Matematika alapok | mateking
 
36 témakör, 454 rövid és szuper érthető epizód
Ezt a nagyon laza Matematika alapok kurzust úgy terveztük meg, hogy egy csapásra megértsd a lényeget. Tudásszinttől függetlenül, teljesen az alapoktól magyarázzuk el a tananyagot, a saját ritmusodban lépésről lépésre. Így tudjuk a legbonyolultabb dolgokat is elképesztően egyszerűen elmagyarázni.
3 450 Forint

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 36 szekcióból áll: Algebra, nevezetes azonosságok, Másodfokú egyenletek, Egyenlőtlenségek, Egyenletrendszerek, Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek, Exponenciális egyenletek, Logaritmikus egyenletek, Gyökös egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Halmazok, Gráfok, Teljes indukció, Komplex számok, Mátrixok és vektorok, Lineáris függetlenség, bázis, rang, Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze, Determináns, sajátérték, sajátvektor, Vektorok, Függvények ábrázolása, Inverz függvények, Koordinátageometria, Polinomok, Feladatok függvényekkel, Százalékszámítás és pénzügyi számítások, Számelmélet, Szöveges feladatok, Síkgeometria, Középpontos hasonlóság, Trigonometria, Szinusztétel, Koszinusztétel, Térgeometria, A parabola, Számtani és mértani sorozatok, Kombinatorika, Valószínűségszámítás, Statisztika

HALMAZOK ÉS GRÁFOK

  • Mese a halmazokról - Mik azok a halmazok? Halmazok metszete, uniója, különbsége, részhalmazok, műveletek halmazokkal.
  • Amit a gráokról tudni érdemes - Mik azok a gráfok? Élek, csúcsok, utak, fa, egyszerű gráfok, fokszám, feladatok gráfokkal.

FÜGGVÉNYEK

MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLETRENDSZEREK

  • Az elsőfokú egyenlet - Elsőfokú egyenletek megoldása, a mérleg elv. Törtes egyenletek megoldása.
  • A másodfokú egyenlet - Másodfokú egyenletek megoldása, a másodfokú egyenlet megoldóképlete, törtes egyenletek, másodfokúra vezető egyenletek megoldása, egyenletrendszerek.

EGYENLŐTLENSÉGEK

  • Az egyenlőtlenségek megoldása - Hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket? Mi a különbség egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei között? Egyenlőtlenségek megoldása számegyenesen előjel ábrázolással.
  • Néhány feladat egyenlőtlenségekre - Itt jön néhány izgalmas feladat, ahol gyakoroljuk az egyenlőtlenségek megoldását.

ABSZOLÚTÉRTÉKES EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

  • Hatványazonosságok - Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a hatványazonosságokból. Megnézzük, hogyan kell a hatványazonosságokat használni. Megnézzük mi az az exponenciális függvény és hogyan kell ábrázolni.
  • Exponenciális egyenletek megoldása - Mik azok az exponenciális egyenletek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenletet? Törtes exponenciális egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető exponenciális egyenletek.

LOGARITMIKUS EGYENLETEK

  • Mi az a logaritmus? - Itt végre szuper-érthetően kiderül, hogy mi az a logaritmus. Készítünk egy gyors kis összefoglalót a logaritmus azonosságairól. Megnézzük, hogyan kell a logaritmus azonosságokat használni. Megnézzük mi az a logaritmus függvény és hogyan kell ábrázolni.
  • Logaritmusos egyeletek megoldása - Mik azok a logaritmusos egyenletek? Hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet? Milyen kikötéseket kell tenni egy logaritmusos egyenlet megoldásánál? Törtes logaritmikus egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető logaritmikus egyenletek.

GYÖKÖS EGYENLETEK

  • Gyökös azonosságok - Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a gyökös azonosságokról. Megnézzük, hogyan kell az azonosságokat használni, milyen kikötéseket kell tenni a gyökös kifejezéseknél, hogyan néz ki a gyök függvény.
  • Gyökös egyenletek megoldása - Megnézzük, hogy milyen izgalmak fordulhatnak elő a gyökös egyenletek világában. Hogyan kell megoldani egy gyökös egyenletet egyenletet? Mikor lehet egy egyenletet négyzetre emelni? Milyen kikötéseket kell tenni egy gyökös egyenlet megoldásánál? Törtes gyökös egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető gyökös egyenletek.

TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK

  • Az egység sugarú kör - Mi az egység sugarú kör? Mi az a szinusz és koszinusz? Mire jó a szinusz és a koszinusz? Mi az a radián? Mi a kapcsolat a fok és a radián között?
  • Szinusz, koszinusz - A szinusz és koszinusz definíciója egység sugarú körben. Nevezetes szögek szinusza és koszinusza. Trigonometrikus azonosságok. Trigonometrikus egyenletek megoldása.

A TELJES INDUKCIÓ

  • Mi az a teljes indukció? - Megnézzük, hogyan működik a teljes indukció és mik a teljes indukciós bizonyítás lépései. Mi az az indukciós feltevés? Hogyan lehet végtelen sok állítást három lépésben igazolni. Teljes indukciós feladatok. Teljes indukciós egyenlőtlenségek.

SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK

SÍKGEOMETRIA

  • Szinusz és koszinusz a síkgeometriában - Megnézzük, hogy derékszögű háromszögekben mit jelent a szinusz és a koszinusz. Mire jó a szinusz és a koszinusz, mire lehet használni? Geometriai feladatok megoldása szinusz és koszinusz szögfüggvények segítségével.
  • Szinusz derékszögű háromszögekben - Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát a szög szinuszának nevezzük.
  • Koszinusz derékszögű háromszögekben - Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és az átfogó arányát a szög koszinuszának nevezzük.
  • Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai - Megismerkedünk a háromszögek nevezetes vonalaival és pontjaival. Megnézzük, hogy mi az a magasságvonal és mi a magasságpont. Megnézzük, hogy mi az a súlyvonal és mi a súlypont. Megnézzük, hogy mi az oldalfelező merőleges és a szögfelező és kiderül, hogy melyik pont a háromszög köré írható kör valamint a háromszögbe írható kör középpontja. Nézünk különböző területképleteket háromszögekre, végül jön néhány trapéz is.

SZINUSZTÉTEL ÉS KOSZINUSZTÉTEL

  • A szinusztétel és a koszinusztétel - A derékszögű háromszögekben használt szinusz és koszinusz fogalmát átültetjük általános háromszögekre két nagyon izgalmas tétel segítségével. Az egyik a szinusztétel, a másik a koszinusztétel. Megnézzük, hogy mikor érdemes a szinusztételt és mikor érdemes a koszinusztételt használni.Szinusztételes feladatok. Koszinusztételes feladatok. Vegyes feladatok szinusztétellel és koszinusztétellel.
  • Mikor használjuk a szinusztételt? - Itt jön néhány példa arra, hogy mikor használjuk a szinusztételt.
  • Mikor használjuk a koszinusztételt? - Megnézzük, hogy mi az a koszinusztétel és mikor érdemes használni.

TÉRGEOMETRIA

  • Gúlák és hasábok - Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.
  • Gúlák térfogata - Lássuk, hogyan kell kiszámolni a gúlák térfogatát.
  • Gúlák felszíne - Nézzük, hogyan kell kiszámolni a gúlák felszínét.
  • Hasábok térfogata - Lássuk, hogyan kell kiszámolni a hasábok térfogatát.
  • Hasábok felszíne - Na és itt jön a hasábok felszíne.
  • Kúpok és hengerek térfogata és felszíne -Megnézzük, hogy mi a kúp és a henger, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a kúpok és hengerek térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot hengerekre és kúpokra.

KOORDINÁTAGEOMETRIA

KOMBINATORIKA

  • Kombinatorikai összefoglaló - Mik ezek és mire lehet őket használni? Kombinatorika feladatok megoldása lépésről-lépésre. Permutációkkal kapcsolatos feladatok, variációkkal kapcsolatos feladatok, kombinációval kapcsolatos feladatok, ismétléses permutáció, ismétléses variáció.
  • Permutáció - Példák ismétlés nélküli és ismétléses permutációkra.
  • Variáció - Lássuk, hogy mi az ismétlés nélküli és az ismétléses variáció.
  • Permutáció - Példák ismétlés nélküli és ismétléses permutációkra.
  • Kombináció - Izgalmas feladatok kombinációkkal.

