Harmadik gyakorlat

A témakör tartalma


Az inverzfüggvény

Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.

Az inverz kiszámolásának menete a következő:

Legyen mondjuk

Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:

Itt x-hez rendelünk y-t.

Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.

Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:

Az inverz jele:

Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.

Például az  függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .

A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.

De ha a negatív számokat kiiktatjuk,

nos akkor már minden rendben.

Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez

különböző y-okat rendelnek.

Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.

Az függvény injektív, ha  akkor .

Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.

És van itt még egy dolog.

Legyen a függvényünk az  és értelmezési tartománya .

Nos, ekkor az értékkészlete .

Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.

Ha  invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.

Nézzünk néhány példát.

Adjuk meg az  függvény inverzét, ha

Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.

Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.

Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.

Lássuk az inverzt

Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.

Lássuk az inverzt!

Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.

Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.

Lássunk még egyet.

Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.

 és

Végül nézzük meg ezt is.

Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.

Van itt egy függvény

és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.

Nos ez.

Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.

A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.

És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.

Itt jön aztán egy másik remek függvény az

Nos ennek a függvénynek az inverze az

Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.

És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.

Nézzük meg például ennek az inverzét:

A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.

Vagy itt van például egy másik:

Az  és az szintén egymás inverzei.

Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.

De talán egy még belefér…


Újabb inverzfüggvények

Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.

Az inverz kiszámolásának menete a következő:

Legyen mondjuk

Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:

Itt x-hez rendelünk y-t.

Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.

Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:

Az inverz jele:

Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.

Például az  függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .

A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.

De ha a negatív számokat kiiktatjuk,

nos akkor már minden rendben.

Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez

különböző y-okat rendelnek.

Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.

Az függvény injektív, ha  akkor .

Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.

És van itt még egy dolog.

Legyen a függvényünk az  és értelmezési tartománya .

Nos, ekkor az értékkészlete .

Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.

Ha  invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.

Nézzünk néhány példát.

Adjuk meg az  függvény inverzét, ha

Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.

Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.

Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.

Lássuk az inverzt

Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.

Lássuk az inverzt!

Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.

Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.

Lássunk még egyet.

Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.

 és

Végül nézzük meg ezt is.

Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.

Van itt egy függvény

és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.

Nos ez.

Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.

A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.

És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.

Itt jön aztán egy másik remek függvény az

Nos ennek a függvénynek az inverze az

Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.

És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.

Nézzük meg például ennek az inverzét:

A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.

Vagy itt van például egy másik:

Az  és az szintén egymás inverzei.

Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.

De talán egy még belefér…


Sorozatokhatárértéke

Beszéljünk egy kicsit a sorozatokról. Kezdjük azzal, hogy mire jók a sorozatok.

Nos, például arra, hogy beszéljünk róluk.

Íme itt is van egy sorozat.

Ez itt a sorozat indexe, ami azt mondja meg, hogy éppen hányadik tagot nézzük.

index

A sorozatok egyik leglényegesebb tulajdonsága, hogy vajon mi történik vele, ha egyre távolibb tagjait nézzük.

Ez a sorozat például közeledik a nullához.

Olyannyira, hogy mondhatunk bármilyen pici számot, eljön az idő, hogy a sorozat annál is közelebb kerül a nullához.

A sorozatnak ezt a tulajdonságát úgy nevezzük, hogy tart a nullához vagy másként a határértéke nulla.

És így jelöljük:  vagy így:

Itt jön egy másik sorozat.

Ez a sorozat még inkább nullához tart.

Sőt általában ezek a sorozatok nullához tartanak.

Aztán itt vannak ezek a sorozatok.

Nos ők a végtelenbe tartanak.

NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI

Vannak aztán ilyen gyökös sorozatok is.

Ők is végtelenbe tartanak.

És itt jön a legizgalmasabb sorozat, az

Ha  akkor

sehova

Most pedig nézzük meg mi történik ha két sorozatot összeadunk.

Ha mondjuk  és  akkor logikusnak tűnik, hogy

De az élet sajnos ennél bonyolultabb.

Előfordulhat ugyanis, hogy  és .

Hova tart ilyenkor az összegük?

Nos a helyzet az, hogy az  sorozat tarthat mínusz végtelenbe,

egy konkrét számhoz

és plusz végtelenbe.

A  sorozat szintén.

Az összegükre pedig ez a kilenc eset adódhat.

Nézzük meg őket.

Ha mindkét sorozat mínusz végtelenbe tart, akkor az összegük is.

Ha az egyik A-hoz a másik mínusz végtelenbe, akkor az összegük is mínusz végtelenbe.

Hogyha az egyik sorozat mínusz végtelenbe a másik pedig plusz végtelenbe tart, akkor egészen egyszerűen nem tudjuk, hova tart az összegük.

Lehet mínusz végtelen is

lehet 42 is

és lehet plusz végtelen is

A táblázat többi részének kitöltése nem sok meglepetést tartogat, a bal alsó sarok szintén kérdőjeles.

Most pedig nézzük meg mi a helyzet két sorozat szorzatával.

Itt sajnos kicsit sok eset lesz.

Nos ez megint olyan, hogy egészen egyszerűen nem tudjuk.

A folytatás már nem túl izgalmas:

Aztán végre néhány egyértelmű eset:

Most pedig jöjjön a legrosszabb, az osztás.

Itt meglehetősen sok kérdőjel lesz.

Mindjárt az első:

De van még.

Nos ezeknek a táblázatoknak a lényege az, hogy segítsen eligazodni a különböző típusú határértékek között.

A kérdőjeles esetek mondjuk nincsenek túlzottan a segítségünkre, így a továbbiakban az lesz a feladatunk, hogy megnézzük mit lehet csinálni ezekben az esetekben.

Az egyik legizgalmasabbal fogjuk kezdeni a  esettel.

HA k KONKRÉT SZÁM

Lássuk mik a teendők a kritikus határértékekkel. A sorozatok határértékének kiszámolása ezekben az esetekben válik igazán izgalmassá.


e-hez tartó sorozatok

Most néhány nagyon vicces sorozat következik.

Íme itt az első.

Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.

Aztán itt van ez a másik.

És egy harmadik.

Nos ebben eddig semmi vicces nincs.

De az izgalmak most jönnek.

Van itt ez a határérték.

Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.

Csak az a baj, hogy nem.

Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.

Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.

De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.

Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.

Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.

Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,

akkor a határérték is kicsit megváltozik.

És van itt mégvalami.

Legalábbis akkor, ha

Nos nézzünk erre néhány példát.

Itt van például ez a határérték:

ami a képlet alapján

De ha ez a rész itt átváltozik

és a kitevő is,

nos akkor újra ugyanaz jön ki.

Vagy itt van egy másik:

Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.

Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.

Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et

vagy ebből n-et.

Csináljunk ebből n-et.

Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.

Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.

Van egy ilyen, hogy

Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:

De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.

Azokat a határértékeket ahol  megjelenik itt

és a kitevőben is,

mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.

A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.

Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.

Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is  van, akkor -el osztunk:

És rondább esetekkel is el tudunk bánni

Ha a kitevő konkrét szám, akkor:

De ha sajna itt  

ott  

akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk

Megeshet, hogy n2 is van.

Sőt lehet, hogy n3.

Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.


Konvergens,divergens és oszcilláló sorozatok

Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.

Konvergens

sorozatok

Divergens

sorozatok

Van

határérték

Nincs

határérték

Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.

A divergenciának azonban vannak fokozatai.

Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart,

és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova.

A sehova sem tartó sorozatok mindig oszcilláló sorozatok.

Az oszcilláló sorozatok egyik legegyszerűbb példája a sorozat.

Mielőtt azonban azt gondolnánk, hogy minden oszcilláló sorozat divergens,

nos itt jön egy másik.

Attól tehát, hogy a sorozat ugrál, még nem feltétlen lesz divergens.

Az is lényeges, hogy mekkorákat ugrik.

Itt jön három példa a lehetséges viselkedésekre:

ha n páros

ha n páratlan

Most pedig lássunk néhány vicces ügyet.

Nos itt a képletben az 1-es van elől, úgyhogy csere.

Az összeadásnál ez nem okoz problémát.

A kivonásnál…

se, ha nem rontjuk el.

És voila, egy újabb oszcilláló sorozat.

Most a számlálóban és a nevezőben is felbukkant a ,

így aztán ez nem egy oszcilláló sorozat.


Függvények határértéke

Beszéljünk a határértékekről.

Van itt egy ártalmatlan függvény

amit kicsit izgalmasabbá teszünk ezzel a feltétellel.

Amikor a függvény még az unalmas  volt, a 3-hoz azt rendelte hozzá, hogy 6.

De amióta izgalmasabbá tettük, nos azóta már 8-at.

Ezt a tényt így jelöljük, hogy

és úgy mondjuk, hogy a függvény a 3-ban 8-at vesz föl.

Ezt nevezzük függvényértéknek.

Ugyanakkor, ha az x-ekkel közelítünk a 3-hoz,

akkor a függvényértékek közelítenek a 6-hoz.

A másik oldalról is.

Ezt a tényt, hogy ha  akkor  úgy mondjuk, hogy a 3-ban a függvény határértéke 6 és így jelöljük:

Lássuk, mi van akkor, ha mondjuk .

A függvényérték

A határérték kiszámolásához föl kell tennünk magunknak azt a kérdést, hogy ha ,

akkor hova tart .

Nos a jelek szerint  

és a határérték tehát

Vannak tehát olyan x-ek a függvény életében, ahol a határérték és a függvényérték nem egyezik meg és vannak olyanok, ahol megegyezik.

A mi függvényünk esetében egyetlen olyan x van, ahol a határérték és a függvényérték eltér.

Ez éppen x = 3, ahol a függvénnyel ez a kis kellemetlenség történik.

Itt a függvény ugrik egyet, mindenhol máshol teljesen normálisan viselkedik.

Ezt a normális viselkedést úgy fogjuk nevezni, hogy a függvény folytonos.

Folytonosnak nevezzük a függvényt azokban az x-ekben ahol a határértéke és a függvényértéke megegyezik.

A folytonosság kimutatásra pedig éppen ez lesz a módszerünk:

Kiszámoljuk a határértéket, aztán kiszámoljuk a függvényértéket, végül pedig föltesszük magunknak azt a kérdést, hogy az így kapott két szám megegyezik-e vagy sem.

Nézzünk meg néhány határértéket.

Itt van például az  függvény.

Lássuk mennyi ez a határérték:

Nos ez egy folytonos függvény, ha a 2-t behelyettesítjük az jön ki, hogy

Hasonlóan nagy erőfeszítésekkel jár kiszámolni ezt is:

Mielőtt azonban túlzottan elbíznánk magunkat, nézzük meg ezt:

Ha itt x helyére 2-t írunk az jön ki, hogy

Ezzel pedig vannak bizonyos problémák. Aki nem hiszi, írja be a számológépbe és meglátja.

Szerencsére itt jön egy trükk.

Szorzattá alakítjuk a számlálót:

Aztán egyszerűsítünk.

És ebbe már be lehet helyettesíteni a 2-t.

Ha tehát itt van egy ilyen kellemetlenebb ügy, mint például ez:

Akkor a legfontosabb, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat,

aztán próbáljunk meg szorzattá alakítani.

Utána egyszerűsítünk,

és így már be lehet helyettesíteni.

A következő képsorból kiderül, hogy ez az egész egyszerűbb, mint azt valaha is gondoltuk volna.


A határérték kiszámolása

Hogyan tudjuk kiszámolni ezt a határértéket?

Az első lépés, hogy helyettesítsük be a függvénybe az -t.

Nézzük meg mit kapunk.

Ha amit kapunk értelmezhető, akkor kész is vagyunk.

Az így kapott szám a határérték.

Ha amit kapunk nem értelmezhető,

na akkor baj van.

Ilyenkor általában ez a két eset szokott lenni,

néha van egy harmadik.

Lássuk mi a teendő az első két esetben.

Ilyenkor a számlálót is és a nevezőt is szorzattá alakítjuk.

Ilyenkor csak a nevezőt alakítjuk szorzattá.

Ilyenkor is történik majd valami.

Vagyis mindig azt kell szorzattá alakítani, aki nulla.

Ha mindkettő nulla, akkor mindkettőt,

ha csak a nevező nulla, akkor csak a nevezőt.

Lássuk hogyan.

Nos így.

Itt ez a bizonyos  ugye az a szám, ahova x tart.

Ha éppen  akkor tehát 4.

Már csak annyi dolgunk van, hogy kitaláljuk ezeket.

Erre másodfokú esetben van egy trükk.

Ez most pont másodfokú, úgyhogy nézzük meg.

Föl kell tennünk magunknak néhány kérdést.

Az első kérdés: mit írjunk ide,

hogy kijöjjön az x2?

Az x jó ötletnek tűnik.

Eddig minden OK.

Most nézzük ezeket.

Na őket nem kell nézni.

Csak arra jók, hogy összezavarjanak minket, úgyhogy vegyük is őket halványabbra.

Amit nézni kell az ez.

És válaszolnunk kell arra a kérdésre, hogy a mínusz 4-et menyivel kell szoroznunk ahhoz, hogy 20-at kapjunk.

Ugyanez a trükk van alul is.

Nézzünk meg még egyet.

Azzal kezdjük, hogy behelyettesítjük a 2-t.

Ha ugyanis az jön ki, hogy 42, akkor kész is, nem kell csinálnunk semmit.

De nincs szerencsénk.

Így aztán megint jön a szorzattá alakítás.

Lássuk hogyan lesz 4x2.

Hasonló izgalmak várhatók alul is.

Most pedig lássuk ezeket.

Ez a másik eset kicsit kellemetlenebb lesz.

Itt ugyanis csak a nevezőt alakítjuk szorzattá,

és emiatt nem tudunk egyszerűsíteni.

De nézzünk egy konkrét példát.

Most is azzal kezdünk, hogy behelyettesítjük a 2-t, mert hátha szerencsénk lesz és kapunk egy konkrét számot.

Nincs szerencsénk.

Így aztán szorzattá alakítunk alul.

Felül ebben az esetben nincs értelme szorzattá alakítani,

de egyébként az -et nem is lehet.

Az tehát marad.

Alul a szokásos bűvészkedés következik.

És most jön ez a rész.

Ide már be lehet helyettesíteni a 2-t,

ezzel a résszel meg nagyon vicces dolgok fognak történni.

Vessünk egy pillantást erre a függvényre.

Ha  akkor .

De csak balról.

Ha ugyanis  jobbról

akkor

Ez nagyon érdekes és a következő jelölés van rá forgalomban:

Ilyenkor, amikor a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg, azt mondjuk, hogy nem létezik határérték.

És még egy dolog.

Már az általános iskolában is tudtuk, hogy nullával nem lehet osztani. Ennek tehát nincs értelme:

Ezeknek viszont van.

Ha a nevező negatív számokon keresztül tart nullához, akkor a tört negatív végtelenbe tart.

Ha a pozitív számokon keresztül, akkor pedig plusz végtelenbe.

Mindez azért érdekes, mert így rajz nélkül is meg tudjuk oldani az előző feladatot.

Itt kezdtünk el rajzolgatni.

Most rajz helyett behelyettesítünk.

Ez így nem értelmezhető, de…

Meg kell nézni külön balról és jobbról.

Ha  akkor  és  negatív.

Ha viszont  akkor  és  pozitív.

Az eredmény így is ugyanaz: nincs határérték.


A folytonosság

Az függvény folytonos az -ban, ha értelmezve van az -ban, létezik és véges a határértéke az -ban és ami a lényeg:

Lássunk egy példát.

Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?

Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem,

mert ez a függvény a 3-ban ugrik egyet, az ugrálás márpedig nem tesz jót a függvény folytonosságának.

Kiszámoljuk a határértéket,

aztán a függvényértéket

és ha egyenlők akkor folytonos, ha nem egyenlők akkor nem folytonos.

Nem egyenlők, tehát a függvény nem folytonos a 3-ban.

Nem folytonos a 3-ban, de folytonossá tehető.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy átírjuk ezt.

És tessék, így már folytonos.

Nem ilyen egyszerű az ügy a 4-ben.

Itt meglehetősen nehéz lenne folytonossá varázsolni a függvényt.

Egészen pontosan lehetetlen.

Az függvény folytonossá tehető az -ban, ha értelmezve van az -ban

és létezik véges a határértéke az -ban.

Itt jön egy másik függvény, a feladat pedig az, hogy adjuk meg az  és  paramétereket úgy, hogy a függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.

A rajz most is csak fekete mágia.

Lássuk a határértékeket. A 2-vel kezdjük.

Aztán nézzük mi van a 3-ban.

Ezt az előbb már sikeresen szorzattá alakítottuk.

Sőt már egyszerűsítettünk is.

 nem adható meg úgy, hogy a függvény folytonos legyen a 3-ban.

Ez a függvény tehát folytonossá tehető a 2-ben, úgy, ha A=4 de nem tehető folytonossá a 3-ban.

Végül nézzünk meg egy harmadik függvényt is.

Derítsük ki, hogy folytonossá tehető-e az x=1 és az x=3 helyen.

Ha vetünk egy pillantást a rajzra, akkor látszik, hogy 1-ben a határérték véges, 3-ban pedig nem.

Így aztán 1-ben a függvény folytonossá tehető 3-ban nem.

Nézzük hogyan jön ez ki a rajz nélkül is.

A határérték véges, ezért a függvény folytonossá tehető.

Nem létezik határérték, így sajna 3-ban nem tehető folytonossá.