Matematika alapok epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogy mik azok az ortogonális mátrixok. Az is kiderül, hogy miért megtévesztő ez az elnevezés és látni fogjuk, hogy milyen fantasztikus tulajdonságokkal rendelkeznek az ortogonális mátrixok. Megnézünk néhány síkbeli transzformáció ortogonális mátrixát, aztán a tér forgatásainak ortogonális mátrixait.
Ez a vektorrendszer egy ortogonális rendszer.
A vektorok szépen egymásra merőlegesek, ahogyan egy ortogonális rendszerben lennie kell.
Ha az ortogonális vektorokat betesszük egy mátrixba…
Akkor logikusan hangzana, hogy egy ortogonális mátrixot kapunk.
De itt sajnos van egy kis gubanc az elnevezésekkel.
Az ortogonális vektorokat egymás mellé írva nem kapunk ortogonális mátrixot...
Egy ortogonális mátrix ugyanis olyan, ahol az oszlopvektorok egységnyi hosszúak.
Először tehát egységnyi hosszú vektorokat kell gyártanunk ezekből.
Kiszámoljuk a vektorok hosszát…
És aztán mindegyiket elosztjuk a saját hosszával.
Így kapjuk az ortonormált vektorokat:
Az ortogonális mátrixoknak néhány egészen elképesztő képessége van.
Az egyik leghasznosabb tulajdonságuk, hogy egy ortogonális mátrix inverze egyenlő a transzponáltjával.
Hogyha Q egy ortogonális mátrix, akkor:
De van itt még más is…
Q oszlopvektorai ortonormált rendszert alkotnak
Q sorvektorai ortonormált rendszert alkotnak
Itt van például ez a mátrix.
Számoljuk ki az inverzét…
Az A mátrix oszlopvektorai mind egységnyi hosszúak.
És bármely két oszlopvektor skaláris szorzata nulla.
Nem kell mást tennünk, mint normálni a bázisvektorokat.
Vagyis mindegyiket leosztani a saját hosszával.
Úgy tűnik, hogy az A mátrix ortogonális mátrix.
Egy ortogonális mátrix inverzét pedig nagyon egyszerű kiszámolni.
Csak transzponáljuk az eredeti mátrixot, és már kész is.
Most pedig nézzünk meg néhány ortogonális mátrixot.
Maga az egységmátrix nyilván ortogonális mátrix.
Szintén ortogonális mátrixok a permutációs mátrixok.
Ezeket úgy kapjuk, hogy az egységmátrix néhány sorát vagy oszlopát fölcseréljük.
Hogyha egy mátrixnak csak az oszlopvektorai alkotnak ortonormált rendszert…
Azokat a mátrixokat szemiortogonális mátrixnak nevezzük.
A síkbeli tükrözések és forgatások mátrixai ortogonális mátrixok…
Ez itt például az x tengelyre tükrözés mátrixa.
Ez a másik pedig az y tengelyre tükrözés.
Itt jön aztán az origó középpontú szögű forgatás mátrixa.
Most pedig nézzük, hogyan működik mindez térben…
Az egyenesre tükrözés térbeli megfelelője a síkra tükrözés lesz.
Az x és y tengely által kifeszített síkra tükrözés ortogonális mátrixa:
Forgatni pedig egyenesek körül tudunk.
Az x tengely körüli a szögű forgatás valahogy így néz ki…
És a mátrixa:
Persze forgathatunk a másik két tengely körüli is…
Az x, y és z tengelyek körüli forgatások mátrixai:
A forgatások mindhárom esetben egy síkban történnek.
A három tengely közül mindig az egyik tengely az, ami körül forgatunk…
és mindig a másik két tengely által kifeszített síkban.
Ezeket a koordinátasíkokban történő forgatásokat Givens forgatásnak nevezzük.
A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha mindezt a négydimenziós térben csináljuk…