanak sehova. Ilyen sehova sem tartó sorozat például ez:
Az sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagyis sem egy valós számhoz, sem plusz vagy mínusz végtelenbe nem tart.
Íme a menü:
Nézzük meg, mit művel például ez a sorozat:
A jelek szerint divergens, és tart plusz végtelenbe.
Ez azt jelenti, hogy bármely M>0-ra van olyan n0, hogy
Ha mondjuk , akkor
és így
Ez azt jelenti, hogy sorozatnak a 14696-odik tag utáni összes tagja 600-nál nagyobb.
Ha ez a bizonyos M nem 600, hanem mondjuk 800…
akkor a sorozat egy későbbi tagtól ugyan, de a 800-on is túlnő.
Itt jön aztán egy vicces sorozat. Próbáljuk meg kiszámolni az -hoz tartozó -t
A sorozat divergens.
Így aztán nem létezik -hoz semmiféle .
A sorozatok monotonitásának vizsgálata valóban elég monoton elfoglaltság lesz.
Szóval ne sok izgalomra számítsunk…
Egy sorozat szigorúan monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb az előtte lévő tagnál.
Szigorúan monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb az előtte lévő tagnál.
Monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.
És monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.
Itt van például egy sorozat, és vizsgáljuk meg a monotonitását.
Nos ez elég rémes lesz.
2.1.
A jelek szerint tehát szigorúan monoton nő.
Ugyanezt kideríthetjük egy trükk segítségével is.
Épp itt is jön:
Itt picit álljunk meg gondolkodni.
Mi történik, ha a 4-et egyre nagyobb számokkal osztjuk?
Nos ez.
Nézzünk meg egy másikat is.
A sorozat szigorúan monoton nő.
Lássuk, hogyan jön ez ki a trükk segítségével is:
Jön megint a gondolkodás.
Mi történik, ha a 9/5-öt egyre nagyobb számokkal osztjuk?
A mínusz jellel együtt viszont már szigorúan monoton nő.
És így az egész sorozat is szigorúan monoton nő.
Itt jön aztán egy érdekesebb eset:
Ha akkor a számláló éppen nulla.
Ha akkor pozitív.
Tehát a sorozat monoton nő.
Lássuk, hogyan működik itt a trükk:
Nos, sehogy.
Az okozza a problémát, hogy egyszerre és is szerepel és sajna ilyenkor a trükk nem működik…
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek nem monotonok.
Sajnos ettől még nem mondható el róluk, hogy izgalmasak volnának.
Itt van például egy ilyen.
Az ilyen sorozatokat oszcilláló sorozatoknak nevezzük.
Ez a sorozat például a nulla körül oszcillál:
ha n páratlan
ha n páros
Mi jöhet még ez után…
Beszéljünk egy kicsit a sorozatokról. Kezdjük azzal, hogy mire jók a sorozatok.
Nos, például arra, hogy beszéljünk róluk.
Íme itt is van egy sorozat.
Ez itt a sorozat indexe, ami azt mondja meg, hogy éppen hányadik tagot nézzük.
index
A sorozatok egyik leglényegesebb tulajdonsága, hogy vajon mi történik vele, ha egyre távolibb tagjait nézzük.
Ez a sorozat például közeledik a nullához.
Olyannyira, hogy mondhatunk bármilyen pici számot, eljön az idő, hogy a sorozat annál is közelebb kerül a nullához.
A sorozatnak ezt a tulajdonságát úgy nevezzük, hogy tart a nullához vagy másként a határértéke nulla.
És így jelöljük: vagy így:
Itt jön egy másik sorozat.
Ez a sorozat még inkább nullához tart.
Sőt általában ezek a sorozatok nullához tartanak.
Aztán itt vannak ezek a sorozatok.
Nos ők a végtelenbe tartanak.
NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI
Vannak aztán ilyen gyökös sorozatok is.
Ők is végtelenbe tartanak.
És itt jön a legizgalmasabb sorozat, az
Ha akkor
sehova
Most pedig nézzük meg mi történik ha két sorozatot összeadunk.
Ha mondjuk és akkor logikusnak tűnik, hogy
De az élet sajnos ennél bonyolultabb.
