Hatodik gyakorlat

A témakör tartalma


A fantasztikus integrálás

Itt az ideje, hogy megismerkedjünk az integrálással. Rögtön kétfélével is, a határozott és a határozatlan integrálással.

A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.

Van itt egy függvény

aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.

A határozatlan integrálás egészen máshogy működik.

Azért nevezzük határozatlannak, mert itt nincsenek a és b határai az integrálásnak, csak úgy egyszerűen integrálgatunk:

f(x) határozatlan integrálja egy függvény, amit primitív függvénynek neveztek el.

A primitív függvény jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et.

Ez a határozatlan integrálás tulajdonképpen nem más, mint a deriválás megfordítása.

Emiatt úgy is szokás emlegetni, mint antideriválás.

Lássunk néhány példát.

Itt van mondjuk ez:

Egy olyan függvényre van szükségünk, aminek a deriváltja 2x.

Ilyen függvény van, mégpedig az

Itt jön egy másik:

Olyan függvény is van, aminek deriváltja

Ha még emlékszünk rá

Ha valaki tudja, hogy mi az az abszolútérték, akkor nem fogja nagyon felzaklatni a hír, hogy az még kell ide. Ez amiatt van, mert az

függvényt negatív x-ekre is szeretnénk integrálni.

lnx viszont csak a pozitív x-eket szereti és ezt a kis problémát oldja meg az abszolútérték,

de elég annyit megjegyezni, hogy

Végül lássunk még egyet:

Mit kell deriválni vajon, hogy x2-et kapjunk?

Ez majdnem jó, csak el kell osztani 3-mal.

És még egy dolog. Ha deriváljuk az x2-et az persze 2x, de

Vagyis x2 után állhat tetszőleges konstans.

Sőt itt is, meg itt is.

Most pedig lássuk, mi a kapcsolat a határozott és a határozatlan integrálás között.

A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele.

Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor

ez itt azt jelenti, hogy a primitív függvény megváltozása, vagyis először be kell helyettesíteni a b-t, aztán pedig kivonni belőle, hogy behelyettesítjük az a-t

Próbáljuk is ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.

Itt jön a primitív függvény, aminek vennünk kell a megváltozását 0-tól 1-ig.

Probléma akkor van, ha nem jut eszünkbe a primitív függvény.

Számoljuk ki például az

görbe alatti területét 0 és 1 között.

Addig semmi gond, hogy felírjuk mit kéne integrálni.

Az viszont már baj, hogy fogalmunk sincs, mi lehet a primitív függvény.

A problémát tehát a primitív függvények keresése vagyis a határozatlan integrálás fogja okozni.

Vagyis itt az ideje, hogy fejlesszük ezt a képességünket.

Az igény ugyanakkor egyre nagyobb volt arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni, csak éppen az nem volt világos, hogyan. Az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus fluxió elmélete, amely alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az illetőt Isaac Newtonnak hívták és elméletét már az 1660-as években kidolgozta, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos definiálásból eredő pontatlanságok. Nos, ezeket a kisebb pontatlanságokat csak 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak, így aztán utólag megállapíthatjuk, Newton akár azon nyomban is előállhatott volna elméletével, ezzel megkímélve magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával Gottfried Wilhelm Leibniz-cel vívott.

A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz lényegében egyszerre jött rá egymástól függetlenül és más-más okok által motiválva ugyanarra a dologra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton egy módszert fejlesztett ki, amely képessé tette az emberiséget arra, hogy leírhassa a minket körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírhassa, hogy ezáltal lehetőség nyíljon a problémák megoldására. Amint az később számos alkalommal kiderült, a probléma leírását egyáltalán nem követi azonnal a megoldás megtalálása, de ha leírni sem vagyunk képesek a problémát, akkor egészen biztosan nem tudjuk megoldani. Ezzel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai rátaláltak valamire, de „mintha bekötött szemmel jártak volna” nem voltak képesek ezt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be és ezen  jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott.

A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.


Alapintegrálok és egyszerűbb integrálások

A primitív függvények keresését úgy fogjuk kezdeni, hogy visszaemlékszünk néhány fontosabb függvény deriváltjára.

Itt van mindjárt az xn

Ha deriválunk, akkor a kitevő 1-el csökken. Ha integrálunk, akkor 1-el nő.

Kis probléma van ugyan, ha

De éppen itt jön a megoldás.

Aztán végre egy biztos pont az életünkben.

A lista elég hosszú lesz.

És ez még csak a kezdet. Most viszont tisztáznunk kell néhány nagyon fontos dolgot.

Itt az egyik:

 de  

És itt a másik:

Próbáljuk meg kitalálni, hogy mi lehet vajon

Logikusnak tűnik, hogy

De sajnos van egy kis gond:

Az integrálás a deriválás fordítottja, tehát ha egy függvényt integrálunk majd deriválunk, akkor pontosan vissza kell kapnunk az eredeti függvényt. Most viszont ez nem mondható el.

Nem kapjuk vissza az eredeti függvényt, mert a deriválásnál bejön ide ez a 3-as szorzó.

Mondjuk ezen lehet segíteni.

Ha a kitevőben valami ax+b típusú kifejezés szerepel

akkor az integrálásnál szorozni kell -val

Vegyük például ezt:

Most nem a kitevőben, hanem a nevezőben van egy ax+b típusú kifejezés.

Ez a módszer gyakran fog kelleni így hát valami közeli helyen raktározzuk el a fejünkben.

Most pedig jöjjenek az izgalmak!


Integrálási szabályok

Integrálni sokkal viccesebb elfoglaltság lesz, mint deriválni.

Itt van például egy szorzat.

Deriválni nagyon egyszerű, egyetlen szabályt kell csak megjegyeznünk és aztán bármilyen szorzatra használhatjuk.

Ha viszont integrálni kell, nos akkor a helyzet sokkal izgalmasabb.

Lesz legalább öt különböző szabály és ki kell tudnunk találni, hogy épp melyik módszerrel kell majd integrálni.

Egy apró változás és máris másik módszer kell.

Vagyis nem fogunk unatkozni.

Ahhoz, hogy sikerüljön felülkerekednünk ezeken a kis nehézségeken, az integrálási szabályokat úgy fogjuk csoportosítani, hogy a legegyszerűbbtől indulunk el és haladunk az egyre bonyolultabbak felé.

Lássuk a szabályokat.

INTEGRÁLÁSI SZABÁLYOK

A legelső szabály pont olyan, mint a deriválásnál. A konstans szorzó kivihető.

A második szabály az összegek integrálására vonatkozik. Még ez is olyan, mint a deriválásnál: összeget külön-külön integrálunk.

A szorzatokra vonatkozó szabály már izgalmasabb. Nincs ugyanis ilyen szabály.

Ha egy szorzatot kell integrálni, akkor több különböző módszert is választhatunk. Pontosan ötöt.

De azt is el kell majd tudnunk dönteni, hogy mikor melyik szabályra lesz szükség és ezt nem javasolt pénzfeldobással.

Szerencsére mindegyik módszerről lesz egy külön képsor, amiből kiderül róla hogyan kell használni, sőt az is kiderül majd, hogy mikor kell használni.

Aztán ugyanez a helyzet a törtekkel. Törtek integrálására is lesz néhány módszer. Lássuk csak, úgy kábé három.

És összetett függvényekre is van minimum kettő.

Úgyhogy vágjunk is bele.


Kétváltozós függvények

TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.

Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint egy sík pontjainak koordinátáit.

A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy

harmadik koordinátát, egy magasságot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához                                

hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát,

kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.

Az egyváltozós függvények bizonyos tulajdonságai át-

örökíthetőek a kétváltozós esetre, míg vannak olyan

tulajdonságok, amik nem.

Nincs értelme például kétváltozós esetben monotonitásról beszélni, egy felületről

ugyanis nehéz lenne eldönteni, hogy éppen nő-e vagy csökken.

A minimum és maximum fogalma viszont már átörökíthető.

Egy kétváltozós függvény maximumát úgy kell elképzelnünk, mit egy hegycsúcsot,

míg a minimumát pedig úgy, mint egy völgyet.

Lássunk néhány kétváltozós függvényt.

LOKÁLIS MINIMUM                              

NYEREGPONT                         

LOKÁLIS MAXIUM

A feladatunk az lesz, hogy kiderítsük, hol van a kétváltozós függvényeknek minimuma, maximuma,

vagy éppen ilyen nyeregpontja.

Az egyváltozós függvényekhez hasonlóan most is deriválni kell majd,

itt viszont van x és y is, így hát x szerint és y szerint is fogunk deriválni,

ami kétszer olyan szórakoztató lesz.

Ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

Lássuk a parciális deriváltakat.

PARCIÁLIS DERIVÁLTAK

Deriváljuk mondjuk ezt a függvényt.

AZ  FÜGGVÉNY  SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA

   a deriválás során x-et deriváljuk, és y csak konstans

x szerint deriválunk,                                         

y most csak konstansnak számít,                       

ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla                  

ha szorozva van valami x-essel, akkor marad      

AZ  FÜGGVÉNY  SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA

a deriválás során y-t deriváljuk, és x csak konstans

y szerint deriválunk,

x most csak konstansnak számít,

ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla

ha szorozva van valami y-ossal, akkor marad             

A parciális deriváltak jelölésére forgalomban van egy másik jelölés is.

Íme.

Mindkét jelölést használni fogjuk.

Itt jön egy másik függvény, deriváljuk ezt is.

ELSŐRENDŰ DERIVÁLTAK

MÁSODRENDŰ DERIVÁLTAK

Mindkét elsőrendű parciális deriváltat tovább deriválhatjuk x szerint is és y szerint is.

Így négy darab második deriváltat kapunk.

Ezek közül a két szélső az úgynevezett tiszta másodrendű derivált,

a két középső pedig a vegyes másodrendű derivált.

A vegyes másodrendű deriváltak általában egyenlők.

Nos egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható.

De inkább azt jegyezzük meg, hogy mindig egyenlők, kivéve a csak profiknak szóló részben, ahol a többváltozós deriválás precíz megfogalmazásáról lesz szó.

Most pedig lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.


Gradiens, iránymenti derivált

A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT

Az  függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort

derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.

Íme a derivált-vektor:

, röviden .

A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani

az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált

azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-

leges  irány mentén milyen meredeken emelkedik

a függvény felülete.

Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,

aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a

 irányban indul el.

Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.

Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a  egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.

Az  függvény  iránymenti deriváltja az  pontban:

       (itt  egységvektor)                  

Lássunk erre egy példát!

Számoljuk ki az   iránymenti deriváltját a  irány szerint az  pontban. 

A képlet szerint az iránymenti derivált

Itt ez a fura  jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is

az iránymenti deriváltra: .

A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.

A derivált-vektor tehát

Eddig jó.

Most lássuk a vektort.

A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.

Mivel azonban most  nem egységnyi hosszúságú,

ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.

Elosztjuk saját hosszával:

Az iránymenti derivált tehát:

Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…

erre éppen tudunk válaszolni.

A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.

Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor

irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.

tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.