- Algebra, nevezetes azonosságok
- Másodfokú egyenletek
- Elsőfokú és másodfokú egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Nagyságrend-őrző becslések
- Halmazok
- Kijelentések, kvantorok, logikai állítások
- Teljes indukció
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis, rang
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Ortogonális mátrixok, Gram-Schmidt ortogonalizáció
- Függvények ábrázolása
- Inverz függvények
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
- Gráfok
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Polinomok
- Feladatok függvényekkel
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Számelmélet
- Szöveges feladatok
- Síkgeometria
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Szinusztétel, Koszinusztétel
- Térgeometria
- A parabola
- Számtani és mértani sorozatok
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
Síkgeometria
Egyenes és sík távolsága
Ha az egyenes rajta fekszik a síkon, akkor a távolság nulla.
Ha az egyenes döfi a síkot, na ilyenkor nem értelmezzük a távolságot.
Ha az egyenes párhuzamos a síkkal, akkor a távolságuk az egyenes tetszőleges pontjából a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
Két egyenes távolsága
Ha a két egyenes egy síkban van, akkor vagy metszik egymást (ilyenkor a távolság 0), vagy párhuzamosak. Ha párhuzamosak, akkor távolságuk az egyeneseket összekötő merőleges szakasz hossza.
Ha a két egyenes nem egy síkban van, akkor kitérő egyeneseknek nevezzük őket.
A kitérő egyenesek távolsága pedig az őket befogadó párhuzamos síkok távolsága.
Két pont távolsága
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Két sík távolsága
Két sík lehet egymással párhuzamos, vagy metsző.
Ha metszők, akkor nem értelmezzük a távolságot.
Ha párhuzamosak, akkor a két sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjából a másik síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
Nevezetes ponthalmazok
Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.
Három ponttól azonos távolságra lévő pont a három pon köré írható kör középpontja.
Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes szögének szögfelezője.
Pont és egyenes távolsága
Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza.
Pont és sík távolsága
Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
Pont, egyenes, sík
Pont, egyenes és sík a tér elemei, alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletből kialakult jelentésükre hagyatkozunk.
Háromszög köré írható kör
A háromszög oldalfelezőmerőlegesei mindig egy pontban metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és emiatt a háromszög köré írható kör középpontja.
Háromszög magasságvonala és a magasságpont
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot magasságpontnak nevezzük.
Ha a háromszög tompaszögű, akkor a magasságpont a háromszögön kívülre esik.
Háromszög súlyvonala és a súlypont
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1 arányban osztja.
Háromszögbe írható kör
A háromszög belső szögfelezői mindig egy pontban metszik egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Képletek háromszög területére
A jól ismert képlet:
\( T = \frac{ a \cdot m_a}{2} = \frac{ b \cdot m_b}{2} = \frac{ c \cdot m_c}{2} \)
És egy kevésbé ismert:
\( T = \frac{abc}{4R} \)
Itt $R$ a háromszög köré írható körének sugara.
Derékszögű háromszög
Derékszögű háromszögnek van 90°-os szöge.
A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük, a másik kettőt pedig befogónak.
Egyenlő szárú háromszög
Az egyenlő szárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal, amiket szárnak nevezünk. És hát van ugye a harmadik oldal, ez az alap.
Annyit érdemes megjegyezni róla, hogy az alaphoz tartozó súlyvonal, magasságvonal, oldalfelező merőleges és szögfelező mind egybeesik. És ez egyúttal a háromszög szimmetriatengelye is.
És azt is jó tudni róla, hogy az alapon fekvő szögek egyformák.
Szabályos háromszög
Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).
Szabályos háromszögben a körülírt kör középpontja, a magasságpont és a súlypont is egybeesnek.
Deltoid
Azokat a négyszögeket nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány alakúak és az átlóik merőlegesek egymásra.
Precizebben: deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely.
Területe:
\( T = \frac{ e \cdot f }{2} \)
Négyzet
A legszabályosabb négyszög a négyzet.
Az oldalai egyenlőhosszúak, a szögeik derékszögek.
Az átlóik is merőlegesek egymásra.
Területe:
\( T = a^2 \)
Paralelogramma
A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja.
Területe:
\( T = a \cdot m_a = b \cdot m_b \)
Rombusz
Rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.
\( T = a \cdot m = \frac{ e \cdot f }{2} \)
Téglalap
Téglalapnál a szögek derékszögek, de az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.
Területe:
\( T = a \cdot b \)
Trapéz
A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.
Területe:
\( T = \frac{a+c}{2} \cdot m \)
Pitagorasz-tétel
A derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével, vagyis ha az átfogót $c$-vel jelöltük:
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
Thalész-tétel
A Thalész-tétel azt mondja, hogy ha az $AB$ szakasz egy kör átmérője, és $C$ a kör tetszőleges harmadik pontja, akkor az $ACB$-szög mindig derékszög.
Ezt úgy is szokás mondani, hogy az $AB$ szakasz a körív bármely harmadik $C$ pontjából derékszögben látszik.
Húrnégyszög
A húrnégyszög egy olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.
A húrnégyszögek egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy szemközti szögeinek összege mindig 180°.
Ha egy négyszögnél felfedezzük, hogy szemközti szögeinek összege 180°, akkor abból következik, hogy az húrnégyszög. Ez a gyakorlatban azt is jelenti, hogy van körülírt köre.
Kerületi szög
A kerületi szög egy körben lévő szög úgy, hogy a szög csúcsa a körvonal egy pontja, szárai pedig vagy a kör két húrja, vagy egy húrja és egy érintője.
Kerületi szögek tétele
Egy kör adott ívéhez tartozó kerületi szögek mind ugyanakkorák.
Középponti és kerületi szögek tétele
Egy körben egy adott ívhez tartozó bármely középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög nagyságának.
Látókörív
A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy $AB$ szakasz egy $0<\alpha<180°$ szögben látszik, két szimmetrikus körív.
Mi lehet két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza?
Mi lehet három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza?
Mi lehet két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza?
Hány olyan pont van, ami három egyenestől azonos távolságra van?
a) Mi a háromszög magasságvonala?
b) Mi a háromszög súlyvonala?
c) Mi a háromszög köré írható körének középpontja?
d) Mi a háromszög beírható körének középpontja?
Osztályozzuk a négyszögeket, készítsünk egy halmazábrát a különböző tulajdonságaik szerint.
a) Egy trapéz alapon fekvő szögei közül az egyik 80 fokos, a másik 40 fokos. Mekkora a másik két szöge?
b) Egy trapéz egyik szárán fekvő két szögről tudjuk, hogy az egyik 40 fokkal nagyobb a másiknál. A másik száron fekvő szögekről pedig azt tudjuk, hogy az egyik kétszerese a másiknak. Mekkorák a trapéz szögei?
c) Egy harmadik trapézról annyit tudunk, hogy szögeinek aránya 3:4:5:6. Mekkorák a szögei?
a) Van egy egyenlőszárú háromszög, melynek a szárai $13 cm$ hosszúak, az alapja pedig $10 cm$. Mekkora a háromszög területe?
b) Egy másik egyenlőszárú háromszögről azt tudjuk, hogy a területe $48 cm^2$ és a szárai $10 cm$ hosszúak. Mekkora a háromszög alapja?
c) Mekkora egy $a$ oldalú négyzet átlója?
d) Mekkora az $a$ oldalú szabályos háromszög magassága?
4. Egy húrnégyszög egyik átlója átmegy a négyszög köré írható kör középpontján. Ez az átló a négyszög egyik oldalával 60 fokos szöget, a másik átlóval 80 fokos szöget zár be. Mekkorák a húrnégyszög szögei?
Kezdjük a szereplőkkel.
Pont
Egyenes
Sík
Most pedig nézzük, mit is kezdhetnénk ezekkel.
Megmérhetjük például, hogy milyen távol vannak egymástól.
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza.
Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
Két egyenes távolsága már érdekesebb…
Van itt ez a két egyenes.
És vagy egy síkban fekszenek…
vagy nem.
Ha nem, akkor kitérő egyeneseknek nevezzük őket.
A távolságuk pedig ez.
Hamarosan ezt ennél egy kicsit pontosabban is képesek leszünk megfogalmazni.
De most nézzük, mi történik akkor, ha az egyenesek egy síkban vannak.
Ilyenkor vagy metszik egymást…
vagy pedig párhuzamosak.
És ezen utóbbi esetben a távolságuk az egyeneseket összekötő merőleges szakasz hossza.
Itt jön végül az egyenes és sík távolsága.
Ha az egyenes rajta fekszik a síkon, akkor a távolság nulla.
Ha az egyenes döfi a síkot…
na, ilyenkor nem értelmezzük a távolságot.
Ha az egyenes párhuzamos a síkkal,
akkor a távolságuk az egyenes tetszőleges pontjából a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
És most pedig nézzük, mi a helyzet a síkokkal.
Két sík lehet egymással párhuzamos,
vagy metsző.
Ha metszők, akkor nem értelmezzük a távolságukat.
Ha párhuzamosak, akkor a két sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjából a másik síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
És volt még itt régebben ez a kis ügy a kitérő egyenesekkel.
Ezeknek a távolsága…
az őket befogadó párhuzamos síkok távolsága.
És még egy dolog.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy vajon mi lehet két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza.
Egy ilyen pont biztosan van…
A pontokat összekötő szakasz felezőpontja.
Sőt, van több is.
Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza a két pontot összekötő szakasznak a szakaszfelező merőleges egyenese.
Ugyanez igaz erre a két pontra is.
Így aztán egyetlen olyan pont van, amely mindhárom ponttól azonos távolságra van.
Ez a pont egyúttal annak a körnek a középpontja, amely mindhárom ponton áthalad.
Most lássuk ugyanezt egyenesekkel.
Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza…
a két egyenes szögének szögfelezője.
Meg ez a másik is.
Ezen utóbbit külső szögfelezőnek nevezzük.
A külső és a belső szögfelező mindig merőleges egymásra.
Itt jön egy másik egyenes.
Az e-től és g-től egyenlő távolságra lévő pontok ezek.
Meg ezek.
Most lássuk, hány olyan pont van, ami mindhárom egyenestől azonos távolságra van…
Egészen pontosan négy darab.
Hamarosan az is kiderül, hogy ezek a pontok egészen fontos szerepet töltenek be a háromszögek életében.
Már jönnek is a háromszögek…
Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai, és trapézok
Van itt ez a háromszög, amiben a csúcsokat az ABC nagy
betűivel jelöljük…
Az oldalakat pedig kis betűkkel úgy, hogy az A csúccsal
szemben az a oldal van, a B csúccsal szemben a b…
Most pedig megismerkedünk a háromszögek nevezetes
pontjaival és vonalaival.
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal
egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot
magasságpontnak nevezzük.
Vannak tompaszögű háromszögek is…
a magasságpont ilyen esetekben a háromszögön kívül tartózkodik.
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal
felezőpontjával összekötő szakasz.
Nos, ezek is mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot
hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1
arányban osztja.
A háromszög oldalfelező merőleges egyenesei szintén egy pontban
metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és a
háromszög köré írható kör középpontja.
A háromszög belső szögfelezői szintén egy pontban metszik
egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Most pedig lássunk néhány képletet a háromszögek
területének kiszámolására.
És itt egy kevésbé ismert képlet is:
Most pedig lássuk, hogy milyen fajta háromszögek vannak.
Szerencsére nincsen túl sokféle.
Az egyik speciális típus az egyenlőszárú háromszög.
Ebben van két egyforma hosszú oldal, amiket szárnak nevezünk.
És hát van ugye a harmadik oldal, az alap.
Annyit érdemes róla megjegyezni, hogy az alaphoz tartozó súlyvonal, magasságvonal, oldalfelező merőleges és szögfelező mind egybeesik.
És ez egyúttal a háromszög szimmetriatengelye.
Tehát az alapon fekvő szögek egyformák…
A szárak szögét pedig ez a vonal felezi.
Olyankor, amikor az alap is ugyanolyan hosszú, mint a szárak…
a háromszög szabályos.
Minden oldala és szöge egyenlő.
Végül itt jön még egy speciális típus.
A derékszögű háromszög.
Mindig úgy szokás a derékszögű háromszög csúcsait elnevezni, hogy a C csúcsnál legyen a derékszög.
És a derékszöggel szemben lévő c oldalt átfogónak nevezzük.
A másik két oldalt befogóknak hívjuk.
A derékszögű háromszögek nagyon sok izgalmas élményt nyújtottak az emberiség számára.
Mindjárt nézünk is néhányat közülük.
De most jöjjenek a négyszögek.
Íme, ez egy négyszög.
A csúcsokat az abc nagy betűivel jelöljük, az oldalakat pedig…
Az oldalakat az abc kis betűivel jobb sodrással.
És a négyszögek rendelkeznek valami olyannal, amiről a háromszögek még csak nem is álmodhatnak…
Vannak átlóik.
Most pedig nézzük, hogy milyen típusú négyszögek vannak.
A legszabályosabb négyszög a négyzet.
Az oldalai egyenlő hosszúak, a csúcsaik derékszögek.
És az átlóik is merőlegesek egymásra.
A négyzetet kétféleképpen tudjuk elrontani.
Vagy az oldalait rontjuk el…
vagy a szögeit.
Az egyiket téglalapnak hívjuk, itt csúcsoknál lévő szögek továbbra is derékszögek, csak éppen az oldalaknak nem kell egyforma hosszúnak lennie.
TÉGLALAP
A másiknak a neve rombusz. Itt az oldalak továbbra is mind egyforma hosszúak, csak éppen a csúcsoknál nem kell derékszögnek lenni.
ROMBUSZ
De a téglalap és a rombusz hivatalos definíciója nem ez.
A helyzet egy kicsit izgalmasabb.
Ez itt mind téglalap…
Ez pedig itt mind rombusz.
Tehát a négyzet is téglalap.
Sőt a négyzet rombusz is.
Most már egy kicsit kezd zavarossá válni a helyzet, de aggodalomra semmi ok.
Mindjárt kitisztul.
Csak előbb itt jön még egy dolog.
Amiben a téglalap és a rombusz minden rossz tulajdonságát egyesítjük.
És íme, itt is van.
Ez egy oldalba lökött téglalap.
Vagy hivatalos nevén paralelogramma.
Rossz hír: újabb osztály…
És kiderül, hogy tulajdonképpen itt eddig mindenki paralelogramma.
A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja.
Egy darab oldalpár…
és még egy.
A téglalap nem más, mint derékszögű paralelogramma.
A rombusz pedig egyenlő oldalú paralelogramma.
De van ám itt még más is.
Jönnek a trapézok.
A trapéz egy olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.
Persze ettől még lehet neki több is…
Na, csináljunk egy kis helyet a trapézoknak is.
Úgy néz ki, hogy eddig itt mindenki trapéz.
De még mindig van újabb típus…
Ehhez most az átlókat kell nézni.
Mégpedig azt, hogy merőlegesek-e vagy sem.
A merőleges átlójúak közül azokat nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány-alakúak.
Ez deltoid…
Ez nem deltoid.
És végül vannak azok a négyszögek, amiknek nincsen semmilyen különösebb ismertetőjele.
Ez tehát a teljes kollekció.
A két nagy csoport a trapézok és a deltoidok csoportja.
Deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely.
Trapéz pedig az, amelynek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.
A trapézok közül azokat, akiknek két párhuzamos oldalpárja is van paralelogrammának nevezzük.
Az egyenlő oldalú paralelogrammák a rombuszok.
A derékszögű paralelogrammák pedig a téglalapok.
Van azonban egy olyan dolog, amely minden négyszögben egyforma.
Hogyha összeadjuk a négyszögek belső szögeit…
akkor mindig 360 fokot kapunk.
És most lássuk, mi a helyzet a négyszögek területével.
A többi négyszög területét általában úgy lehet csak kiszámolni, hogy földaraboljuk őket háromszögekre…
A háromszögek területével pedig már valahogyan el tudunk bánni.
Jönnek a trapézok…
A trapéz olyan négyszög, aminek van kép párhuzamos oldala.
Ezeket hívjuk a trapéz alapjának.
És most lássuk a trapéz szögeit.
A trapéz szárain fekvő szögek tehát mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög ugyanakkora,
olyankor a trapéz szimmetrikus.
A szimmetrikus trapézt szokás még egyenlő szárú trapéznak
is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.
Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van
köré írható köre.
Innen ered a harmadik elnevezés: húrtrapéz.
Ha egy trapéznak nem csak két párhuzamos oldala van…
hanem a másik két oldal is párhuzamos, akkor úgy hívjuk, hogy paralelogramma.
A paralelogramma alapon fekvő szögeinek összege éppen 180 fok.
A paralelogramma területét egy ügyes kis átdarabolásos trükk segítségével tudjuk kiszámolni.
Ennek a téglalapnak a területe éppen
És ez éppen akkora, mint a paralelogramma területe.
A trapézok területéhez pedig egy újabb trükkre van szükség…
Van itt ez a trapéz…
Sőt, itt van újra, csak most fordítva.
Ez így éppen egy paralelogramma, aminek területe a szokásos.
A trapéz területe pedig…
Most pedig lássunk néhány nagyon izgalmas trapézos feladatot…
Épp itt is jön az első. Egy trapéz alapon fekvő szögei közül az egyik 80 fokos, a másik 40 fokos. Mekkora a másik két szög?
Hát, nem ez lesz életünk legnehezebb feladata…
A trapéz szárain fekvő szögek mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
Nézzünk egy kicsit nehezebbet is…
Itt jön aztán egy érdekesebb ügy. Egy trapéz egyik szárán fekvő két szögről tudjuk, hogy az egyik 40 fokkal nagyobb a másiknál. A másik száron fekvő szögekről pedig azt tudjuk, hogy az egyik kétszerese a másiknak. Mekkorák a trapéz szögei?
Kezdjük itt.
Az egyik szög 40 fokkal nagyobb a másiknál…
A száron fekvő szögek összege mindig 180 fok:
A másik száron az egyik szög kétszerese a másiknak.
Az összege ezeknek is 180 fok:
Hát, ez is megvan.
Egy harmadik trapézban annyit tudunk, hogy a szögeinek aránya 3:4:5:6. Mekkorák a szögek?
Így hirtelen fogalmunk sincs, ezért legyen az egyik szög x…
Aztán a másik y, a harmadik z, és a negyedik…
Hát igen, nincs is már több betű.
Ez így mégsem lesz jó…
Hogyha ilyen arányok vannak megadva…
Akkor mindig ezt érdemes csinálni:
Mivel pedig minden négyszög belső szögeinek az összege 360 fok…
A trapéz szárain fekvő szögek összege mindig 180 fok…
Így aztán ezek a szögek tartoznak össze.
06 A Pitagorasz-tétel
Ha van olyan matematikai tétel, amit még azok is tudnak, akik bizonyítottan nem értenek a matematikához, akkor az a Pitagorasz-tétel.
Ismertsége talán annak is köszönhető, hogy nem túl bonyolult dolgot állít:
Vagyis egy derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.
A Pitagorasz-tétel bizonyítása nem igazán megerőltető feladat…
És most lássuk, mire használhatnánk a Pitagorasz-tételt, jóra vagy rosszra…
Van itt ez az egyenlőszárú háromszög, aminek a szárai 13 cm hosszúak, az alapja pedig 10 cm.
Mekkora a háromszög területe?
Hát, úgy durván ekkora:
Jó lenne tudni a háromszög magasságát.
És most jöhet a Pitagorasz-tétel.
Na, ez megvolna.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Egy másik egyenlőszárú háromszögről azt tudjuk, hogy a területe 48 cm2 és a szárai 8 cm hosszúak.
Mekkora a háromszög alapja?
Lássuk, mit kezdhetnénk a területtel…
Itt van aztán ez a derékszögű háromszög.
Bár túl nagy örömöt nem fog okozni, számoljuk ki, hogy mekkora ez az x.
És végre kiderül, hogy mekkora az a.
Itt jön aztán egy másik érdekes ügy.
Számoljuk ki, hogy milyen hosszú egy a oldalú négyzet átlója.
Lássuk, hogyan segíthetne ebben a Pitagorasz-tétel.
Hát így:
Egy másik nagyon izgalmas történet az a oldalú szabályos háromszög magassága.
Ezeket még talán érdemes is megjegyezni.
A Pitagorasz után egy másik nagy klasszikus következik, akit Thalésznek hívnak.
Van itt ez a kör és egy rajta átmenő egyenes.
Az egyenesnek a kör belsejében lévő részét húrnak nevezzük.
Ha az egyenes éppen átmegy a kör középpontján, akkor az így keletkező húr neve átmérő.
És a hossza éppen a kör sugarának a kétszerese.
Erről az átmérőről szól a Thalész-tétel.
Válasszunk ki a köríven egy tetszőleges harmadik pontot.
Mondjuk ezt a C pontot itt.
Keletkezik két egyenlő szárú háromszög.
Ez az egyik…
és ez pedig a másik.
Az első háromszögben az alapon fekvő szögeket jelöljük –val.
A másikban pedig –val.
A háromszög belső szögeinek összege 180 fok.
Így van ez az ABC háromszögben is.
Ez a C pont lehet bárhol a köríven…
A C-ben lévő szög mindig derékszög lesz.
Erről szól a Thalész-tétel.
Thalész-tétel:
Ha az AB szakasz egy kör átmérője, és C a kör tetszőleges harmadik pontja, akkor az ACB-szög mindig derékszög.
Ezt úgy is szokás mondani, hogy az AB szakasz a körív bármely harmadik C pontjából derékszögben látszik.
És most nézzük, hogy mi történik akkor, ha az AB szakasz nem átmérő…
Van itt ez a kör és benne egy AB húr.
Most válasszunk egy tetszőleges pontot a nagyobbik AB köríven.
Az ACB-szöget kerületi szögnek nevezzük, és azt mondjuk, hogy a C pontból az AB szakasz szögben látszik.
A kerületi szögek tétele azt mondja, hogy ez a szög a nagyobbik körív bármely pontjában ugyanakkora.
És a hozzá tartozó középponti szög mindig kétszer akkora.
Ugyanez elmondható a kisebbik körívről is.
És van itt még egy dolog.
Ahogy ez a rajzon is látszik, a nagyobbik és a kisebbik körívhez tartozó kerületi szögek mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
A nagyobbik körív az szögű látókörív.
Ennek minden pontjából az AB szakasz szögben látszik.
A kisebbik körív a szögű látókörív.
Ennek pontjaiból az AB szakasz szögben látszik.
Ez eddig mind nagyon érdekes, de most már lássuk végre, hogy mire lehetne használni.
Nos, meg lehet előzni vele veszélyes járványok terjedését…
Ja, nem, azt mégse.
Viszont megtudhatunk egy érdekes dolgot a húrnégyszögekről.
A húrnégyszög olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.
Innen ered az elnevezése is – hihetetlenül frappáns.
Ez itt például egy húrnégyszög.
És itt látható a húrnégyszögek egyik fontos tulajdonsága: a szemközti szögeinek összege mindig 180 fok.
A dolog fordítva is igaz, tehát ha egy négyszögben a szemközti szögek összege 180 fok…
akkor az a négyszög húrnégyszög.
Ennek gyakorlati jelentősége annyi, hogy van körülírt köre.
Egy húrnégyszög egyik átlója átmegy a négyszög köré írható kör középpontján. Ez az átló a négyszög egyik oldalával 60 fokos szöget, a másik átlóval 80 fokos szöget zár be.
Mekkorák a húrnégyszög szögei?
Kéne ide erről egy ábra.
Az egyik átló átmegy a kör középpontján…
És az egyik oldallal 60 fokos szöget zár be.
A másik átlóval pedig 80 fokosat.
Hát, íme, itt volna az áldozat.
Mivel az átló átmegy a kör középpontján, a Thalész tétel miatt ez a szög derékszög.
És ez is.
Ez jó hír, akkor két szöge már meg is van a húrnégyszögnek.
Nézzük, mi a helyzet a másik kettővel.
Van itt ez a 60 fokos szög…
És a kerületi szögek tétele miatt ez is 60 fokos.
Ez pedig…
Ebben a háromszögben a hiányzó szög…
Ebben a másikban pedig…
Mivel pedig húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180 fok, a negyedik szög…
Hát erről ennyit.