Előfordulhat ugyanis, hogy és .
Hova tart ilyenkor az összegük?
Nos a helyzet az, hogy az sorozat tarthat mínusz végtelenbe,
egy konkrét számhoz
és plusz végtelenbe.
A sorozat szintén.
Az összegükre pedig ez a kilenc eset adódhat.
Nézzük meg őket.
Ha mindkét sorozat mínusz végtelenbe tart, akkor az összegük is.
Ha az egyik A-hoz a másik mínusz végtelenbe, akkor az összegük is mínusz végtelenbe.
Hogyha az egyik sorozat mínusz végtelenbe a másik pedig plusz végtelenbe tart, akkor egészen egyszerűen nem tudjuk, hova tart az összegük.
Lehet mínusz végtelen is
lehet 42 is
és lehet plusz végtelen is
A táblázat többi részének kitöltése nem sok meglepetést tartogat, a bal alsó sarok szintén kérdőjeles.
Most pedig nézzük meg mi a helyzet két sorozat szorzatával.
Itt sajnos kicsit sok eset lesz.
Nos ez megint olyan, hogy egészen egyszerűen nem tudjuk.
A folytatás már nem túl izgalmas:
Aztán végre néhány egyértelmű eset:
Most pedig jöjjön a legrosszabb, az osztás.
Itt meglehetősen sok kérdőjel lesz.
Mindjárt az első:
De van még.
Nos ezeknek a táblázatoknak a lényege az, hogy segítsen eligazodni a különböző típusú határértékek között.
A kérdőjeles esetek mondjuk nincsenek túlzottan a segítségünkre, így a továbbiakban az lesz a feladatunk, hogy megnézzük mit lehet csinálni ezekben az esetekben.
Az egyik legizgalmasabbal fogjuk kezdeni a esettel.
HA k KONKRÉT SZÁM
Lássuk mik a teendők a kritikus határértékekkel. A sorozatok határértékének kiszámolása ezekben az esetekben válik igazán izgalmassá.
Itt jön egy ilyen eset:
A trükk az, hogy leosztjuk –el.
A számlálót is és a nevezőt is.
Ezzel egy -ből csináltunk egy -et.
Utóbbiról pedig lehet tudni, hogy az eredmény 2.
Nézzünk meg egy másikat is.
Végülis osszuk le ezt is -el.
Lássuk mi jön ki.
A számláló 4-hez tart.
A nevező nullához.
Nos ez baj.
A problémát az okozza, hogy a nevezőben a legnagyobb kitevőjű tag másodfokú.
Így ne lepődjünk meg, hogyha -el osztunk, a nevezőben mindenki nullához fog tartani.
Ha nem szeretnénk, hogy nullához tartson a nevező, akkor mindig a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával kell osztanunk.
A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával.
A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb hatványalapú tagjával.
Először átalakítunk.
Aztán leosztunk.
A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.
Előszöris kiderítjük, hogy melyik a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.
Van itt ez az n2,
de köbgyök alatt van.
Aztán itt van ez az n3,
de esélyes sincs mert ötödik gyök alatt.
Végül itt van ez az n,
na úgy tűnik ő nyert.
A legnagyobb kitevőjű tag a nevezőben tehát n, vagyis vele fogunk osztani.
De ha bevisszük a gyökjelek alá, varázslatos átalakulásokon megy keresztül.
A különböző gyökjelek alatt tehát más-más kitevőjű n-ekkel osztunk.
Most néhány nagyon vicces sorozat következik.
Íme itt az első.
Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.
Aztán itt van ez a másik.
És egy harmadik.
Nos ebben eddig semmi vicces nincs.
De az izgalmak most jönnek.
Van itt ez a határérték.
Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.
Csak az a baj, hogy nem.
Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.
Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.
De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.
Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.
Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,
akkor a határérték is kicsit megváltozik.
És van itt mégvalami.
Legalábbis akkor, ha
Nos nézzünk erre néhány példát.
Itt van például ez a határérték:
ami a képlet alapján
De ha ez a rész itt átváltozik
és a kitevő is,
nos akkor újra ugyanaz jön ki.
