Második gyakorlat
A mátrixok teljesen ártalmatlan teremtményei a matematikának.
Egy -as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, ami n darab sorból és k darab oszlopból áll.
A mátrixokat az ABC nagy betűivel jelöljük. Itt van például ez:
Ez egy (2X3)-as mátrix.
A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,
és egy oszlopindexük.
A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,
és egy oszlopindexük.
Egy -as mátrix, ami n darab sorból és k darab oszlopból áll,
tehát valahogy így néz ki:
A mátrixok marhára hasznosak számunkra, erről fog szólni lényegében az egész lineáris algebra témakör.
Mielőtt azonban hasznosságukról személyesen is megbizonyosodhatnánk, előbb nézzük meg milyen műveleteket végezhetünk velük.
1.SKALÁRSZOROS
A skalár nem egy betegség, azt jelenti, hogy valamilyen szám, legtöbbször valós szám.
2.ÖSSZEADÁS
Egy -as mátrixhoz csak egy másik -as mátrixot adhatunk hozzá.
3.SZORZÁS
Na ez a legizgalmasabb.
Egy -as mátrixszal csak egy -es mátrixot szorozhatunk.
A szorzat mátrixnak annyi sora lesz, mint A-nak és annyi oszlopa, mint B-nek, elemei pedig úgy keletkeznek, hogy az A egyik sorát szorozzuk B-nek egy oszlopával
Jön a trükk, tudományos nevén Falk-séma. Ennek az a lényege, hogy a mátrixokat sarkosan helyezzük el, valahogy így:
Kész a szorzat!
A mátrixok szorzásának egyik érdekes tulajdonsága,
hogy nem kommutatív.
Ha például megpróbáljuk ezt a szorzást fordítva elvégezni,
kiderül, hogy nem is lehet.
Ismerkedjünk meg néhány speciális mátrixfajtával.
KVADRATIKUS MÁTRIX
négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa
példa:
DIAGONÁLIS MÁTRIX
olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák
példa:
A diagonális mátrixoknak tehát csak a főátlója érdekes, mivel az összes többi elem nulla.
Ezért aztán vannak akik csak a főátló elemeket írják le. Ez a fura jel
valójában egy diagonális mátrix
EGYSÉGMÁTRIX
olyan mátrix, ami azt tudja, hogy bármely mátrixra
az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy
INVERZ MÁTRIX
jele , és ez egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy
(jobb inverz) (bal inverz)
Később látni fogjuk, hogy nem is olyan egyszerű elővarázsolni egy mátrix inverzét.
Ez az inverz dolog valós számoknál sokkal könnyebb, ott ugyanis
inverze mert ugye
inverze mert ugye
TRANSZPONÁLT
a mátrix sorainak és oszlopainak a felcserélése, jele vagy
SOR OSZLOP OSZLOP SOR
példa:
vagy
Azokat a mátrixokat, amelyek transzponáltja önmaga szimmetrikus mátrixnak nevezzük.
Itt van például egy szimmetrikus mátrix:
Mindezek jelenleg nem tűnnek túl izgalmasnak, de hamarosan majd elérkezik az idő, amikor kelleni fognak.
Most viszont jöjjenek a vektorok!
Azokat a mátrixokat, amiknek csak egyetlen oszlopuk van, vektoroknak nevezzük.
A vektorokat az abc kis betűivel jelöljük és aláhúzzuk őket.
Itt van például két vektor:
Az vektor -es vektor, a pedig -es, de a megemlítése teljesen felesleges, hiszen éppen azért nevezzük őket vektoroknak, mert csak egyetlen oszlopuk van.
Bőven elegendő tehát csak arról említést tenni, hogy hány darab számot tartalmaz maga a vektor. Ezeket a számokat a vektor koordinátáinak nevezzük.
Megnyugtató, hogy amit a geometriában vektornak tekintünk,
és amit az imént vektorként definiáltunk megfeleltethetők egymásnak.
Ha ugyanis veszünk mondjuk a térben három egyenest úgy,
hogy egymásra merőlegesek legyenek majd pedig
ellátjuk őket egy skálázással, akkor a geometriai vektorok
egyértelműen megfeleltethetők számhármasoknak.
Vagyis amikor vektorokról beszélünk, egyszerre gondolhatunk
-es mátrixokra és geometriai alakzatokra.
Lássuk milyen műveleteket tudunk vektorokkal végezni.
MŰVELETEK VEKTOROKKAL
1. SKALÁRSZOROS
példa:
2. ÖSSZEADÁS
példa:
TULAJDONSÁGOK:
kommutatív:
asszociatív:
3. SZORZÁS
skaláris szorzat: diadikus szorzat:
TULAJDONSÁGOK:
kommutatív:
nem asszociatív:
és
és
a skaláris szorzat:
diadikus szorzat:
TULAJDONSÁGOK:
nem kommutatív
nem asszociatív
példa:
és
a diadikus szorzat:
A kétféle szorzás közül a skaláris szorzat
nekünk sokkal hasznosabb lesz, így hát
elbúcsúzunk a diadikus szorzattól.
A skaláris szorzatra pedig bevezetünk
egy egyszerű jelölést.
Ezzel megspóroltunk néhány *-ot.
De lássuk mire jó még a skaláris szorzat.
MÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA
DEFINÍCIÓ: Ha az egy -es mátrix, akkor determinánsa
ahol p az oszlopindexek permutációi, I(p) pedig ezen permutációk inverziószáma.
Ez egy igazán remek definíció, de egy kis magyarázatot igényel.
Valójában a mátrixok determinánsa sokkal egyszerűbb fogalom.
Arról van szó, hogy a mátrix minden sorából és oszlopából kiválasztunk egy és csak egy elemet, és ezeket az elemeket összeszorozzuk. Ezt az összes lehetséges módon
megtesszük, és a szorzatokat ellátjuk egy előjellel, végül az így kapott előjeles
szorzatokat összeadjuk.
EGY 2x2-ES MÁTRIX DETERMINÁNSA
Nézzünk erre egy példát. Itt van egy mátrix:
aminek a determinánsa
A determináns tehát azt tudja, hogy minden mátrixból csinál
egyetlen számot.
Hamarosan az is kiderül, hogy mindez mire jó, de most lássuk
mi a helyzet egy 3X3-as mátrix determinánsával!
EGY 3x3-AS MÁTRIX DETERMINÁNSA
A 3X3-as mátrixok determinánsának kiszámolására van egy szabály,
ami szarrusz szabály néven ismert.
A szabály lényege, hogy fogjuk a mátrixot
és leírjuk saját maga mögé még egyszer,
majd vesszük a főátlókat és a mellékátlókat.
A főátlók elemeit összeszorozzuk és pozitív előjellel vesszük,
aztán a mellékátlók elemeit is összeszorozzuk, de azokat negatív előjellel vesszük.
Ez a mátrix determinánsa.
A módszer sajnos csak 3x3-as mátrixokra működik és nem túl kellemes.
Sokkal több értelme van megjegyezni az úgynevezett kifejtési tételt,
ami minden nxn-es mátrixra jó és most jön.
Ha az egy -es mátrix, akkor determinánsa
Itt a elemhez tartozó aldetermináns.
Semmi ok az aggodalomra, a gyakorlatban mindez sokkal egyszerűbb.
Nézzünk egy példát!
Van itt ez a 3x3-as mátrix:
Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk az első sora
szerint fejtjük ki.
Kifejthetjük a második sor szerint is, majd megnézzük azt is,
a végeredmény ugyanaz kell, hogy legyen.
Az első sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos
de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.
Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!
A sakktábla-szabály miatt a második elem mínusszal van.
A harmadik megint plusszal.
Most jönnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek,
hogy az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.
Végül kiszámoljuk a 2X2-es mátrixok determinánsait.
És kész is.
Nézzük meg, hogy mi történik, ha a második sor szerint fejtünk ki!
Ha a második sor szerint fejtünk ki, akkor a sakktábla-szabályban is
a második sort kell nézni.
És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,
de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.
Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!
A KIFEJTÉSI TÉTEL
A kifejtési tétel lényege az, hogy bármilyen nagy -es mátrix
determinánsának meglehetősen kellemetlen kiszámolását visszavezeti
-es mátrixok determinánsára, amit már könnyen ki tudunk számolni.
Maga a tétel első ránézésre kicsit barátságtalannak tűnik,
de mindjárt nézünk rá egy konkrét példát.
Nézzük a példát!
Van itt ez a 4x4-es mátrix:
Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk fejtsük ki
a második sora szerint.
Kifejthetnénk az első sor szerint is, majd megnézzük azt is,
a végeredmény így is úgy is ugyanaz lesz.
A második sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos
de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.
A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.
Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!
A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.
A második elem plusszal van.
Aztán a harmadik elem ismét mínusszal, mellesleg ő eleve negatív.
A negyedik elem pedig megint plusszal.
Most jöhetnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek, hogy mindig
az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.
És aztán mindegyik aldeterminánst egyenként kiszámoljuk. Ez eltart egy darabig.
Próbáljuk meg érdekesebbé tenni a dolgot azzal, hogy az első sor szerint fejtünk ki.
Megint jön a sakktábla.
Itt jön aztán a következő aldetermináns kiszámolása.
Ezt kifejthetjük mondjuk a harmadik sor szerint,
de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.
Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!
És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,
de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.
Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!
Térjünk rá a következő 3x3-as determinánsra.
Kifejthetjük bármelyik sor szerint, vagy bármelyik oszlop szerint,
de alkalmazhatunk egy kis varázslást is.
Ez bevált, úgyhogy az utolsó megmaradt determinánst is így intézzük el.
Ezzel kész az eredeti 4x4-es mátrix determinánsa!
Kiszámolhattuk volna úgy is, hogy nem a második sor szerint fejtjük ki, hanem mondjuk a negyedik oszlop szerint. Nézzük meg ezt is!
számolunk…
És tényleg így is 0 jön ki!
AZ MÁTRIX DETERMINÁNSA NULLA, HA
VAN CSUPA NULLA SORA
VAN KÉT AZONOS SORA
EGYIK SORA MÁSIK SOR SZÁMSZOROSA
EGYIK SORA MÁS SOROK LINEÁRIS KOMBINÁCIÓJA
MINDEZ SOR HELYETT OSZLOPRA IS ELMONDHATÓ
HA A MÁTRIX ÚGY KELETKEZIK AZ MÁTRIXBÓL, HOGY
EGY SORÁNAK VAGY OSZLOPÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,
MINDEN SORÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,
KÉT SORÁT VAGY OSZLOPÁT FÖLCSERÉLJÜK
EGY SORÁHOZ VAGY OSZLOPÁHOZ MÁS SOROK VAGY OSZLOPOK LINEÁRIS KOMBINÁCIÓJÁT ADJUK
Itt van két izgalmas definíció, amik eléggé hasonlók egymáshoz és az is közös bennük, hogy első ránézésre nehéz lenne megmondani mire jók valójában.
SAJÁTÉRTÉK: Az -es mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, amelyhez van valami valós szám, hogy
SAJÁTVEKTOR: Az -es mátrix sajátértéke egy olyan valós szám, amelyhez van valami nem nullvektor, hogy
De aggodalomra semmi ok, lássunk inkább egy konkrét példát.
Van egy remek -es mátrix
és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek mondjuk az és a vektor.
Elsőként az vektort nézzük meg. Akkor sajátvektor, ha létezik olyan szám, hogy
Sajnálatos módon azonban ilyen nem létezik.
Ha ugyanis , akkor a 9 nem fog kijönni, ha , akkor pedig a 3 nem jön ki.
Próbálkozhatunk persze még egyéb számokkal is, de akkor pedig se a 3, se a 9 nem jön ki. Vagyis az vektor nem sajátvektora az mátrixnak.
Lássuk mi a helyzet a vektorral. Akkor sajátvektor, ha létezik olyan szám, hogy
Ilyen létezik, mégpedig . A vektor tehát az mátrixnak sajátvektora,
és a hozzá tartozó sajátérték . A következőkben arról lesz szó, hogyan tudjuk megtalálni egy mátrix összes sajátértékét és sajátvektorát.
Egy általános módszert fogunk kifejleszteni a sajátvektorok és sajátértékek kiszámolására, aminek lényege, hogy
Rendezzük nullára.
És emeljük ki a vektort
Csakhogy van egy kis gond.
Nem sok értelme van ugyanis annak, hogy mert az egyikük egy mátrix, a másik pedig valamilyen szám, ezért a kivonás nem elvégezhető.
Szükség van tehát egy kis trükközésre.
A trükk lényege, hogy segítségül hívjuk az egységmátrixot, ami azt tudja, hogy bármilyen vektorra
odacsempésszük tehát az egységmátrixot
És így már tényleg ki lehet emelni.
Amit ezzel kaptunk, az nem más, mint egy egyenletrendszer.
Ennek biztosan megoldása az , és akkor van más megoldása is, ha .
Nekünk éppen ezek a más megoldások kellenek, azok a megoldások, amikor
tehát azt kell kiderítenünk, mikor lesz .
Vagyis most ugye
Ez egy egyenlet lesz, amit meg kell oldanunk, és az egyenlet megoldásai éppen a sajátértékek.
Az így kapott sajátértékeket visszahelyettesítjük majd ide,
és ebből lesznek a sajátvektorok.
De menjünk szépen lépésről lépésre!
Számoljuk ki az mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET
A főátló elemeiből kivonogatunk -kat, majd az így kapott determinánst egyenlővé tesszük nullával. Ez a karakterisztikus egyenlet.
2. A SAJÁTÉRTÉKEK
A karakterisztikus egyenlet megoldásai a sajátértékek.
3. A SAJÁTVEKTOROK
Az egyenletrendszer megoldásai a sajátvektorok.
Egy -es mátrixnak mindig koordinátából álló sajátvektorai
vannak, a megoldandó egyenletrendszer tehát valahogy így néz ki:
Az egyenletrendszernek mindig végtelen sok megoldása lesz.
1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET
A főátló elemeiből kivonogatunk -kat,
majd az így kapott determinánst
egyenlővé tesszük nullával.
2. A SAJÁTÉRTÉKEK
A karakterisztikus egyen-
let megoldásai a sajátértékek.
3. A SAJÁTVEKTOROK
Az egyenletrendszer
megoldásai a sajátvektorok.
Egy -es mátrixnak mindig
koordinátából álló sajátvektorai vannak.
Ezt az egyenletrendszert kell megoldani:
Az egyenletrendszernek mindig végtelen sok megoldása lesz.
A főátló elemeiből kivonogatjuk a -kat
kifejtjük a determinánst:
az így kapott egyenlet a karakterisztikus egyenlet
az egyenlet megoldásai a sajátértékek:
és
Lássuk a sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat! Mivel az mátrix -es ezért a sajátvektorok két koordinátásak lesznek:
Most pedig megkeressük a hozzájuk tartozó sajátvektorokat.
A két sajátérték már megvan: és
Most két sajátérték van, ezért két egyenletrendszerünk lesz.
Az egyik, amikor a másik, amikor
Az egyik egyenletrendszer, amikor a másik, amikor
Az egyenletrendszert bázistranszformációval oldjuk meg,
akinek ezzel kapcsolatos emlékei esetleg elhalványultak, nézze meg
az erről szóló nagyon izgalmas témakört.
A sajátvektorok:
A másik sajátvektor hasonlóan izgalmas módon:
A bázistranszformáció itt véget ér, így hát leolvassuk a megoldásokat.
A fönt maradt -et elnevezzük t-nek és s-nek.