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

STATISZTIKA

  • Mi az amit statisztikából tudni kell? - Itt kiderül, hogy mi az a módusz és mi a medián, hogyan kell átlagot és szórást számolni. Megnézzük, hogy mi a súlyozott átlag, hogyan kell kiszámolni. Készítünk oszlpodiagramot, kördiagramot, hisztogramot, és megnézzük mire jók ezek valójában.
  • Módusz - Ez a leggyakoribb érték. Nade mi is az, és hogyan kell kiszámolni?
  • Medián - A medián a sorba rendezett adatsor középső értéke. De mi is ez pontosan?
  • Átlag, súlyozott átlag - Lássuk, mi az átlag és mi a súlyozott átlag.
  • Szórás - Egy nagyon izgalmas dolog: a szórás.

Algebra, nevezetes azonosságok

  • -

    Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás és zárójelezések műveleti sorrendjei.

  • -

    Hogyan végezzünk műveleteket betűs kifejezésekkel.

  • -

    Itt jön néhány példa arra, hogyan lehet kiemeléssel szorzattá alakítani.

  • -

    Ha a törtekből nem lett volna elég, itt jönnek az algebrai törtek.

  • -

    Törtek és algebrai törtek egyszerűsítésének módszerei.

  • -

    Kéttagú összegek és különbségek négyzetre emelése. Két négyzet különbségének szorzata.

  • -

    Kéttagú összegek és különbségek köbre emelése.

  • -

    Kéttagú összegek n-edik hatványra emelésének képlete.

Másodfokú egyenletek

Egyenlőtlenségek

  • -

    Hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket? Mi a különbség egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei között? Egyenlőtlenségek megoldása számegyenesen előjel ábrázolással.

  • -

    Az elsőfokú egyenlőtlenségeknél még izgalmasabbak a másodfokú egyenlőtlenségek.

Egyenletrendszerek

  • -

    A behelyettesítő módszer az egyenletrendszerek megoldásának egyik technikája, ami során az egyik ismeretlent kifejezzük a másikkal.

  • -

    Az egyenlő együtthatók módszere egy megoldási technika az egyenletrendszerekhez, ami során a két egyenletet összeadjuk vagy kivonjuk egymásból.

Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek

  • -

    Egy szám abszolútértékén a nullától való távolságát értjük.

Exponenciális egyenletek

  • -

    Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában. Itt jönnek az exponenciális függvények.

  • -

    Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a hatványazonosságokból. Megnézzük, hogyan kell a hatványazonosságokat használni. Megnézzük mi az az exponenciális függvény és hogyan kell ábrázolni.

  • -

    Mik azok az exponenciális egyenletek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenletet? Törtes exponenciális egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető exponenciális egyenletek.

  • -

    Mik azok az exponenciális egyenlőtlenségek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenlőtlenséget?

Logaritmikus egyenletek

  • -

    Mik azok a logaritmusos egyenletek? Hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet? Milyen kikötéseket kell tenni egy logaritmusos egyenlet megoldásánál? Törtes logaritmikus egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető logaritmikus egyenletek.

  • -

    Itt végre szuper-érthetően kiderül, hogy mi az a logaritmus. Készítünk egy gyors kis összefoglalót a logaritmus azonosságairól. Megnézzük, hogyan kell a logaritmus azonosságokat használni. Megnézzük mi az a logaritmus függvény és hogyan kell ábrázolni.

  • -

    Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a logaritmus azonosságokról. Megnézzük, hogyan kell az azonosságokat használni, milyen kikötéseket kell tenni a logaritmikus kifejezéseknél, hogyan néz ki a logaritmus függvény.

Gyökös egyenletek

  • -

    Gyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.

  • -

    Köbgyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

  • -

    Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.