Vagy itt van egy másik:
Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.
Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.
Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et
vagy ebből n-et.
Csináljunk ebből n-et.
Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.
Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.
Van egy ilyen, hogy
Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:
De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.
Azokat a határértékeket ahol megjelenik itt
és a kitevőben is,
mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.
A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.
Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.
Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is van, akkor -el osztunk:
És rondább esetekkel is el tudunk bánni
Ha a kitevő konkrét szám, akkor:
De ha sajna itt
ott
akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk
Megeshet, hogy n2 is van.
Sőt lehet, hogy n3.
Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.
Most néhány nagyon vicces sorozat következik.
Íme itt az első.
Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.
Aztán itt van ez a másik.
És egy harmadik.
Nos ebben eddig semmi vicces nincs.
De az izgalmak most jönnek.
Van itt ez a határérték.
Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.
Csak az a baj, hogy nem.
Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.
Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.
De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.
Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.
Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.
Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,
akkor a határérték is kicsit megváltozik.
És van itt mégvalami.
Legalábbis akkor, ha
Nos nézzünk erre néhány példát.
Itt van például ez a határérték:
ami a képlet alapján
De ha ez a rész itt átváltozik
és a kitevő is,
nos akkor újra ugyanaz jön ki.
Vagy itt van egy másik:
Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.
Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.
Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et
vagy ebből n-et.
Csináljunk ebből n-et.
Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.
Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.
Van egy ilyen, hogy
Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:
De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.
Azokat a határértékeket ahol megjelenik itt
és a kitevőben is,
mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.
A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.
Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.
Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is van, akkor -el osztunk:
És rondább esetekkel is el tudunk bánni
Ha a kitevő konkrét szám, akkor:
De ha sajna itt
ott
akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk
Megeshet, hogy n2 is van.
Sőt lehet, hogy n3.
Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.
Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.
Konvergens
sorozatok
Divergens
sorozatok
Van
határérték
Nincs
határérték
Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.
A divergenciának azonban vannak fokozatai.
Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart,
és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova.
A sehova sem tartó sorozatok mindig oszcilláló sorozatok.
Az oszcilláló sorozatok egyik legegyszerűbb példája a sorozat.
Mielőtt azonban azt gondolnánk, hogy minden oszcilláló sorozat divergens,
nos itt jön egy másik.
Attól tehát, hogy a sorozat ugrál, még nem feltétlen lesz divergens.
Az is lényeges, hogy mekkorákat ugrik.
Itt jön három példa a lehetséges viselkedésekre:
ha n páros
ha n páratlan
Most pedig lássunk néhány vicces ügyet.
Nos itt a képletben az 1-es van elől, úgyhogy csere.
Az összeadásnál ez nem okoz problémát.
A kivonásnál…
se, ha nem rontjuk el.
És voila, egy újabb oszcilláló sorozat.
Most a számlálóban és a nevezőben is felbukkant a ,
így aztán ez nem egy oszcilláló sorozat.
Most pedig lássunk néhány gyökös sorozatot.
Itt jön egy másik.
Megint beazonosítjuk, hogy ki lehet a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.
És most lássunk valami egészen érdekeset.
Nos ebben eddig még nincs semmi izgalmas.
Az izgalmak akkor jönnek, ha a + jelet kicseréljük…
jelre.
ugyanis szintén de
Ilyenkor egy kis varázslatra van szükség.
Innentől már a szokásos.
Itt jön aztán még egy:
És még egy:
Ha itt összeadás van, akkor kész is.
De ha kivonás, akkor megint jön a bűvészkedés.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Az sorozat erősebb, mint a sorozat, ha
és ezt a tényt így jelöljük, hogy
Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.
Nagy n-ekre így néz ki például az n2…
és így néz ki az n3.
De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…
nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.
Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.
Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.
Jó tudni, ki milyen erős.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.
A tétel azt mondja, hogy ha
és és van olyan , hogy minden esetén
akkor .
A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a
típusú határértékek.
Vegyük például ezt a határértéket:
Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag és
ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,
mintha ott sem volna, olyan.
Így aztán nem meglepő, hogy a határérték
A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.
A terv a következő.
Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,
és a határértéke 5.
Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.
Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.
Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.
Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,
és kell egy másik, ami nála nagyobb.
Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.
Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.
Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.
Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.
Nézzünk meg egy másik határértéket is.
A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .
És most jöhet a becslés.
Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.
De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Aztán vannak bonyolultabb esetek is:
A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:
Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.
Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.
Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.
De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.
Sajna ez probléma...
Szükségünk van tehát egy trükkre.
Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.
A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:
Nos igen, ha .
Innentől már rutinmunka.
Most pedig lássuk mi jöhet még.
Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.
A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.
Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.
Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.
És most jöhet a precíz megoldás.
Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.
Az alsó becslés már érdekesebb.
Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.
És ezt még alulról becsüljük.
Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.
Legyen mondjuk 1/2.
Nos ez teljesül, ha .
Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.
Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.
A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,
a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.
ugyanis biztosan nem negatív.
Az alsó becslés már érdekesebb.
A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.
A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.
Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.
Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.
Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:
De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.
Kezdjük egy könnyűvel:
Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,
alsó becslésnél pedig növeljük:
Itt jön egy kis trükk.
Itt jönnek az igazán vicces esetek.
Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:
És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.
Azokat az összegeket, amiket úgy kapunk, hogy végtelen sok valós számot adunk össze végtelen sornak nevezzük.
Ez itt például egy végtelen sor:
Az összeadásban szereplő tagokat képzeljük el úgy, mint egy bolha ugrásait a számegyenesen.
A sor összege az a szám ahova a bolha ugrásai során eljut.
Most egy fáradékony bolhával van dolgunk, ugrásai egyre rövidülnek.
Mindig fele akkorát ugrik, mint ami még a hátralévő út a 2-ig, így véges sok ugrással sosem érheti el a 2-t, mert
Ha viszont az ugrások száma végtelen, akkor a bolha éppen eljut a 2-be.
Van itt aztán egy másik bolha is, ez egyáltalán nem fáradékony, viszont meglehetősen összevissza ugrál.
Először ugrik 1-et, majd vissza 1-et.
Utána megint ugrik 1-et, majd megint vissza…
Nos ez a bolha nem jut el sehova, ha az ugrások száma végtelen.
Mindig épp valahol úton lesz a 0 és az 1 között.
És itt egy harmadik, ahol az ugrások mindig megduplázódnak.
Konvergensnek nevezzük azokat a sorokat, ahol a bolha ugrásai során eljut egy konkrét számhoz. Azt a számot pedig ahova eljut, a sor összegének nevezzük.
Ha a bolha ugrásai során nem jut el sehova, vagy éppen plusz vagy mínusz végtelenbe jut el, akkor a sor divergens.
A sorokkal kapcsolatban kétféle kérdés merülhet föl.
Az egyik, hogy konvergens-e vagy divergens a sor. Erre viszonylag könnyen tudunk válaszolni úgynevezett konvergencia kritériumok segítségével.
A másik kérdés, hogy ha a sor konvergens, akkor mi az összege, vagyis hova tart a bolha. Nos ez egy jóval nehezebb kérdés és erre csak elég speciális sorok esetében tudunk megnyugtató választ adni.
Ilyen speciális sor például a mértani sor, amilyenek ezek a bolhás esetek is itt balra.
Lássuk, hogyan kell kiszámolni a mértani sorok összegét.
Azokat a sorokat nevezzük mértani sornak, amelyek így néznek ki, mint ez:
Itt és konkrét számok.
Ha akkor a mértani sor konvergens és összege
Ha akkor a sor divergens
divergens
Íme itt egy példa:
Mindig az első tag lesz a1,
a q pedig az, aki az n-ediken van.
A sor konvergens.
A sor divergens.
Itt van aztán egy másik.
Nos, ezek a mértani sorok nem túl izgalmasak. De néhányat még talán megnézhetünk.
de mivel a -2 a nevezőben van…
És most jöhetnek a konvergencia kritériumok.
Itt az ideje, hogy a végtelen sorok konvergenciáját kicsit precízebben is definiáljuk és megalkossunk egy bolhák nélküli definíciót.
Valójában azonban csak a bolha szót fogjuk kicserélni egy tudományosabban hangzóra.
Bevezetjük a részletösszeg-sorozat fogalmát.
