Első gyakorlat

A témakör tartalma


Függvények ábrázolása

Kezdjük egy nagyon egyszerű dologgal.

Nézzük meg, hogyan működnek a függvények.

Nos itt van az x tengely, tele számokkal.

x tengely

A függvény pedig ezek közül a számok közül bizonyos számokhoz hozzárendel egy másik számot.

Mondjuk hozzárendeli a négyzetüket.

Ezt a függvényt így jelöljük, hogy

Legtöbbször ezt a harmadik jelölést fogjuk használni.

Azokat a szerencsés x-eket amikhez a függvény hozzárendel valamit, értelmezési tartománynak nevezzük és -el jelöljük.

Az x2-nél ez az egész x tengely.

De itt jön például a  

ami negatív x-ekre nincs értelmezve.

Így aztán az értelmezési tartomány:

Az y tengelynek azt a részét, amit az x-ekhez hozzárendeltünk értékkészletnek nevezzük.

Az értékkészlet jele

Most pedig térjünk vissza az x2 függvényhez.

Az x2 függvény grafikonja egy parabola, a parabolának a csúcsa az origóban van.

De ha x helyére azt írjuk, hogy

nos akkor odébb megy.

A parabola csúcsa mindig ott van, ahol ez nulla.

Most éppen -nál.

Itt jön aztán mondjuk ez.

Ha a négyzeten kívül még hozzáadunk hármat,

nos az az y tengelyen tolja el 3-mal.

Ezt belső függvény transzformációnak nevezzük,

ezt pedig külsőnek.

Ha van egy ilyen, hogy

akkor a belső transzformáció miatt az x tengely mentén tolódik el,

a külső miatt pedig az y tengely mentén.

Lássuk mi történik, ha ide 2x-et írunk.

Nos ekkor az y tengely mentén van egy kis megnyúlás,

de ez nem annyira izgalmas.

Ami sokkal izgalmasabb, hogy az eltolódás is megváltozik.

És most lássuk, hogyan nézhet ki ez.

A -et már ismerjük.

Ezt kell arrébb tolnunk az x tengelyen lássuk csak…

3-mal.

Az y tengelyen pedig 2-vel.

Ha pedig van egy ilyen, hogy

nos akkor a 3x miatt kicsit megnyúlik,

aztán pedig a szokásos.

Ha a  elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.

Ha belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor ezáltal az y tengelyre tükrözzük.

És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt mindkét tengelyre is.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha ezt ötvözzük az eddigi tologatással.

Nézzük meg például, hogy vajon hogyan nézhet ki ez a függvény.

Lesz egy kis eltolódás az x tengelyen,

aztán az y tengelyen is,

és végül a mínuszjel miatt egy tükrözés.

Ha a mínuszjel kívül van, nos akkor egészen más a helyzet:

Hát ez remek. Ez a külső függvénytranszformáció meg belső függvénytranszformáció igazán nagyon izgalmas elfoglaltság. Most pedig nézzük mi jöhet még.


A teljes négyzetté kiegészítés művészete

A teljes négyzetté kiegészítés művészete.

Az előző képsorban látott függvény-transzformációk alapján megpróbáljuk ábrázolni ezt a függvényt.

Ahhoz, hogy eldönthessük, ez a függvény milyen transzformációknak esett áldozatául, először egy nagyon vicces dolgot kell csinálnunk vele.

Ezt a dolgot teljes négyzetté kiegészítésnek nevezzük és még később is sokszor kelleni fog, így hát essünk túl rajta.

A lényeg ez a két azonosság:

Most éppen ebbe az irányba használjuk majd őket.

Addig-addig nézegetjük a függvényt, amíg belelátjuk valamelyik azonosságot.

Lássuk csak mennyi lehet vajon b.

Nos ennyi: 

És ezt már tudjuk ábrázolni, ha még emlékszünk az előző képsorra.

Nézzük meg ezt is:


Exponenciális függvények és hatványazonosságok

Most pedig itt az ideje, hogy újabb függvényekkel ismerkedjünk meg.

A következő képsorban már jönnek is az exponenciális függvények.

Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.

Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy

de semmi ördögi nem lesz itt.

Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.

Hát nézzük meg.

Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor

a kitevők összeadódnak.

Ez lesz az első azonosság.

HATVÁNYAZONOSSÁGOK

Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.

De azért van itt egy apró kellemetlenség.

Már jön is.

Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.

Itt pedig a kitevő negatív lesz.

Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.

Nos így:

A kitevőket kell összeszoroznunk.

Itt van aztán ez, hogy

Na ez vajon mi lehet?

Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.

Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.

Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.

A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.

Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.

Ha van egy ilyen, hogy

nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.

Jön itt még néhány újabb képlet,

de most már lássuk a függvényeket.

Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.

Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.

Például egy ilyen szám a

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.

Ez a függvény tehát az ex.

Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.

Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.


Jujj, logaritmus

Színre lép a logaritmus

És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.

Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.

Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.

Itt van például ez:

Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.

Nos 23=8, tehát a válasz…

Vagy nézzük meg ezt:

Nos lássuk csak

Itt jön aztán egy nehezebb ügy:

A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.

A jó válasz:

Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:

A kérdés, 8 a hányadikon a 16.

Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.

Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,

utána pedig a 2-ből 16-ot.

Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:

Sőt ez sem:

Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.

LOGARITMUS AZONOSSÁGOK

A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez

Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.

És voila.

Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy 

akkor ebből így kapjuk meg x-et.

A megfordítását is jegyezzük meg, ha

akkor így kapjuk meg x-et.

Exponenciális egyenlet megoldása

Logaritmikus egyenlet megoldása

Oldjuk meg például ezeket:

Most pedig lássuk a függvényeket.

Nos a logaritmus csak pozitív x-ekre van értelmezve.

Ha az alap 1-nél nagyobb, akkor a függvény növekszik.

Ha 1-nél kisebb, akkor csökken.


Az egységkör

Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.

Ezt a kört egységkörnek nevezzük.

Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.

Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…

Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.

Itt van mondjuk ez a P pont.

Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,

a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.

A két irány által bezárt szög lehet pozitív,

és lehet negatív.

A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.

Nos ez a radián egész érdekesen működik:

a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.

Van itt ez a szög, ami fokban számítva

És most lássuk mi a helyzet radiánban.

A kör kerületének a képlete .

Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .

A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,

így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis

Nos így kapjuk, hogy

Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.

Kezdjük ezzel, amikor

Ezt jegyezzük föl.

A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.

Jön a Pitagorasz-tétel:

Most nézzük meg mi van akkor, ha

Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.

És most jön a Pitagorasz-tétel.

Az  esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.

Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.

-nál túl sok számolásra nincs szükség.

Ahogyan –nál és -nál sem.

És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.

Az x koordinátát hívjuk Bobnak,

az y koordinátát pedig…

Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.

Legyen mondjuk koszinusz.

A másik pedig szinusz.

Rögtön folytatjuk.

A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.

Az y koordinátáját -nak.

Kezdjük néhány egyszerűbb egyenlettel.

Nagyon tipikusak azok a másodfokú egyenletek, amelyek trigonometrikus egyenletnek álcázzák magukat.

Íme itt egy ilyen:

Itt jön a megoldóképlet:

A koszinusz mindig -1 és 1 közt van,

így aztán az első eset nem túl valószínű.

 Lássuk mi történik a másik esetben.

Szintén tipikus csel, hogy az egyenletben először alkalmazni kell ezt az azonosságot és kapunk másodfokú egyenletet.

Lássunk egy ilyet is.

Az egyenletben első fokon cosx szerepel,

ezért akkor járunk jól, ha mindenhol cosx lesz.

Most pedig lássunk egy izgalmasabb egyenletet.

A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást a számológép adja,

a zöld megoldás pedig úgy jön ki, a két szög összege mindig egy egyenest kell, hogy adjon.

A koszinusz sokkal kellemesebb, itt a kék megoldást adja a számológép,

a zöld pedig mindig ennek a mínuszegyszerese.

A tangens úgy működik, hogy a kék megoldást a számológép adja,

a periódus pedig nem  hanem .

A koszinusz a szokásos.


Szinusz, koszinusz és társai

Beszéljünk egy kicsit a trigonometrikus függvényekről.

Nos itt van egy egységsugarú kör.

Amiben az  irányszögű egységvektor első koordinátája  

a második koordinátája .