  • -

    Megnézzük, hogy milyen izgalmak fordulhatnak elő a gyökös egyenletek világában. Hogyan kell megoldani egy gyökös egyenletet? Mikor lehet egy egyenletet négyzetre emelni? Milyen kikötéseket kell tenni egy gyökös egyenlet megoldásánál? Törtes gyökös egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető gyökös egyenletek.

Trigonometrikus egyenletek

  • -

    Mi az egység sugarú kör? Mi az a szinusz és koszinusz? Mire jó a szinusz és a koszinusz? Mi az a radián? Mi a kapcsolat a fok és a radián között?

  • -

    Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának x koordinátáját nevezzük a szög koszinuszának

  • -

    Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának y koordinátáját nevezzük a szög szinuszának.

  • -

    Szinuszt és koszinuszt tartalmazó egyenletek megoldásának lépései.

  • -

    Egy szög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő.

  • -

    Trigonometriai képlet összefoglaló. Összefüggések a tangens és kotangens között. A trigonometria alapegyenlete. Szögek kétszeresének szinusza és koszinusza.

  • -

    Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

Halmazok

  • -

    Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

  • -

    A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

  • -

    Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

  • -

    Az A és B halmazok Descartes-szorzata úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból, a második elemét pedig B-ből vesszük, és ezeket a rendezett párokat betesszük egy halmazba.

  • -

    Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár és minden x-hez csak egy y tartozik.

Gráfok

  • -

    A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.

  • -

    Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.

  • -

    Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

  • -

    A gráf csúcsokból és azokat összekötő élekből áll.

  • -

    Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.

  • -

    Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.

  • -

    Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.

  • -

    Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.

Teljes indukció

  • -

    A teljes indukció egy bizonyítási módszer, ami olyan állítások bizonyítására alkalmas, melyek n pozitív egész számtól függenek.

Komplex számok

Mátrixok és vektorok

  • -

    mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

  • -

    Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

  • -

    Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

  • -

    Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

  • -

    Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

  • -

    Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

  • -

    A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.

  • -

    A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.

  • -

    A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

  • -

    Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

  • -

    Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.

  • -

    A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

  • -

    Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

  • -

    A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.

  • -

    Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

  • -

    skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

  • -

    Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

  • -

    Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

  • -

    Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

  • -

    Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

  • -

    Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

  • -

    Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.

  • -

    Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

  • -

    Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.

Lineáris függetlenség, bázis, rang

  • -

    A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.

  • -

    A bázis független generátorrendszer.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

  • -

    Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.

  • -

    Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma

  • -

    W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.

  • -

    Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.

Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze

Determináns, sajátérték, sajátvektor

  • -

    Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.

  • -

    A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.

  • -

    Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.

  • -

    Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.

  • -

    Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.

  • -

    Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

  • -

    Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

  • -

    A Cramer szabály egy újabb módszer az egyenletrendszerek megoldására.

  • -

    A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.

  • -

    A mátrix főátló elemeiből kivonunk $\lambda$-kat, majd ennek vesszük a determinánsát.

  • -

    Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.

  • -

    Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor a mátrix diagonizálható.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix spektrálfelbontását.

  • -

    Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

  • -

    Egy nxn-es mátrix indefinit, ha van nullánál nagyobb és nullánál kisebb sajátértéke is..

  • -

    Egy nxn-es mátrix negatív definit, ha minden sajátértéke negatív.

  • -

    Egy nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden sajátértéke kisebb vagy egyenlő 0.

  • -

    Egy nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden sajátértéke pozitív.

  • -

    Egy nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nagyobb vagy egyenlő 0.

  • -

    Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

  • -

    Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...

  • -

    A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.

Vektorok

  • -

    Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

  • -

    Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

  • -

    Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

Függvények ábrázolása

  • -

    Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.

  • -

    A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.

  • -

    A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.

  • -

    Globális és lokális maximumok és minimumok.

  • -

    Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.

  • -

    Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.

Inverz függvények

  • -

    A függvény hozzárendelésének megfordításával kapjuk a függvény inverzfüggvényét, amennyiben a megfordított hozzárendelés is egy egyértelmű hozzárendelés.

Koordinátageometria

  • -

    Mi az normálvektor? Mi az irányvektor? Egyenes egyenletének felírása, pont és egyenes távolsága, párhuzamos és merőleges egyenesek.

  • -

    Az irányvektor az egyenessel párhuzamos nem nullvektor.

  • -

    A normálvektor az egyenesre merőleges nem nullvektor.

  • -

    Egyenes egyenletének felírása, pont és egyenes távolságának kiszámolása, képlet pont és egyenes távolságára.

  • -

    Hogyan írjuk föl egy kör egyenletét? A kör kanonikus egyenlete, a kör középpontja és sugara, kör és egyenes metszéspontja.

Feladatok függvényekkel

  • -

    Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

  • -

    A másodfokú függvény olyan függvény, amelynek legmagasabb fokú tagja másodfokú.

Százalékszámítás és pénzügyi számítások

Számelmélet

  • -

    Két számok legnagyobb közös osztója az a szám, amelyik mindkét számot osztja és ezek közül a legnagyobb.

  • -

    Néhány izgalmas oszthatósági szabály.

  • -

    Két szám relatív prímek, ha a legnagyobb közös osztójuk 1.

  • -

    A nullától és az egységszorzóktól különböző összes $n$ egész szám felbontható prímek szorzatára a sorrendtől és az egységszeresektől eltekintve egyértelműen.

Szöveges feladatok

Síkgeometria

  • -

    Hogyan számítjuk egyenes és sík távolságát?

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki két egyenes távolságát?

  • -

    Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki két sík távolságát?

  • -

    Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza.

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki pont és egyenes távolságát?

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki pont és sík távolságát?

  • -

    Pont, egyenes és sík a tér elemei, alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletből kialakult jelentésükre hagyatkozunk.

  • -

    A háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelezőmerőlegesei metszéspontja. Hogyan lehet megszerkeszteni egy háromszög köré írható körét

  • -

    A magasságvonal a háromszög egy csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges. A magasságvonalak metszéspontja a magasságpont.

  • -

    A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Ezek metszéspontja a súlypont.

  • -

    A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög köré írható körének középpontja.

  • -

    Néhány képlet háromszögek területére.

  • -

    Azok a háromszögek, amelyeknek van 90°-os szöge.

  • -

    Az egyenlőszárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal.

  • -

    Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).

  • -

    Azokat a négyszögeket nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány alakúak és az átlóik merőlegesek egymásra.

  • -

    A legszabályosabb négyszög a négyzet.

  • -

    A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja.

  • -

    Rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.

  • -

    Téglalapnál a szögek derékszögek, de az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.

  • -

    A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

  • -

    A derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.

  • -

    Ha egy kör átmérőjét összekötjük a körvonal egy másik, tetszőleges C pontjával, akkor a C csúcsnál derékszöget kapunk.

  • -

    A húrnégyszög egy olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.

  • -

    A kerületi szög egy körben lévő szög úgy, hogy a szög csúcsa a körvonal egy pontja, szárai pedig vagy a kör két húrja, vagy egy húrja és egy érintője.

  • -

    Egy kör adott ívéhez tartozó kerületi szögek mind ugyanakkorák.

  • -

    Egy körben egy adott ívhez tartozó bármely középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög nagyságának.

Középpontos hasonlóság

  • -

    A középpontos hasonlósági transzformációhoz adott egy O pont, ez a középpont, és egy lambda nem nulla valós szám, ez a hasonlóság aránya.

  • -

    Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező megfelelő szakaszok arányával.

  • -

    Háromszögek hasonlóságának 4 esete.

  • -

    Derékszögű háromszög egy befogója mértani közepe az átfogónak és a befogóra eső vetületének.

  • -

    Derékszögű háromszögben az átfogó magasságának talppontja az átfogót két olyan részre bontja, melyeknek a mértani közepe a magasság:

  • -

    Hasonló alakzatok területe négyzetesen, térfogata köbösen aránylik egymáshoz.

  • -

    Bármely háromszögben egy csúcshoz tartozó belső szögfelező a szöggel szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában fogja kettéosztani.