A részletösszeg-sorozat jele és első tagja a bolha első ugrása, vagyis .
A második tagja az első két ugrás összege.
A harmadik tag az első három ugrás összege.
Vagyis pontosan azt mondja meg, hogy éppen hol jár a bolha.
És ahova tart, nos egészen pontosan oda tart a bolha is.
Tehát a bolha uticélja vagyis a sor összege éppen az sn határértéke.
Nos ez a precíz definíció.
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha a részletösszeg-sorozata konvergens és ekkor a sor összege:
És most lássuk, hogyan tudjuk eldönteni, hogy egy sor konvergens-e vagy divergens.
Ez egy viszonylag könnyen megválaszolható kérdés és az úgynevezett konvergencia kritériumok fognak nekünk ebben segíteni.
Az első ilyen kritérium annyit mond, hogy ha a bolha nem fáradékony, akkor a sor biztosan divergens.
Vagyis, ha az ugrások hossza nem tart nullához, akkor a sor divergens.
Lássunk egy példát. Itt van mondjuk ez a sor:
Az állítás megfordítása viszont nem igaz, vagyis annak ellenére, hogy
divergens.
Vagyis nem minden fáradékony bolha konvergens.
A zavarodott fáradékony bolhák viszont garantáltan konvergensek. Erre jött rá Leibniz.
Legyen pozitív tagú sorozat. Ekkor a
végtelen sort Leibniz-típusú sornak nevezzük.
Minden Leibniz-sor konvergens. A magyarázat a következő.
A bolha első ugrása bármekkora lehet.
A második ugrás az előzőnél kisebb és ellentétes irányú.
Aztán megint kisebbet ugrik és megint a másik irányba.
Így szépen lassan bezárja magát és eljut uticéljához, ami a sor összege.
A sor abszolút konvergens, ha a sor is konvergens.
Vannak olyan sorok, amik konvergensek ugyan, de nem abszolút konvergensek.
A Leibniz-sorok között ez gyakran előfordul. Itt van például ez:
Nos ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens…
de nem abszolút konvergens, mert
ez utóbbi pedig, ha még emlékszünk rá divergens.
Hát ez igazán érdekes volt, most pedig következzen két nagyon gyakran használt konvergencia kritérium.
Itt jön erre egy példa:
ezért a sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
Itt van aztán egy másik:
Ajjaj. Hát ebből most nem tudtunk meg semmit.
De még van remény, próbáljuk ki ezt:
Lássunk egy példát a hányados kritériumra is:
Az n!-ról érdemes tudni, hogy
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
Kezdjük az elsővel. Itt alkalmazzuk a hányados kritériumot. Azért a hányadost, mert a faktoriális nem szereti a gyök kritériumot.
Nos ez úgy tűnik konvergens.
Lássuk a következőt.
Itt a gyök kritérium jót fog tenni majd a kitevőknek.
Ez is konvergens. Lássuk mi a helyzet a harmadikkal.
Próbálkozzunk itt is a gyök kritériummal.
Rossz hír, ezek a sorozatok sajna 1-hez tartanak:
Ennek végzetes következményei vannak, ugyanis olyankor, amikor a határérték 1, a gyök kritérium csődöt mond.
Próbálkozhatnánk esetleg a hányados kritériummal is, de azzal sem jönne ki semmi.
Leibniz sem segíthet, és sajna ez sem, ugyanis ha valaki utánaszámol,
Így aztán jelenleg semmilyen eszközünk nincs, amivel ennek a sornak a konvergenciáját megnyugtató módon tisztázhatnánk.
De szerencsére még van remény, erről fog szólni a következő képsor.
Itt jön egy újabb konvergencia kritérium. Ezt a kritériumot kimondottan olyan sorokra érdemes használni, mint amilyen ez:
A számláló és a nevező is egy polinom.
azokban az esetekben az összehasonlító kritériumot érdemes használni.
Éppen itt is jön:
Ha és nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól akkor
konvergens is konvergens
divergens is divergens
Ezen kívül azt is érdemes tudni, hogy a
típusú sor konvergens, ha és divergens, ha .
