Barion Pixel Újabb inverzfüggvények | mateking
 

Matematika alapok epizód tartalma:

Az inverz geometriai jelentése, Inverz függvény, Értelmezési tartomány, Értékkészlet, Exponenciális függvények inverze, Logaritmus függvények inverze.

A képsor tartalma

Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.

Az inverz kiszámolásának menete a következő:

Legyen mondjuk

Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:

Itt x-hez rendelünk y-t.

Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.

Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:

Az inverz jele:

Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.

Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .

A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.

De ha a negatív számokat kiiktatjuk,

nos akkor már minden rendben.

Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez

különböző y-okat rendelnek.

Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.

Az függvény injektív, ha akkor .

Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.

És van itt még egy dolog.

Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .

Nos, ekkor az értékkészlete .

Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.

Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.

Nézzünk néhány példát.

Adjuk meg az függvény inverzét, ha

Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.

Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.

Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.

Lássuk az inverzt

Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.

Lássuk az inverzt!

Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.

Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.

Lássunk még egyet.

Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.

és

Végül nézzük meg ezt is.

Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.

Van itt egy függvény

és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.

Nos ez.

Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.

A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.

És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.

Itt jön aztán egy másik remek függvény az

Nos ennek a függvénynek az inverze az

Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.

És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.

Nézzük meg például ennek az inverzét:

A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.

Vagy itt van például egy másik:

Az és az szintén egymás inverzei.

Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.

De talán egy még belefér…

Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Ez a legjobban áttekinthető, értelmezhető, használható és a legolcsóbb tanulási lehetőség.

    Eszter, 23
  • Zseniális bármilyen matek ismeret elsajátításához.

    Ákos, 19
  • Nagyon jó árba van, valamint jobb és érthetőbb, mint sok külön matek tanár.

    Márk, 22
  • Nem találsz külön tanárt? Ne is keress! Irány a mateking!!!!

    Bori, 19
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez