Második gyakorlat

A témakör tartalma


Mátrixok

A mátrixok teljesen ártalmatlan teremtményei a matematikának.

Egy -as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, ami n darab sorból és k darab oszlopból áll.

A mátrixokat az ABC nagy betűivel jelöljük. Itt van például ez:

Ez egy (2X3)-as mátrix.

A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,

és egy oszlopindexük.

A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,

és egy oszlopindexük.

Egy -as mátrix, ami  n  darab sorból és  k  darab oszlopból áll,

tehát valahogy így néz ki:

A mátrixok marhára hasznosak számunkra, erről fog szólni lényegében az egész lineáris algebra témakör.

Mielőtt azonban hasznosságukról személyesen is megbizonyosodhatnánk, előbb nézzük meg milyen műveleteket végezhetünk velük.

1.SKALÁRSZOROS

A skalár nem egy betegség, azt jelenti, hogy valamilyen szám, legtöbbször valós szám.

2.ÖSSZEADÁS

Egy -as mátrixhoz csak egy másik -as mátrixot adhatunk hozzá.

3.SZORZÁS

Na ez a legizgalmasabb.

Egy -as mátrixszal csak egy -es mátrixot szorozhatunk.

A szorzat mátrixnak annyi sora lesz, mint A-nak és annyi oszlopa, mint B-nek, elemei pedig úgy keletkeznek, hogy az A egyik sorát szorozzuk B-nek egy oszlopával

Jön a trükk, tudományos nevén Falk-séma. Ennek az a lényege, hogy a mátrixokat sarkosan helyezzük el, valahogy így:

Kész a szorzat!

A mátrixok szorzásának egyik érdekes tulajdonsága,

hogy nem kommutatív.

Ha például megpróbáljuk ezt a szorzást fordítva elvégezni,

kiderül, hogy nem is lehet.


Néhány speciális mátrix

Ismerkedjünk meg néhány speciális mátrixfajtával.

KVADRATIKUS MÁTRIX 

négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa

példa:

DIAGONÁLIS MÁTRIX

olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák

példa:

A diagonális mátrixoknak tehát csak a főátlója érdekes, mivel az összes többi elem nulla.

Ezért aztán vannak akik csak a főátló elemeket írják le. Ez a fura jel

valójában egy diagonális mátrix

EGYSÉGMÁTRIX

olyan mátrix, ami azt tudja, hogy bármely  mátrixra  

az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy

INVERZ MÁTRIX

jele , és ez egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy

  (jobb inverz)         (bal inverz)

Később látni fogjuk, hogy nem is olyan egyszerű elővarázsolni egy mátrix inverzét.

Ez az inverz dolog valós számoknál sokkal könnyebb, ott ugyanis

  inverze      mert ugye 

  inverze      mert ugye 

TRANSZPONÁLT

a mátrix sorainak és oszlopainak a felcserélése, jele  vagy                                

SOR OSZLOP  OSZLOP SOR

példa:

        vagy       

Azokat a mátrixokat, amelyek transzponáltja önmaga szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

Itt van például egy szimmetrikus mátrix:

Mindezek jelenleg nem tűnnek túl izgalmasnak, de hamarosan majd elérkezik az idő, amikor kelleni fognak.

Most viszont jöjjenek a vektorok!


Vektorok

Azokat a mátrixokat, amiknek csak egyetlen oszlopuk van, vektoroknak nevezzük.

A vektorokat az abc kis betűivel jelöljük és aláhúzzuk őket.

Itt van például két vektor:

Az  vektor -es vektor, a  pedig -es, de a  megemlítése teljesen felesleges, hiszen éppen azért nevezzük őket vektoroknak, mert csak egyetlen oszlopuk van.

Bőven elegendő tehát csak arról említést tenni, hogy hány darab számot tartalmaz maga a vektor. Ezeket a számokat a vektor koordinátáinak nevezzük.

Megnyugtató, hogy amit a geometriában vektornak tekintünk,

és amit az imént vektorként definiáltunk megfeleltethetők egymásnak.

Ha ugyanis veszünk mondjuk a térben három egyenest úgy,

hogy egymásra merőlegesek legyenek majd pedig

ellátjuk őket egy skálázással, akkor a geometriai vektorok

egyértelműen megfeleltethetők számhármasoknak.

Vagyis amikor vektorokról beszélünk, egyszerre gondolhatunk

-es mátrixokra és  geometriai alakzatokra.

Lássuk milyen műveleteket tudunk vektorokkal végezni.

MŰVELETEK VEKTOROKKAL

1. SKALÁRSZOROS 

példa:

2. ÖSSZEADÁS          

példa:

TULAJDONSÁGOK:

kommutatív:

asszociatív:

3. SZORZÁS 

skaláris szorzat:                                       diadikus szorzat:

TULAJDONSÁGOK:

kommutatív:

nem asszociatív:

 és  

     és

a skaláris szorzat:

diadikus szorzat:

TULAJDONSÁGOK:

nem kommutatív

nem asszociatív

példa:

 és

a diadikus szorzat:

A kétféle szorzás közül a skaláris szorzat

nekünk sokkal hasznosabb lesz, így hát

elbúcsúzunk a diadikus szorzattól.

A skaláris szorzatra pedig bevezetünk

egy egyszerű jelölést.

Ezzel megspóroltunk néhány *-ot.

De lássuk mire jó még a skaláris szorzat.


Mátrixok determinánsa

MÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA

DEFINÍCIÓ: Ha az  egy -es mátrix, akkor determinánsa

ahol p az oszlopindexek permutációi, I(p) pedig ezen permutációk inverziószáma.

Ez egy igazán remek definíció, de egy kis magyarázatot igényel.

Valójában a mátrixok determinánsa sokkal egyszerűbb fogalom.

Arról van szó, hogy a mátrix minden sorából és oszlopából kiválasztunk egy és csak egy elemet, és ezeket az elemeket összeszorozzuk. Ezt az összes lehetséges módon

megtesszük, és a szorzatokat ellátjuk egy előjellel, végül az így kapott előjeles

szorzatokat összeadjuk.

 EGY 2x2-ES MÁTRIX DETERMINÁNSA

Nézzünk erre egy példát. Itt van egy mátrix:

aminek a determinánsa

A determináns tehát azt tudja, hogy minden mátrixból csinál

egyetlen számot.

Hamarosan az is kiderül, hogy mindez mire jó, de most lássuk

mi a helyzet egy 3X3-as mátrix determinánsával!

EGY 3x3-AS MÁTRIX DETERMINÁNSA

A 3X3-as mátrixok determinánsának kiszámolására van egy szabály,

ami szarrusz szabály néven ismert.

A szabály lényege, hogy fogjuk a mátrixot

és leírjuk saját maga mögé még egyszer,

majd vesszük a főátlókat és a mellékátlókat.

A főátlók elemeit összeszorozzuk és pozitív előjellel vesszük,

aztán a mellékátlók elemeit is összeszorozzuk, de azokat negatív előjellel vesszük.

Ez a mátrix determinánsa.

A módszer sajnos csak 3x3-as mátrixokra működik és nem túl kellemes.

Sokkal több értelme van megjegyezni az úgynevezett kifejtési tételt,

ami minden nxn-es mátrixra jó és most jön.

Ha az  egy -es mátrix, akkor determinánsa

Itt  a  elemhez tartozó aldetermináns.

Semmi ok az aggodalomra, a gyakorlatban mindez sokkal egyszerűbb.

Nézzünk egy példát!

Van itt ez a 3x3-as mátrix:

Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk az első sora

szerint fejtjük ki.

Kifejthetjük a második sor szerint is, majd megnézzük azt is,

a végeredmény ugyanaz kell, hogy legyen.

Az első sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos  

de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.

Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!

A sakktábla-szabály miatt a második elem mínusszal van.

A harmadik megint plusszal.

Most jönnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek,

hogy az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.

Végül kiszámoljuk a 2X2-es mátrixok determinánsait.

És kész is.

Nézzük meg, hogy mi történik, ha a második sor szerint fejtünk ki!

Ha a második sor szerint fejtünk ki, akkor a sakktábla-szabályban is

a második sort kell nézni.

És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,

de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.

Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!


A kifejtési tétel

A KIFEJTÉSI TÉTEL

A kifejtési tétel lényege az, hogy bármilyen nagy -es mátrix

determinánsának meglehetősen kellemetlen kiszámolását visszavezeti

-es mátrixok determinánsára, amit már könnyen ki tudunk számolni.

Maga a tétel első ránézésre kicsit barátságtalannak tűnik,

de mindjárt nézünk rá egy konkrét példát.

Nézzük a példát!

Van itt ez a 4x4-es mátrix:

 Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk fejtsük ki

 a második sora szerint.

 Kifejthetnénk az első sor szerint is, majd megnézzük azt is,

 a végeredmény  így is úgy is ugyanaz lesz.

 A második sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos  

 de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.

A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.

Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!

A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.

A második elem plusszal van.

Aztán a harmadik elem ismét mínusszal, mellesleg ő eleve negatív.

A negyedik elem pedig megint plusszal.

Most jöhetnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek, hogy mindig

az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.

És aztán mindegyik aldeterminánst egyenként kiszámoljuk. Ez eltart egy darabig.

Próbáljuk meg érdekesebbé tenni a dolgot azzal, hogy az első sor szerint fejtünk ki.

Megint jön a sakktábla.

Itt jön aztán a következő aldetermináns kiszámolása.

Ezt  kifejthetjük mondjuk a harmadik sor szerint,

de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.

Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!

És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,

de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.

Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!

Térjünk rá a következő 3x3-as determinánsra.

Kifejthetjük bármelyik sor szerint, vagy bármelyik oszlop szerint,

de alkalmazhatunk egy kis varázslást is.

Ez bevált, úgyhogy az utolsó megmaradt determinánst is így intézzük el.

Ezzel kész az eredeti 4x4-es mátrix determinánsa!

Kiszámolhattuk volna úgy is, hogy nem a második sor szerint fejtjük ki, hanem mondjuk a negyedik oszlop szerint. Nézzük meg ezt is!

számolunk…

És tényleg így is  0  jön ki!

AZ  MÁTRIX DETERMINÁNSA NULLA, HA

VAN CSUPA NULLA SORA

VAN KÉT AZONOS SORA

EGYIK SORA MÁSIK SOR SZÁMSZOROSA

EGYIK SORA MÁS SOROK LINEÁRIS KOMBINÁCIÓJA

MINDEZ SOR HELYETT OSZLOPRA IS ELMONDHATÓ

HA A  MÁTRIX ÚGY KELETKEZIK AZ  MÁTRIXBÓL, HOGY

EGY SORÁNAK VAGY OSZLOPÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,

MINDEN SORÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,

KÉT SORÁT VAGY OSZLOPÁT FÖLCSERÉLJÜK

EGY SORÁHOZ VAGY OSZLOPÁHOZ MÁS SOROK VAGY OSZLOPOK LINEÁRIS   KOMBINÁCIÓJÁT ADJUK


Sajátérték és sajátvektor

Itt van két izgalmas definíció, amik eléggé hasonlók egymáshoz és az is közös bennük, hogy első ránézésre nehéz lenne megmondani mire jók valójában.

SAJÁTÉRTÉK: Az   -es mátrix sajátvektora egy olyan  nem nullvektor, amelyhez van valami  valós szám, hogy

SAJÁTVEKTOR: Az   -es mátrix sajátértéke egy olyan  valós szám, amelyhez van valami  nem nullvektor, hogy

De aggodalomra semmi ok, lássunk inkább egy konkrét példát.

Van egy remek -es mátrix

és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek mondjuk az  és a  vektor.

Elsőként az  vektort nézzük meg. Akkor sajátvektor, ha létezik olyan  szám, hogy

Sajnálatos módon azonban ilyen  nem létezik.

Ha ugyanis , akkor a 9 nem fog kijönni, ha , akkor pedig a 3 nem jön ki.

Próbálkozhatunk persze még egyéb számokkal is, de akkor pedig se a 3, se a 9 nem jön ki. Vagyis az  vektor nem sajátvektora az  mátrixnak.

Lássuk mi a helyzet a  vektorral. Akkor sajátvektor,  ha létezik olyan  szám, hogy

Ilyen  létezik, mégpedig . A  vektor tehát az  mátrixnak sajátvektora,

és a hozzá tartozó sajátérték . A következőkben arról lesz szó, hogyan tudjuk megtalálni egy mátrix összes sajátértékét és sajátvektorát.

Egy általános módszert fogunk kifejleszteni a sajátvektorok és sajátértékek kiszámolására, aminek lényege, hogy

Rendezzük nullára.

És emeljük ki a  vektort

Csakhogy van egy kis gond.

Nem sok értelme van ugyanis annak, hogy  mert az egyikük egy mátrix, a másik pedig valamilyen szám, ezért a kivonás nem elvégezhető.

Szükség van tehát egy kis trükközésre.

A trükk lényege, hogy segítségül hívjuk az egységmátrixot, ami azt tudja, hogy bármilyen  vektorra  

odacsempésszük tehát az egységmátrixot

És így már tényleg ki lehet emelni.

Amit ezzel kaptunk, az nem más, mint egy  egyenletrendszer.

Ennek biztosan megoldása az , és akkor van más megoldása is, ha .

Nekünk éppen ezek a más megoldások kellenek, azok a megoldások, amikor

tehát azt kell kiderítenünk, mikor lesz .

Vagyis most ugye   

Ez egy egyenlet lesz, amit meg kell oldanunk, és az egyenlet megoldásai éppen a sajátértékek.

Az így kapott sajátértékeket visszahelyettesítjük majd ide,

és ebből lesznek a sajátvektorok.

De menjünk szépen lépésről lépésre!

Számoljuk ki az  mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.

1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET

A főátló elemeiből kivonogatunk -kat, majd  az így kapott determinánst egyenlővé tesszük nullával. Ez a karakterisztikus egyenlet.

2. A  SAJÁTÉRTÉKEK

A  karakterisztikus egyenlet megoldásai a sajátértékek.

3. A SAJÁTVEKTOROK

Az  egyenletrendszer megoldásai a sajátvektorok.

Egy -es mátrixnak mindig  koordinátából álló sajátvektorai

vannak, a megoldandó egyenletrendszer tehát valahogy így néz ki:

Az egyenletrendszernek mindig végtelen sok megoldása lesz.

1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET

A főátló elemeiből kivonogatunk -kat,

majd  az így kapott determinánst

egyenlővé tesszük nullával.

2. A  SAJÁTÉRTÉKEK

A  karakterisztikus egyen-

let megoldásai a sajátértékek.

3. A SAJÁTVEKTOROK

Az  egyenletrendszer

megoldásai a sajátvektorok.

Egy -es mátrixnak mindig

 koordinátából álló sajátvektorai vannak.

Ezt az egyenletrendszert kell megoldani:

Az egyenletrendszernek mindig végtelen sok megoldása lesz.

A főátló elemeiből kivonogatjuk a -kat

kifejtjük a determinánst:

az így kapott egyenlet a karakterisztikus egyenlet

az egyenlet megoldásai a sajátértékek:

 és

Lássuk a sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat! Mivel az  mátrix -es ezért a sajátvektorok két koordinátásak lesznek:

Most pedig megkeressük a hozzájuk tartozó sajátvektorokat.

A két sajátérték már megvan:  és

Most két sajátérték van, ezért két egyenletrendszerünk lesz.

Az egyik, amikor  a másik, amikor

Az egyik egyenletrendszer, amikor  a másik, amikor

Az egyenletrendszert bázistranszformációval oldjuk meg,

akinek ezzel kapcsolatos emlékei esetleg elhalványultak, nézze meg

az erről szóló nagyon izgalmas témakört.

A sajátvektorok:

A másik sajátvektor hasonlóan izgalmas módon:

A bázistranszformáció itt véget ér, így hát leolvassuk a megoldásokat.

A fönt maradt -et elnevezzük t-nek és s-nek.