Térgeometria

Gúlák, hasábok, kúpok, hengerek, térfogat és felszín

Van itt egy sík ezzel a háromszöggel,
és a sík felett egy pont.

Ha a pontot összekötjük a háromszögek csúcsaival, akkor egy térbeli
alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla. 

Az eredeti háromszöget a gúla alapjának nevezzük,
a gúla többi oldalát pedig oldallapnak. 

A dolog nem csak háromszöggel működik…
A gúlákat aszerint nevezzük el, hogy hány oldala van az alapnak.

háromoldalú gúla
négyoldalú gúla
ötoldalú gúla

Amikor az alap egy kör, nos olyankor más elnevezés van forgalomban.

forgáskúp

gúla            forgáskúp

Az eredeti síkbeli alakzatokból máshogyan is tudunk térbeli alakzatokat csinálni.
Ezeket úgy hívjuk, hogy hasáb. 
hasáb
Persze a legutolsó megint különcködik.
henger

Van ferde hasáb is.
A ferdeség attól függ, hogy ezek az összekötővonalak mekkora 
szöget zárnak be az alap síkjával. 
Az összekötővonalakat alkotónak hívjuk.
Ami azt illeti jobban szeretjük az egyenes hasábokat.
A gúla és a hasáb magasságát h-val jelöljük.
Az egyenes hasábnál ez megegyezik az oldallapok magasságával.
De a gúláknál sajna az oldallapok magassága általában nem ugyanakkora,
mint a gúla magassága. 
Ilyenkor a kétféle magasság közti kapcsolat felírásához hipnotikus állapot
és derékszögű háromszögek hallucinálása szükséges. 

És most nézzük meg, hogyan tudjuk kiszámolni ezeknek a testeknek a felszínét és a térfogatát.
Kezdjük a hasáb-típusúakkal.
Lássuk, miből áll a felszín.
Nos ebből:
A = T + T + palást területe
A = 2T + palást területe

És itt jön a térfogat: 

A gúla és kép típusú testek felszíne és térfogata:
A = T + palást területe

Hasábok és hengerek
A = 2T + palást területe
Gúlák és kúpok
A = T + palást területe

Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú.
Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis
felülete és milyen meredek az oldala.

Kezdjük a térfogattal.

A felszín a piramis négy oldallapjából áll.
Az alja ugyanis nem látszik.
Nézzük, mekkora egy oldal területe.
A háromszög szokásos területképletét
használjuk:
Ilyen oldallapból van négy.
Tehát a felszín:

És most nézzük, milyen meredek a piramis oldala.
Az alaplap és az oldallap közötti szöget kell kiszámolnunk.

Ha szeretnénk fölmászni a piramis tetejére, akkor az
egyik oldaléle érdemes menni.
Az ugyanis kevésbé meredek. 

Végül itt jön még egy dolog.

A három piramis közül a legkisebb a Menkaure-piramis.
A Nagy Piramis kétszer akkora, vagyis kétszer olyan magas és kétszer olyan hosszú.

Felépíteni azonban nem kétszer annyi ideig tart,
a benne lévő anyag ugyanis nem kétszer annyi, hanem sokkal több.

Azt, hogy pontosan hányszor annyi anyag van benne a következő kis trükkel
lehet megoldani.

Ha egy négyzetből szeretnénk egy kétszer akkora négyzetet csinálni…
akkor a nagy négyzethez 4 darab kis négyzetre van szükség. 

Ha egy kockából szeretnénk kétszer akkora kockát építeni, akkor
8 darab kis kocka kell hozzá.

Egy alakzat területe négyzetesen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a területe γ2-szeresére változik. 

Egy alakzat térfogata köbösen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit  γ-szeresére
változtatjuk, akkor a térfogata γ3-szeresére változik. 

Visszatérve a piramisokhoz ez azt jelenti, hogy a 2-szer akkora 
piramis térfogata 23-szor akkora. 
Vagyis 8-szor akkora. 

