- Algebra, nevezetes azonosságok
- Másodfokú egyenletek
- Elsőfokú és másodfokú egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Nagyságrend-őrző becslések
- Halmazok
- Kijelentések, kvantorok, logikai állítások
- Teljes indukció
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis, rang
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás
- Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció
- Függvények ábrázolása
- Összetett függvény, értékkészlet, értelmezési tartomány
- Inverz függvények
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
- Gráfok
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Polinomok
- Feladatok függvényekkel
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Számelmélet
- Szöveges feladatok
- Síkgeometria
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Szinusztétel, Koszinusztétel
- Térgeometria
- A parabola
- Számtani és mértani sorozatok
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
Négyzetgyök
Egy $a$ nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete $a$.
\( a \geq 0 \qquad \sqrt{a}\geq 0 \qquad \sqrt{a}^2 = a \)
Gyökös azonosságok
\( \sqrt{ a \cdot b } = \sqrt{a} \cdot \sqrt{ b } \qquad a \geq 0, \; b \geq 0 \)
\( \sqrt{ \frac{a}{b} }= \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } \qquad a \geq 0, \; b > 0 \)
Köbgyök
Egy $a$ szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe $a$.
\( a \in R \qquad \left( \sqrt[3]{a} \right)^3 = a \)
Köbgyökös azonosságok
\( \sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \qquad a \in R, \; b \in R \)
\( \sqrt[3]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt[3]{b} } \qquad a \in R, \; b \in R \)
n-edik gyök
A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.
Egy $a$ nem negatív szám $n=2k$-adik gyöke az a nem negatív szám, amire:
\( \left( \sqrt[2k]{a} \right)^{2k} = a \)
Egy tetszőleges $a$ szám $n=2k+1$-edik gyöke az a szám, amire:
\( \left( \sqrt[2k+1]{a} \right)^{2k+1} = a \)
Gyökös egyenletek megoldása
A gyökös egyenletek megoldását mindig ezzel kell kezdeni:
\( \sqrt{ \text{IZÉ} } \Rightarrow \text{IZÉ} \geq 0 \)
\( \sqrt{ \text{IZÉ} } = \text{VALAMI} \Rightarrow \text{VALAMI} \geq 0 \)
Ezt követően az elsőszámú célunk, hogy megszabaduljunk a gyökjeltől, amit négyzetreemeléssel végezhetünk. Ilyenkor az a lehető legjobb, ha a gyökös izé magányosan álldogál.
Ha megszabadultunk a gyökjeltől, minden úgy megy tovább, ahogy azt már megszokhattuk az egyenleteknél.
A végén viszont fontos, hogy ellenőriznünk kell, a megoldásunk megfelel-e a feladat elején felírt kritériumnak.
a) \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = ? \)
b) \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = ? \)
c) \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = ? \)
d) \( \sqrt{112}-\sqrt{28}+\sqrt{63} = ? \)
e) \( \sqrt{96} - \sqrt{54} + \sqrt{24} = ? \)
f) \( \left( \sqrt{12} + \sqrt{3} \right)^2 = ? \)
Gyöktelenítsük a törteket.
a) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
b) \( \frac{5}{\sqrt{5}} \)
c) \( \frac{2}{\sqrt{x}} \)
d) \( \frac{3}{\sqrt{3}-1} \)
e) \( \frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
f) \( \frac{6}{\sqrt{x}+3} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \sqrt{x-4}=3 \)
b) \( \sqrt{x-5}=\sqrt{2-6x} \)
c) \( \sqrt{x-4}=6-x \)
d) \( \sqrt{x-1}=x-7 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \sqrt{x+3}+2=4x \)
b) \( \sqrt{4x+1}-\sqrt{x+3}=2 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt{x+5}=3 \)
\( \sqrt{x+5}=1-x \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt{x^2+8x+16}+3=\sqrt{x^2-6x+9} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \frac{x+1}{ \sqrt{x-3}}=\sqrt{x-3}+2 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \frac{3x+2}{ \sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}+8 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt{3x+13}+\sqrt{x+4}=\sqrt{10x+1} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt{8x+1}-\sqrt{2x+4}=\sqrt{x+3} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt[4]{x-3}+\sqrt{x-3}-2=0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt{x+16}-2=\frac{3}{\sqrt{x+16}} \)
Most pedig lássuk mi az a négyzetgyök.