Trigonometria

  • -

    Megnézzük, hogy derékszögű háromszögekben mit jelent a koszinusz. Mire jó a a koszinusz, mire lehet használni? Geometriai feladatok megoldása koszinusz szögfüggvény segítségével.

  • -

    Megnézzük, hogy derékszögű háromszögekben mit jelent a szinusz. Mire jó a szinusz, mire lehet használni? Geometriai feladatok megoldása szinusz szögfüggvény segítségével.

  • -

    Derékszögű háromszögben a szinusz a szöggel szemközti befogó és átfogó hányadosa. A koszinusz a szög melleti befogó és átfogó hányadosa. A tangens a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó hányadosa.

  • -

    Derékszögű háromszögben egy szög tangense a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó hányadosa.

  • -

    A háromszög területe kiszámítható a két oldal és a közrefogott szög szinuszának szorzataként, osztva 2-vel.

  • -

    Ha a kört kettéosztjuk egy húrjával, akkor körszeleteket kapunk. A körszelet területe az őt magába foglaló körcikk és egyenlőszárú háromszög különbsége.

Szinusztétel, Koszinusztétel

  • -

    A Szinusz tétel szerint tetszőleges háromszögben bármely oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszának arányával.

  • -

    A Koszinusz tétel szerint tetszőleges háromszögben egy tetszőleges oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összege és a másik két oldal illetve a kiválasztott oldallal szemközti szög koszinuszának szorzatának különbségével.

Térgeometria

  • -

    A kúp egy gúlaszerű térbeli test, melynek alapja egy kör.

  • -

    Megnézzük, hogy mi a kúp és a henger, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a kúpok és hengerek térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot hengerekre és kúpokra.

  • -

     Megnézzük, hogy mi a kúp és a henger, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a kúpok és hengerek térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot hengerekre és kúpokra.

  • -

    Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.

  • -

    Nézzük, hogyan kell kiszámolni a gúlák felszínét.

  • -

     Lássuk, hogyan kell kiszámolni a gúlák térfogatát.

  • -

    Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.

  • -

    Na és itt jön a hasábok felszíne.

  • -

    Lássuk, hogyan kell kiszámolni a hasábok térfogatát.

  • -

    A henger olyan, mint a hasáb, csak nem sokszög a két párhuzamos lap, hanem kör.

  • -

    Képlet henger felszínére.

  • -

    Képlet henger térfogatára.

  • -

    Ha a gömböt kettévágjuk egy olyan síkkal, ami épp átmegy a középpontján, akkor a vágás során keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával. Ezt a kört nevezzük főkörnek.

  • -

    A gömb egy adott ponttól (középpont) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.

  • -

    Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara. Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is, akkor egy átmérőt kapunk

  • -

    Képlet a gömb felszínére.

  • -

    Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara.

  • -

    Képlet a gömb térfogatára.

  • -

    Ha egy gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkagúlát kapunk.

  • -

    Képlet a csonkagúla felszínének kiszámítására.

  • -

    Képlet a csonkagúla térfogatának kiszámítására.

  • -

    Ha egy forgáskúpot az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkakúpot kapunk.

  • -

    Képlet a csonkakúp felszínének kiszámítására.

  • -

    Képlet a csonkakúp térfogatának kiszámítására.

A parabola

  • -

    A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy v egyenestől (vezéregyenes) és az egyenesre nem illeszkedő F ponttól (fókuszpont) egyenlő távolságra vannak.

  • -

    Hogyan írhatjuk fel a parabola egyenletét és milyen adatokra van ehhez szükség.

  • -

    A parabola egyenlete, ha tengelye párhuzamos az x tengellyel, illetve ha tengelye párhuzamos az y tengellyel.

Számtani és mértani sorozatok

Kombinatorika

  • -

    Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

  • -

    Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

  • -

    Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

  • -

    Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

  • -

    Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

  • -

    Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

Valószínűségszámítás

Statisztika

  • -

    A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.

  • -

    A módusz a leggyakoribb érték.

  • -

    Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.

  • -

    Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.

  • -

    Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.

  • -

    A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.

  • -

    Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.

  • -

    A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka: