- Algebra, nevezetes azonosságok
- Másodfokú egyenletek
- Elsőfokú és másodfokú egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Nagyságrend-őrző becslések
- Halmazok
- Kijelentések, kvantorok, logikai állítások
- Teljes indukció
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis, rang
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Ortogonális mátrixok, Gram-Schmidt ortogonalizáció
- Függvények ábrázolása
- Inverz függvények
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
- Gráfok
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Polinomok
- Feladatok függvényekkel
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Számelmélet
- Szöveges feladatok
- Síkgeometria
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Szinusztétel, Koszinusztétel
- Térgeometria
- A parabola
- Számtani és mértani sorozatok
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
Térgeometria
Forgáskúp
A kúp egy gúlaszerű térbeli test, melynek alapja egy kör.
A kúp felszíne:
\( A = T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=\frac{T\cdot h}{3} \)
ahol $h$ a kúp magassága.
Forgáskúp felszíne
\( A = T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap területe
Forgáskúp térfogata
\( V=\frac{T\cdot h}{3} \)
ahol $h$ a kúp magassága.
Gúla
Vegyünk egy síkbeli sokszöget és a sík felett egy pontot. Ha a pontot összekötjük a síkbeli alakzat csúcsaival, akkor egy térbeli alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla.
A gúla felszíne:
\( A = T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=\frac{T\cdot h}{3} \)
ahol $h$ a gúla magassága.
Gúla felszíne
\( A = T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap területe
Hasáb
A hasáb egy olyan test, amelynek két párhuzamos lapja egymással egybevágó sokszög, a többi lapja pedig paralelogramma.
A hasábok felszíne:
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=T\cdot h \)
ahol $h$ a hasáb magassága.
Hasáb felszíne
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap (vagy fedőlap) területe
Henger
A henger olyan, mint a hasáb, csak nem sokszög a két párhuzamos lap, hanem kör.
A hengerek felszíne:
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=T\cdot h \)
ahol $h$ a henger magassága.
Henger felszíne
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap területe
Főkör
Ha a gömböt kettévágjuk egy olyan síkkal, ami épp átmegy a középpontján, akkor a vágás során keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával. Ezt a kört nevezzük főkörnek.
Gömb
A gömb egy adott ponttól (középpont) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.
A gömb felszíne:
\( A = 4 r^2 \pi \)
Térfogata pedig:
\( V=\frac{4r^3 \pi}{3} \)
ahol $r$ a gömb sugara.
Gömb átmérője
Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara. Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is, akkor egy átmérőt kapunk
Az átmérő jele $d$, és mindig sugár kétszerese.
Gömb sugara
Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara.
A sugarat $r$-el jelöljük.
Csonkagúla
Ha egy gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkagúlát kapunk.
A csonkagúla felszíne:
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V = \frac{ \left( T + \sqrt{T \cdot t} + t \right) \cdot h}{3} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, $h$ pedig a csonkagúla magassága.
Csonkagúla felszíne
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, $h$ pedig a csonkagúla magassága.
Csonkagúla térfogata
\( V = \frac{ \left( T + \sqrt{T \cdot t} + t \right) \cdot h}{3} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, $h$ pedig a csonkagúla magassága.
Csonkakúp
Ha egy forgáskúpot az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkakúpot kapunk.
A csonkakúp felszíne:
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V = \frac{ \left( T + \sqrt{T \cdot t} + t \right) \cdot h}{3} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, $h$ pedig a csonkakúp magassága.
Csonkakúp felszíne
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ pedig a fedőlap területe.
Csonkakúp térfogata
\( V = \frac{ \left( T + \sqrt{T \cdot t} + t \right) \cdot h}{3} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, $h$ pedig a csonkakúp magassága.
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú. Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis felülete és milyen meredek az oldala.
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) A Föld sugara 6378 km, a Mars sugara pedig 3397 km. Számoljuk ki a Föld és a Mars felszínét, és térfogatát.
b) Egy hőlégballon lényegében szabályos gömb alakú. A ballont 14 darab egyenként $44 m^2$-es egyforma darabból, úgynevezett gömbkétszögből rakták össze. Milyen széles lesz a ballon, hogyha megtöltik levegővel? Hány köbméter levegő kell a megtöltéséhez?
c) Egy mérőedényben 2 liter víz van. Beleejtünk egy gömb alakú vasgolyót, és ennek hatására a vízszint 3,5 literre emelkedik. A víz a vasgolyót teljesen ellepi. Mekkora a vasgolyó felszíne $cm^2$-ben megadva?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy négyzet alapú egyenes csonkagúla alapéle 10 cm, fedőéle 6 cm, magassága 14 cm. Mekkora a térfogata és felszíne?
b) Egy 24 cm magas virágtartó edény alja 16 cm átmérőjű körlap. Az edény csonkakúp alakú, a tetején a fedőkör sugara 18 cm. Hány liter föld fér az edénybe, ha teljesen megtöltjük? Mekkora az edény külső felülete?
Egy kocka élének hossza \( a=12 \) cm. Az ábrán látható módon berajzoljuk 3 lapátlóját és az így keletkező tetraédert levágjuk a kockából. Mekkora az így megmaradt test térfogata és felszíne?
Egy szabályos négyoldalú gúla oldallapja 50°-os szöget zár be az alappal. A gúla alapja 36 \( cm^2 \). Mekkora a gúla térfogata, és mekkora az oldalélek hajlásszöge az alappal?
Egy üvegből készült szabályos négyoldalú gúla alapja 20 cm hosszú, az alaplap az oldallapokkal 60°-os szöget zár be. Egy lyukon keresztül vizet lehet tölteni a gúlába. 1l víz térfogata 1 \( dm^3\).
a) Hány liter vizet kell beletöltenünk ahhoz, hogy a víz éppen a gúla magasságának a feléig érjen?
b) Milyen magasan áll a víz akkor, amikor éppen a gúla térfogatának felét töltjük fel vízzel?
Adott egy négyzetalapú gúla, melynek alapéle 6 cm, oldaléle 5 cm hosszúságú. Számítsuk ki a gúla térfogatát és felszínét!
Két egybevágó, szabályos négyoldalú gúla alapélei 2 cm, oldalélei 3 cm hosszúak. A két gúlát az alapjuknál összeragasztjuk. Mekkora ennek a testnek a térfogata és felszíne?
Egy 10 cm oldalhosszúságú négyzetet megforgatunk a középvonala körül. Mekkora az így létrejövő test térfogata és felszíne?
Egy 10 cm oldalhosszúságú négyzetet megforgatunk az átlója körül. Mekkora az így létrejövő test térfogata és felszíne?
Egy téglatest alakú akvárium egy csúcsból kiinduló éle 30 cm, 40 cm, illetve 50 cm hosszúak. Hány literes ez az akvárium?
Egy parkbeli szökőkút medencéjének alakja szabályos hatszög alapú egyenes hasáb. A szabályos hatszög egy oldala 2,4 m hosszú, a medence mélysége 0,4 m. A medence alját és oldalait csempével burkolták, majd a medencét teljesen feltöltötték vízzel. Hány \( m^2 \) területű a csempével burkolt felület, és legfeljebb hány liter víz fér el a medencében?
Gúlák, hasábok, kúpok, hengerek, térfogat és felszín
Van itt egy sík ezzel a háromszöggel,
és a sík felett egy pont.
Ha a pontot összekötjük a háromszögek csúcsaival, akkor egy térbeli
alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla.
Az eredeti háromszöget a gúla alapjának nevezzük,
a gúla többi oldalát pedig oldallapnak.
A dolog nem csak háromszöggel működik…
A gúlákat aszerint nevezzük el, hogy hány oldala van az alapnak.
háromoldalú gúla
négyoldalú gúla
ötoldalú gúla
Amikor az alap egy kör, nos olyankor más elnevezés van forgalomban.
forgáskúp
gúla forgáskúp
Az eredeti síkbeli alakzatokból máshogyan is tudunk térbeli alakzatokat csinálni.
Ezeket úgy hívjuk, hogy hasáb.
hasáb
Persze a legutolsó megint különcködik.
henger
Van ferde hasáb is.
A ferdeség attól függ, hogy ezek az összekötővonalak mekkora
szöget zárnak be az alap síkjával.
Az összekötővonalakat alkotónak hívjuk.
Ami azt illeti jobban szeretjük az egyenes hasábokat.
A gúla és a hasáb magasságát h-val jelöljük.
Az egyenes hasábnál ez megegyezik az oldallapok magasságával.
De a gúláknál sajna az oldallapok magassága általában nem ugyanakkora,
mint a gúla magassága.
Ilyenkor a kétféle magasság közti kapcsolat felírásához hipnotikus állapot
és derékszögű háromszögek hallucinálása szükséges.
És most nézzük meg, hogyan tudjuk kiszámolni ezeknek a testeknek a felszínét és a térfogatát.
Kezdjük a hasáb-típusúakkal.
Lássuk, miből áll a felszín.
Nos ebből:
A = T + T + palást területe
A = 2T + palást területe
És itt jön a térfogat:
A gúla és kép típusú testek felszíne és térfogata:
A = T + palást területe
Hasábok és hengerek
A = 2T + palást területe
Gúlák és kúpok
A = T + palást területe
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú.
Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis
felülete és milyen meredek az oldala.
Kezdjük a térfogattal.
A felszín a piramis négy oldallapjából áll.
Az alja ugyanis nem látszik.
Nézzük, mekkora egy oldal területe.
A háromszög szokásos területképletét
használjuk:
Ilyen oldallapból van négy.
Tehát a felszín:
És most nézzük, milyen meredek a piramis oldala.
Az alaplap és az oldallap közötti szöget kell kiszámolnunk.
Ha szeretnénk fölmászni a piramis tetejére, akkor az
egyik oldaléle érdemes menni.
Az ugyanis kevésbé meredek.
Végül itt jön még egy dolog.
A három piramis közül a legkisebb a Menkaure-piramis.
A Nagy Piramis kétszer akkora, vagyis kétszer olyan magas és kétszer olyan hosszú.
Felépíteni azonban nem kétszer annyi ideig tart,
a benne lévő anyag ugyanis nem kétszer annyi, hanem sokkal több.
Azt, hogy pontosan hányszor annyi anyag van benne a következő kis trükkel
lehet megoldani.
Ha egy négyzetből szeretnénk egy kétszer akkora négyzetet csinálni…
akkor a nagy négyzethez 4 darab kis négyzetre van szükség.
Ha egy kockából szeretnénk kétszer akkora kockát építeni, akkor
8 darab kis kocka kell hozzá.
Egy alakzat területe négyzetesen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a területe γ2-szeresére változik.
Egy alakzat térfogata köbösen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a térfogata γ3-szeresére változik.
Visszatérve a piramisokhoz ez azt jelenti, hogy a 2-szer akkora
piramis térfogata 23-szor akkora.
Vagyis 8-szor akkora.
Itt jön egy újabb izgalmas térbeli alakzat, a gömb.
Hogyha a gömb középpontját…
…összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával…
az így keletkező szakaszok hossza állandó, és ez a hosszúság a gömb sugara.
A sugarat r-el jelöljük.
Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is…
Akkor egy átmérőt kapunk.
Az átmérő jele d, és mindig a sugár kétszerese.
Az r sugarú gömb felszíne és térfogata:
És most lássuk, mire használhatnánk ezeket a képleteket, jóra vagy rosszra…
A Föld sugara 6378 km.
A Mars sugara pedig 3397 km.
Számoljuk ki a Föld és a Mars felszínét, és térfogatát.
A Föld felszíne:
Legalábbis ennyi lenne akkor, hogyha a Föld gömb alakú lenne.
Csak hát a Föld nem gömb alakú…
De még mielőtt a lapos-Föld-hívők csillogó szemekkel néznék tovább ezt az epizódot …
Nem erről van szó.
A Föld szinte tökéletesen gömb alakú, néhol picike eltérésekkel, így a felülete valójában kicsit kisebb, úgy kb. 510 millió km2.
De most nem csillagásznak készülünk, úgyhogy maradunk ennél az 511 milliónál…
Nézzük, mekkora a felszíne a Marsnak.
Hát ez is jó nagy…
A Föld felszíne viszont sokkal nagyobb.
Ha elosztjuk a Föld felszínét a Mars felszínével:
Akkor azt kapjuk, hogy a Föld felszíne 3,5-ször nagyobb, mint a Marsé.
Most nézzük a térfogatokat.
A Föld térfogata:
A Mars térfogata pedig:
Nézzük, hányszorosa a Föld térfogata a Mars térfogatának.
A Mars majdnem hétszer beleférne a Földbe.
A Jupiter pedig még ennél is nagyob…
Hogyha elosztjuk ezt a Föld térfogatával…
A Jupiterbe 1408-szor férne bele a Föld.
Hogyha a gömböt egy síkkal elvágjuk…
Akkor két gömbszelet keletkezik.
Egy nagyobb meg egy kisebb.
Ha a sík éppen áthalad a gömb középpontján…
Akkor két egyforma méretű félgömbre vágja a gömböt.
Az így keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával.
Ezt a kört főkörnek nevezzük.
A Földön az egyenlítő például egy főkör.
És a hosszúsági körök is főkörök.
Egy hőlégballon lényegében szabályos gömb alakú. A ballont 14 darab egyenként 44 m2-es egyforma darabból, úgynevezett gömbkétszögből rakták össze. Milyen széles lesz a ballon, hogyha megtöltik levegővel? Hány köbméter levegő kell a megtöltéséhez?
Itt egy gömbkétszög.
De ez végülis mindegy is, hiszen a 14 darab 44 m2-es gömbkétszög éppen kiadja a teljes gömbfelületet:
A hőlégballon szélessége pedig…
A ballon átmérője.
Vagyis a sugár kétszerese.
A ballon térfogatát is könnyedén ki tudjuk számolni:
Egy mérőedényben 2 liter víz van. Beleejtünk egy gömb alakú vasgolyót, és ennek hatására a vízszint 3,5 literre emelkedik. A víz a vasgolyót teljesen ellepi. Mekkora a vasgolyó felszíne cm2-ben megadva?
Íme, a mérőedény vasgolyó nélkül…
És vasgolyóval.
A golyó térfogata éppen annyi, amennyivel többet mutat a mérce.
A jelek szerint egy 1,5 literes vasgolyóval van dolgunk.
Ezt most megpróbáljuk átváltani köbcentire.
Egy 10 cm x 10 cm x 10 cm méretű kocka éppen 1 liter.
A felszín pedig:
Hát, ennyit a gömbökről…
