Síkgeometria

Kezdjük a szereplőkkel.

Pont

Egyenes

Sík

Most pedig nézzük, mit is kezdhetnénk ezekkel.

Megmérhetjük például, hogy milyen távol vannak egymástól.

Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.

Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza.

Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.

Két egyenes távolsága már érdekesebb…

Van itt ez a két egyenes.

És vagy egy síkban fekszenek…

vagy nem.

Ha nem, akkor kitérő egyeneseknek nevezzük őket.

A távolságuk pedig ez.

Hamarosan ezt ennél egy kicsit pontosabban is képesek leszünk megfogalmazni.

De most nézzük, mi történik akkor, ha az egyenesek egy síkban vannak.

Ilyenkor vagy metszik egymást…

vagy pedig párhuzamosak.

És ezen utóbbi esetben a távolságuk az egyeneseket összekötő merőleges szakasz hossza.

Itt jön végül az egyenes és sík távolsága.

Ha az egyenes rajta fekszik a síkon, akkor a távolság nulla.

Ha az egyenes döfi a síkot…

na, ilyenkor nem értelmezzük a távolságot.

Ha az egyenes párhuzamos a síkkal,

akkor a távolságuk az egyenes tetszőleges pontjából a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.

És most pedig nézzük, mi a helyzet a síkokkal.

Két sík lehet egymással párhuzamos,

vagy metsző.

Ha metszők, akkor nem értelmezzük a távolságukat.

Ha párhuzamosak, akkor a két sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjából a másik síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.

És volt még itt régebben ez a kis ügy a kitérő egyenesekkel.

Ezeknek a távolsága…

az őket befogadó párhuzamos síkok távolsága.

És még egy dolog.

Próbáljuk meg kideríteni, hogy vajon mi lehet két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza.

Egy ilyen pont biztosan van…

A pontokat összekötő szakasz felezőpontja.

Sőt, van több is.

Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.

Ugyanez igaz erre a két pontra is.

Így aztán egyetlen olyan pont van, amely mindhárom ponttól azonos távolságra van.

Ez a pont egyúttal annak a körnek a középpontja, amely mindhárom ponton áthalad.

Most lássuk ugyanezt egyenesekkel.

Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza…

 a két egyenes szögének szögfelezője.

 Meg ez a másik is.

Ezen utóbbit külső szögfelezőnek nevezzük.

A külső és a belső szögfelező mindig merőleges egymásra.

Itt jön egy másik egyenes.

Az e-től és g-től egyenlő távolságra lévő pontok ezek.

Meg ezek.

Most lássuk, hány olyan pont van, ami mindhárom egyenestől azonos távolságra van…

Egészen pontosan négy darab.

Hamarosan az is kiderül, hogy ezek a pontok egészen fontos szerepet töltenek be a háromszögek életében.

Már jönnek is a háromszögek…

Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai, és trapézok

Van itt ez a háromszög, amiben a csúcsokat az ABC nagy

betűivel jelöljük…

Az oldalakat pedig kis betűkkel úgy, hogy az A csúccsal

szemben az a oldal van, a B csúccsal szemben a b…

Most pedig megismerkedünk a háromszögek nevezetes

pontjaival és vonalaival.

A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal

egyenesére bocsátott merőleges.

Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot

magasságpontnak nevezzük.

Vannak tompaszögű háromszögek is…

a magasságpont ilyen esetekben a háromszögön kívül tartózkodik.

A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal

felezőpontjával összekötő szakasz.

Nos, ezek is mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot

hívjuk a háromszög súlypontjának.

További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1

arányban osztja.

A háromszög oldalfelező merőleges egyenesei szintén egy pontban

metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és a

háromszög köré írható kör középpontja.

A háromszög belső szögfelezői szintén egy pontban metszik

egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.

Most pedig lássunk néhány képletet a háromszögek

területének kiszámolására.

És itt egy kevésbé ismert képlet is:

Most pedig lássuk, hogy milyen fajta háromszögek vannak.

Szerencsére nincsen túl sokféle.

Az egyik speciális típus az egyenlőszárú háromszög.

Ebben van két egyforma hosszú oldal, amiket szárnak nevezünk.

És hát van ugye a harmadik oldal, az alap.

Annyit érdemes róla megjegyezni, hogy az alaphoz tartozó súlyvonal, magasságvonal, oldalfelező merőleges és szögfelező mind egybeesik.