Itt jön egy újabb izgalmas térbeli alakzat, a gömb.

Hogyha a gömb középpontját…
…összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával…
az így keletkező szakaszok hossza állandó, és ez a hosszúság a gömb sugara.

A sugarat r-el jelöljük.

Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is…
Akkor egy átmérőt kapunk.

Az átmérő jele d, és mindig a sugár kétszerese.

Az r sugarú gömb felszíne és térfogata:
 
 

És most lássuk, mire használhatnánk ezeket a képleteket, jóra vagy rosszra…

A Föld sugara 6378 km.

A Mars sugara pedig 3397 km.
 

Számoljuk ki a Föld és a Mars felszínét, és térfogatát.

A Föld felszíne:
 

Legalábbis ennyi lenne akkor, hogyha a Föld gömb alakú lenne.
Csak hát a Föld nem gömb alakú…
De még mielőtt a lapos-Föld-hívők csillogó szemekkel néznék tovább ezt az epizódot …
Nem erről van szó.
A Föld szinte tökéletesen gömb alakú, néhol picike eltérésekkel, így a felülete valójában kicsit kisebb, úgy kb. 510 millió km2.

De most nem csillagásznak készülünk, úgyhogy maradunk ennél az 511 milliónál…

Nézzük, mekkora a felszíne a Marsnak.
 

Hát ez is jó nagy…

A Föld felszíne viszont sokkal nagyobb.

Ha elosztjuk a Föld felszínét a Mars felszínével:

Akkor azt kapjuk, hogy a Föld felszíne 3,5-ször nagyobb, mint a Marsé.

Most nézzük a térfogatokat.

A Föld térfogata:

A Mars térfogata pedig:

Nézzük, hányszorosa a Föld térfogata a Mars térfogatának.

A Mars majdnem hétszer beleférne a Földbe.

A Jupiter pedig még ennél is nagyob…

Hogyha elosztjuk ezt a Föld térfogatával…

A Jupiterbe 1408-szor férne bele a Föld.

Hogyha a gömböt egy síkkal elvágjuk…
Akkor két gömbszelet keletkezik.
Egy nagyobb meg egy kisebb.

Ha a sík éppen áthalad a gömb középpontján…
Akkor két egyforma méretű félgömbre vágja a gömböt.

Az így keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával.

Ezt a kört főkörnek nevezzük.

A Földön az egyenlítő például egy főkör.
És a hosszúsági körök is főkörök.

Egy hőlégballon lényegében szabályos gömb alakú. A ballont 14 darab egyenként 44 m2-es egyforma darabból, úgynevezett gömbkétszögből rakták össze. Milyen széles lesz a ballon, hogyha megtöltik levegővel? Hány köbméter levegő kell a megtöltéséhez?

Itt egy gömbkétszög.
De ez végülis mindegy is, hiszen a 14 darab 44 m2-es gömbkétszög éppen kiadja a teljes gömbfelületet:

A hőlégballon szélessége pedig…
A ballon átmérője.
Vagyis a sugár kétszerese.
 

A ballon térfogatát is könnyedén ki tudjuk számolni:
 

Egy mérőedényben 2 liter víz van. Beleejtünk egy gömb alakú vasgolyót, és ennek hatására a vízszint 3,5 literre emelkedik. A víz a vasgolyót teljesen ellepi. Mekkora a vasgolyó felszíne cm2-ben megadva?

Íme, a mérőedény vasgolyó nélkül…
És vasgolyóval.

A golyó térfogata éppen annyi, amennyivel többet mutat a mérce.
A jelek szerint egy 1,5 literes vasgolyóval van dolgunk.

Ezt most megpróbáljuk átváltani köbcentire.

Egy 10 cm x 10 cm x 10 cm méretű kocka éppen 1 liter.
 

 
A felszín pedig:

 
Hát, ennyit a gömbökről…