A  és a  periodikus függvények.

Ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat.

Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben a periódus .

Ha van egy ilyen egyenlet, hogy

nos akkor ennek a periodikusság miatt végtelen sok megoldása van.

Ráadásul van egy kék megoldás,

és van egy zöld.

ezt adja a számológép,

ez meg a periódus

Na ezt már nem adja ki a számológép, hanem egy kis cselhez kell folyamodnunk.

A szinusz úgy működik, hogy mindig van egy kék megoldás, amit a számológép ad,

és van egy zöld megoldás, amit úgy kapunk, hogy

az összegüknek mindig -nek kell lennie.

Ezt nem árt megjegyezni.

Lássuk mi a helyzet a koszinusszal.

Itt is lesz egy kék és egy zöld megoldás,

ráadásul mindkettőből végtelen sok.

A helyzet annyival egyszerűbb, mint a szinusz esetében, hogy itt a kék és zöld megoldás mindig egymás mínuszegyszerese.

A kéket adja a számológép,

és ha elé biggyesztünk egy mínuszjelet,

nos akkor meg is van a zöld.

A koszinusz tehát sokkal jobb, mint a szinusz.

Most pedig újabb állatfajták következnek.

Lássuk hogyan is néznek ezek ki.

Nos nem túl szépen.

Leginkább talán tapétamintának használhatnánk őket.

A vizuális élvezetek után most a trigonometriai képletek özönvízszerű áradata következik.

Csak a legfontosabb egymillió darab képletet nézzük meg.

A LEGFONTOSABB TRIGONOMETRIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK

Itt az egység sugarú körben van egy derékszögű háromszög,

amire felírjuk a Pithagorasz-tételt.

Nos talán ez a legfontosabb trigonometriai összefüggésünk.

Van ennek két mutáns változata is.

Most pedig újabb bűvészkedések következnek az egységsugarú körben.

És itt jön még néhány.


Trigonometrikus egyenletek megoldása

Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.

Ezt a kört egységkörnek nevezzük.

Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.

Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…

Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.

Itt van mondjuk ez a P pont.

Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,

a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.

A két irány által bezárt szög lehet pozitív,

és lehet negatív.

A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.

Nos ez a radián egész érdekesen működik:

a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.

Van itt ez a szög, ami fokban számítva

És most lássuk mi a helyzet radiánban.

A kör kerületének a képlete .

Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .

A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,

így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis

Nos így kapjuk, hogy

Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.

Kezdjük ezzel, amikor

Ezt jegyezzük föl.

A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.

Jön a Pitagorasz-tétel:

Most nézzük meg mi van akkor, ha

Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.

És most jön a Pitagorasz-tétel.

Az  esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.

Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.

-nál túl sok számolásra nincs szükség.

Ahogyan –nál és -nál sem.

És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.

Az x koordinátát hívjuk Bobnak,

az y koordinátát pedig…

Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.

Legyen mondjuk koszinusz.

A másik pedig szinusz.

Rögtön folytatjuk.

A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.

Az y koordinátáját -nak.

Kezdjük néhány egyszerűbb egyenlettel.

Nagyon tipikusak azok a másodfokú egyenletek, amelyek trigonometrikus egyenletnek álcázzák magukat.

Íme itt egy ilyen:

Itt jön a megoldóképlet:

A koszinusz mindig -1 és 1 közt van,

így aztán az első eset nem túl valószínű.

 Lássuk mi történik a másik esetben.

Szintén tipikus csel, hogy az egyenletben először alkalmazni kell ezt az azonosságot és kapunk másodfokú egyenletet.

Lássunk egy ilyet is.

Az egyenletben első fokon cosx szerepel,

ezért akkor járunk jól, ha mindenhol cosx lesz.

Most pedig lássunk egy izgalmasabb egyenletet.

A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást a számológép adja,

a zöld megoldás pedig úgy jön ki, a két szög összege mindig egy egyenest kell, hogy adjon.

A koszinusz sokkal kellemesebb, itt a kék megoldást adja a számológép,

a zöld pedig mindig ennek a mínuszegyszerese.

A tangens úgy működik, hogy a kék megoldást a számológép adja,

a periódus pedig nem  hanem .

A koszinusz a szokásos.