És ez egyúttal a háromszög szimmetriatengelye.

Tehát az alapon fekvő szögek egyformák…

A szárak szögét pedig ez a vonal felezi.

Olyankor, amikor az alap is ugyanolyan hosszú, mint a szárak…

a háromszög szabályos.

Minden oldala és szöge egyenlő.

Végül itt jön még egy speciális típus.

A derékszögű háromszög.

Mindig úgy szokás a derékszögű háromszög csúcsait elnevezni, hogy a C csúcsnál legyen a derékszög.

És a derékszöggel szemben lévő c oldalt átfogónak nevezzük.

A másik két oldalt befogóknak hívjuk.

A derékszögű háromszögek nagyon sok izgalmas élményt nyújtottak az emberiség számára.

Mindjárt nézünk is néhányat közülük.

De most jöjjenek a négyszögek.

Íme, ez egy négyszög.

A csúcsokat az abc nagy betűivel jelöljük, az oldalakat pedig…

Az oldalakat az abc kis betűivel jobb sodrással.

És a négyszögek rendelkeznek valami olyannal, amiről a háromszögek még csak nem is álmodhatnak…

Vannak átlóik.

Most pedig nézzük, hogy milyen típusú négyszögek vannak.

A legszabályosabb négyszög a négyzet.

Az oldalai egyenlő hosszúak, a csúcsaik derékszögek.

És az átlóik is merőlegesek egymásra.

A négyzetet kétféleképpen tudjuk elrontani.

Vagy az oldalait rontjuk el…

vagy a szögeit.

Az egyiket téglalapnak hívjuk, itt csúcsoknál lévő szögek továbbra is derékszögek, csak éppen az oldalaknak nem kell egyforma hosszúnak lennie.

TÉGLALAP

A másiknak a neve rombusz. Itt az oldalak továbbra is mind egyforma hosszúak, csak éppen a csúcsoknál nem kell derékszögnek lenni.

ROMBUSZ

De a téglalap és a rombusz hivatalos definíciója nem ez.

A helyzet egy kicsit izgalmasabb.

Ez itt mind téglalap…

Ez pedig itt mind rombusz.

Tehát a négyzet is téglalap.

Sőt a négyzet rombusz is.

Most már egy kicsit kezd zavarossá válni a helyzet, de aggodalomra semmi ok.

Mindjárt kitisztul.

Csak előbb itt jön még egy dolog.

Amiben a téglalap és a rombusz minden rossz tulajdonságát egyesítjük.

És íme, itt is van.

Ez egy oldalba lökött téglalap.

Vagy hivatalos nevén paralelogramma.

Rossz hír: újabb osztály…

 És kiderül, hogy tulajdonképpen itt eddig mindenki paralelogramma.

A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja.

Egy darab oldalpár…

és még egy.

A téglalap nem más, mint derékszögű paralelogramma.

A rombusz pedig egyenlő oldalú paralelogramma.

De van ám itt még más is.

Jönnek a trapézok.

A trapéz egy olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

Persze ettől még lehet neki több is…

Na, csináljunk egy kis helyet a trapézoknak is.

Úgy néz ki, hogy eddig itt mindenki trapéz.

De még mindig van újabb típus…

Ehhez most az átlókat kell nézni.

Mégpedig azt, hogy merőlegesek-e vagy sem.

A merőleges átlójúak közül azokat nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány-alakúak.

Ez deltoid…

Ez nem deltoid.

És végül vannak azok a négyszögek, amiknek nincsen semmilyen különösebb ismertetőjele.

Ez tehát a teljes kollekció.

A két nagy csoport a trapézok és a deltoidok csoportja.

Deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely.

Trapéz pedig az, amelynek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

A trapézok közül azokat, akiknek két párhuzamos oldalpárja is van paralelogrammának nevezzük.

Az egyenlő oldalú paralelogrammák a rombuszok.

A derékszögű paralelogrammák pedig a téglalapok.

Van azonban egy olyan dolog, amely minden négyszögben egyforma.

Hogyha összeadjuk a négyszögek belső szögeit…

akkor mindig 360 fokot kapunk.

És most lássuk, mi a helyzet a négyszögek területével.

A többi négyszög területét általában úgy lehet csak kiszámolni, hogy földaraboljuk őket háromszögekre…

A háromszögek területével pedig már valahogyan el tudunk bánni.

Jönnek a trapézok…

A trapéz olyan négyszög, aminek van kép párhuzamos oldala.