Most, hogy mindezt megtudtuk, lássuk konvergens-e ez a sor.
Feltehetően igen.
De lássuk az összehasonlító kritériumot.
Úgy tudjuk igazolni, hogy a sor konvergens, ha felülről becsüljük egy másik konvergens sorral.
Úgy kell felülről becsülni, hogy a számlálót növeljük, a nevezőt pedig csökkentjük.
De nem bízzuk a dolgot a véletlenre.
A számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt meg úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Az eredeti sort felülről becsültük egy olyan sorral, ami konvergens, ezért az eredeti sor is konvergens.
Nézzünk meg egy másikat is.
Konvergens-e a következő sor?
Nos megint az összehasonlító kritériumot hívjuk segítségül.
A hangok azt mondják, hogy ezúttal a sor divergens lesz.
Így most alulról kell becsülni… ráadásul szintén divergenssel.
Nagyon nem is kell megerőltetnünk a fantáziánkat.
Nos ez divergens, tehát az eredeti sor is divergens.
Végül lássunk egy bonyolultabbat.
Így aztán megint alulról kell becsülni:
A számlálót csökkentjük,
a nevezőt pedig növeljük.
SZÜKSÉGES FELTÉTEL
Ha akkor divergens.
LEIBNIZ-SOROK
A sor mindig konvergens, ha
de nem mindig abszolút konvergens.
GYÖK KRITÉRIUM
Ha akkor abszolút konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
HÁNYADOS KRITÉRIUM
Ha akkor absz. konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
A mértani soroknál már nagy sikereket értünk el a sorösszeg meghatározásában. Itt az idő, hogy egy újabb speciális sor, az úgynevezett teleszkopikus sor összegét is kiszámoljuk.
A sor összege ezek szerint egy.
Nos ez a megoldás nem teljesen precíz, de a részletösszeg-sorozat segítségével precízzé tudjuk tenni.
Itt jön egy másik:
A nevezőt szorzattá alakítjuk, aztán megint bűvészmutatványok következnek.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Jöjjön aztán egy kellemetlenebb ügy.
Megint először parciális törtekre bontunk.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n2-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
Nos, aztán n-ből is nulla darab van bal oldalon.
Ezért jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Végül még egy trükk. A középső tagot kettébontjuk és nem is véletlenül. Azért bontjuk ketté, hogy neki is 1/2 legyen a számlálója és így jobban szeressék őt a többiek.
Most pedig jöhet a részletösszeg-sorozat.
És még egy érdekesség:
Itt is a parciális törtekre bontás módszerét használjuk, mégpedig úgy, hogy ahol a különbség első tagjában n-1 van, ott a második tagban n van.
Erre azért van szükség, hogy a felbontás során teleszkopikus összeget kapjunk.
És most jöhet a részletösszeg-sorozat.
Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:
Itt van például egy hatványsor.
És derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
A hatványsoroknál általában a gyök kritérium szokott beválni.
Ha akkor
és itt úgy viselkedik, mint egy konstans, vagyis sajátmagához tart.
A sor akkor konvergens, ha ez kisebb, mint 1.
A sárgával jelölt tartományban helyezkednek el azok az x-ek amelyekre a sor konvergens.
Ezt hívjuk konvergencia-tartománynak.
Az pedig a konvergencia-sugár.
A kérdés, hogy vajon konvergens-e a sor a konvergencia-tartomány végpontjaiban?
Nos, ezt mindig még külön meg kell vizsgálni.
A jelek szerint ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens.
Most lássuk a másik végpontot.
Nos, itt a sor divergens.
-t a hatványsor középpontjának nevezzük.
-ban a hatványsor mindig abszolút konvergens.
Az pont sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Lássuk mi a helyzet ezzel:
Megint gyök kritérium:
És most jöhetnek a végpontok.
Az ebben a végpontban kapott sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
A másik végpontban szintén.
Itt jön aztán egy olyan hatványsor, amire nem lesz jó a gyök kritérium.
Az miatt itt a hányados kritérium lesz a nyerő.
Írhatunk x helyére bármilyen számot, ez mindig teljesülni fog.
A jelek szerint tehát a sor miden x-re konvergens.
