Negyedik gyakorlat

A témakör tartalma


Tanulj meg deriválni 10 perc alatt

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


Deriválás feladat

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat

Deriválás feladat