Ezeket hívjuk a trapéz alapjának.

És most lássuk a trapéz szögeit.

A trapéz szárain fekvő szögek tehát mindig 180 fokra egészítik ki egymást.

Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög ugyanakkora,

olyankor a trapéz szimmetrikus.

A szimmetrikus trapézt szokás még egyenlő szárú trapéznak

is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.

Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van

köré írható köre.

Innen ered a harmadik elnevezés: húrtrapéz.

Ha egy trapéznak nem csak két párhuzamos oldala van…

hanem a másik két oldal is párhuzamos, akkor úgy hívjuk, hogy paralelogramma.

A paralelogramma alapon fekvő szögeinek összege éppen 180 fok.

A paralelogramma területét egy ügyes kis átdarabolásos trükk segítségével tudjuk kiszámolni.

Ennek a téglalapnak a területe éppen

És ez éppen akkora, mint a paralelogramma területe.

A trapézok területéhez pedig egy újabb trükkre van szükség…

 Van itt ez a trapéz…

Sőt, itt van újra, csak most fordítva.

Ez így éppen egy paralelogramma, aminek területe a szokásos.

A trapéz területe pedig…

Most pedig lássunk néhány nagyon izgalmas trapézos feladatot…

Épp itt is jön az első. Egy trapéz alapon fekvő szögei közül az egyik 80 fokos, a másik 40 fokos. Mekkora a másik két szög?

Hát, nem ez lesz életünk legnehezebb feladata…

A trapéz szárain fekvő szögek mindig 180 fokra egészítik ki egymást.

Nézzünk egy kicsit nehezebbet is…

Itt jön aztán egy érdekesebb ügy. Egy trapéz egyik szárán fekvő két szögről tudjuk, hogy az egyik 40 fokkal nagyobb a másiknál. A másik száron fekvő szögekről pedig azt tudjuk, hogy az egyik kétszerese a másiknak. Mekkorák a trapéz szögei?

Kezdjük itt.

Az egyik szög 40 fokkal nagyobb a másiknál…

 A száron fekvő szögek összege mindig 180 fok:

A másik száron az egyik szög kétszerese a másiknak.

Az összege ezeknek is 180 fok:

Hát, ez is megvan.

Egy harmadik trapézban annyit tudunk, hogy a szögeinek aránya 3:4:5:6. Mekkorák a szögek?

Így hirtelen fogalmunk sincs, ezért legyen az egyik szög x…

Aztán a másik y, a harmadik z, és a negyedik…

Hát igen, nincs is már több betű.

Ez így mégsem lesz jó…

Hogyha ilyen arányok vannak megadva…

Akkor mindig ezt érdemes csinálni:

Mivel pedig minden négyszög belső szögeinek az összege 360 fok…

A trapéz szárain fekvő szögek összege mindig 180 fok…

Így aztán ezek a szögek tartoznak össze.

06 A Pitagorasz-tétel

Ha van olyan matematikai tétel, amit még azok is tudnak, akik bizonyítottan nem értenek a matematikához, akkor az a Pitagorasz-tétel.

Ismertsége talán annak is köszönhető, hogy nem túl bonyolult dolgot állít:

Vagyis egy derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.

A Pitagorasz-tétel bizonyítása nem igazán megerőltető feladat…

És most lássuk, mire használhatnánk a Pitagorasz-tételt, jóra vagy rosszra…

Van itt ez az egyenlőszárú háromszög, aminek a szárai 13 cm hosszúak, az alapja pedig 10 cm.

Mekkora a háromszög területe?

Hát, úgy durván ekkora:

Jó lenne tudni a háromszög magasságát.

És most jöhet a Pitagorasz-tétel.

Na, ez megvolna.

Nézzünk meg még egy ilyet.

Egy másik egyenlőszárú háromszögről azt tudjuk, hogy a területe 48 cm2 és a szárai 8 cm hosszúak.

Mekkora a háromszög alapja?

Lássuk, mit kezdhetnénk a területtel…

Itt van aztán ez a derékszögű háromszög.

Bár túl nagy örömöt nem fog okozni, számoljuk ki, hogy mekkora ez az x.

És végre kiderül, hogy mekkora az a.

Itt jön aztán egy másik érdekes ügy.

Számoljuk ki, hogy milyen hosszú egy a oldalú négyzet átlója.

Lássuk, hogyan segíthetne ebben a Pitagorasz-tétel.

Hát így:

Egy másik nagyon izgalmas történet az a oldalú szabályos háromszög magassága.

Ezeket még talán érdemes is megjegyezni.

A Pitagorasz után egy másik nagy klasszikus következik, akit Thalésznek hívnak.

Van itt ez a kör és egy rajta átmenő egyenes.

Az egyenesnek a kör belsejében lévő részét húrnak nevezzük.

Ha az egyenes éppen átmegy a kör középpontján, akkor az így keletkező húr neve átmérő.

És a hossza éppen a kör sugarának a kétszerese.

Erről az átmérőről szól a Thalész-tétel.

Válasszunk ki a köríven egy tetszőleges harmadik pontot.

Mondjuk ezt a C pontot itt.

Keletkezik két egyenlő szárú háromszög.

Ez az egyik…

és ez pedig a másik.

Az első háromszögben az alapon fekvő szögeket jelöljük –val.

A másikban pedig –val.

A háromszög belső szögeinek összege 180 fok.

Így van ez az ABC háromszögben is.

Ez a C pont lehet bárhol a köríven…

A C-ben lévő szög mindig derékszög lesz.

Erről szól a Thalész-tétel.

Thalész-tétel:

Ha az AB szakasz egy kör átmérője, és C a kör tetszőleges harmadik pontja, akkor az ACB-szög mindig derékszög.

Ezt úgy is szokás mondani, hogy az AB szakasz a körív bármely harmadik C pontjából derékszögben látszik.

És most nézzük, hogy mi történik akkor, ha az AB szakasz nem átmérő…

Van itt ez a kör és benne egy AB húr.

Most válasszunk egy tetszőleges pontot a nagyobbik AB köríven.

Az ACB-szöget kerületi szögnek nevezzük, és azt mondjuk, hogy a C pontból az AB szakasz  szögben látszik.

A kerületi szögek tétele azt mondja, hogy ez a szög a nagyobbik körív bármely pontjában ugyanakkora.

És a hozzá tartozó középponti szög mindig kétszer akkora.

Ugyanez elmondható a kisebbik körívről is.

És van itt még egy dolog.

Ahogy ez a rajzon is látszik, a nagyobbik és a kisebbik körívhez tartozó kerületi szögek mindig 180 fokra egészítik ki egymást.

A nagyobbik körív az szögű látókörív.

 Ennek minden pontjából az AB szakasz  szögben látszik.

A kisebbik körív a  szögű látókörív.

 Ennek pontjaiból az AB szakasz szögben látszik.

Ez eddig mind nagyon érdekes, de most már lássuk végre, hogy mire lehetne használni.

Nos, meg lehet előzni vele veszélyes járványok terjedését…

Ja, nem, azt mégse.

Viszont megtudhatunk egy érdekes dolgot a húrnégyszögekről.

A húrnégyszög olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.

Innen ered az elnevezése is – hihetetlenül frappáns.

Ez itt például egy húrnégyszög.

És itt látható a húrnégyszögek egyik fontos tulajdonsága: a szemközti szögeinek összege mindig 180 fok.

A dolog fordítva is igaz, tehát ha egy négyszögben a szemközti szögek összege 180 fok…

akkor az a négyszög húrnégyszög.

Ennek gyakorlati jelentősége annyi, hogy van körülírt köre.

Egy húrnégyszög egyik átlója átmegy a négyszög köré írható kör középpontján. Ez az átló a négyszög egyik oldalával 60 fokos szöget, a másik átlóval 80 fokos szöget zár be.

Mekkorák a húrnégyszög szögei?

Kéne ide erről egy ábra.

Az egyik átló átmegy a kör középpontján…

És az egyik oldallal 60 fokos szöget zár be.

A másik átlóval pedig 80 fokosat.

Hát, íme, itt volna az áldozat.

Mivel az átló átmegy a kör középpontján, a Thalész tétel miatt ez a szög derékszög.

És ez is.

Ez jó hír, akkor két szöge már meg is van a húrnégyszögnek.

Nézzük, mi a helyzet a másik kettővel.

Van itt ez a 60 fokos szög…

És a kerületi szögek tétele miatt ez is 60 fokos.

Ez pedig…

Ebben a háromszögben a hiányzó szög…

Ebben a másikban pedig…

Mivel pedig húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180 fok, a negyedik szög…

Hát erről ennyit.