Ép itt jön rá egy példa:
Ez egy olyan szám, amit ha négyzetre emelünk,
Akkor 9-et kapunk.
Hát ilyen éppen van…
Nézzünk még néhány példát:
Nos, ezzel viszont lesz egy kis gond…
√a-nak ugyanis azt kell tudnia, hogy 〖 √a〗^2 = a
És ez alapján〖 √(-3)〗^2= -3
Csak hát ez sajnos lehetetlen. Nem tudunk olyan számot
mondani, aminek a négyzete negatív.
A pozitív számok négyzete pozitív…
És a negatív számok négyzete is pozitív.
Így aztán nem létezik olyan szám, aminek a négyzete -3.
A gyökjel alatt tehát nem állhat negatív szám.
Ezek alapján a négyzetgyök definíciója valahogy így szól.
Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a
szám, aminek a négyzete a.
De sajnos van itt még egy kis gond.
Próbáljuk meg például megmondani ez alapján a definíció alapján,
hogy mennyi 9-nek a négyzetgyöke
Lássuk, megfelel-e ez a definíciónak:
*******
Nos, úgy néz ki, igen.
Mi ezzel a baj?
Nos, az a baj, hogy √9 nem lehet egyszerre +3 és -3 is.
A kettő közül csak az egyik lehet, annak ellenére, hogy
egyébként mindkét szám négyzete 9.
El kell döntenünk, hogy a kettő közül melyik legyen és ezt a
négyzetgyök definíciójába is bele kell építenünk.
Jegyezzük meg, hogy mindig a pluszosat tekintjük egy szám
négyzetgyökének.
…. nem negatív…
Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a
nem negatív szám, aminek a négyzete a.
És most lássuk, miket tud ez a négyzetgyök.
Na, ezt például nem…
A gyökvonás nem nagyon szereti az összeadást és a kivonást.
Vagyis nem létezik olyan azonosság, hogy mivel egyenlő
Hát ez nagy kár...
A szorzásra és osztásra viszont működik a dolog:
Itt jön aztán a köbgyök.
Ez azt tudja, hogy ha köbre emeljük, akkor a-t kapunk.
Lássunk néhány példát:
*** mert ***
Négyzetgyöknél nem lehetett negatív a gyökjel alatt.
De most igen…
A négyzetgyök alatt tehát csak nem negatív szám állhat,
de köbgyök alatt bármi.
Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.
Ez azt tudja, hogy ha köbre emeljük, akkor a-t kapunk.
Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.
Lássunk néhány példát:
mert
mert
mert
mert
Négyzetgyöknél nem lehetett negatív a gyökjel alatt.
De most igen…
A négyzetgyök alatt tehát csak nem negatív szám állhat, de köbgyök alatt bármi.
a
És most oszlassunk el egy téveszmét.
Itt jön ez az egyenlet…
és lássuk, mi történik, ha mindkét oldalból gyököt vonunk.
Nos, az történik, hogy
Ha egy egyenletből gyököt vonunk…
akkor az x mindig lesz.
Mert két olyan szám is van, aminek a négyzete 9.
Az egyik a 3 a másik a -3.
Ha viszont itt van ez, hogy
akkor csak egy megoldás van, mégpedig a 2.
A -2 azért nem jó, mert .
Na persze, ha éppen ezt kell megoldani…
Akkor pedig a -2 lesz a megoldás.
Végül nézzük mi a helyzet a negyedik gyökkel, ötödik gyökkel és társaival.
A negyedik gyök, hatodik gyök, sőt bármilyen páros kitevős gyök pontosan úgy viselkedik, mint a négyzetgyök.
Egy a nem negatív szám 2k-adik gyöke az a nem negatív szám, amire:
A páratlan kitevős gyök pedig úgy viselkedik, mint a köbgyök.
Egy tetszőleges a szám 2k+1-edik gyöke az a szám, amire:
