- Algebra, nevezetes azonosságok
- Másodfokú egyenletek
- Elsőfokú és másodfokú egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Nagyságrend-őrző becslések
- Halmazok
- Kijelentések, kvantorok, logikai állítások
- Teljes indukció
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis, rang
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Ortogonális mátrixok, Gram-Schmidt ortogonalizáció
- Függvények ábrázolása
- Inverz függvények
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
- Gráfok
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Polinomok
- Feladatok függvényekkel
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Számelmélet
- Szöveges feladatok
- Síkgeometria
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Szinusztétel, Koszinusztétel
- Térgeometria
- A parabola
- Számtani és mértani sorozatok
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
Teljes indukció
Teljes indukció
A teljes indukció olyan állítások bizonyítására alkalmas, melyek $n$ pozitív egész számtól függenek.
A teljes indukciós bizonyítás lépései:
1. lépés: Igazoljuk, hogy az állítás $n=1$ esetén vagy az első néhány $n$-re igaz.
2. lépés: Igazoljuk, hogy ha az állítás $n$-re igaz, akkor $n+1$ esetén is igaz.
Ezzel az állítást minden $n$ pozitív egész számra belátjuk.
Bizonyítsuk be, hogy $1+3+5+\dots + 2n-1 = n^2$ minden pozitív egész $n$ esetén.
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra
\( 1\cdot 4 + 2\cdot 7 + \dots + n\cdot (3n+1) = n \cdot (n+1)^2 \)
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra
\( \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(2n-1)2n)} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{2n} \)
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra
\( 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + \dots + n (n+1) = \frac{ n(n+1)(n+2)}{3} \)
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra
\( \left( 1- \frac{1}{4} \right) \cdot \left( 1- \frac{1}{9} \right) \cdot \left( 1- \frac{1}{16} \right) \cdot \dots \cdot \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{n+1}{2n} \)
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy $n$ db. egyenes a síkot legfeljebb $ \frac{n^2+n+2}{2}$ részre osztja.
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra
\( (2+1) \cdot (2^2+1) \cdot \dots \cdot \left( 2^{2^n} + 1 \right) = 2^{2^{n+1}} -1 \)
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra
\( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-1}{2n} \geq \frac{1}{2 \sqrt{n}} \)
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra
\( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{3n} + \frac{1}{3n+1} > 1 \)
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra
\( \frac{n}{2} < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} \)
Igazoljuk teljes indukcióval, hogy $n$ db. kör a síkot legfeljebb $ n^2-n+2 $ részre osztja.
