Normális eloszlás

A normális eloszlás

A normális eloszlás az egyik legfontosabb valószínűségi eloszlás. Általában a dolgok mennyiségbeli eloszlását írja le. Például egy repülőtér napi forgalma, egy iskolában a hallgatók magassága, egy palackozó üzemben a palackokba töltött folyadék mennyisége mind-mind normális eloszlásúnak tekinthető. A normális eloszlás eloszlásfüggvényének grafikonja igen jellegzetes, kinézetre olyan, az óriáskígyó, amikor lenyelte az elefántot. A görbét harang-görbének vagy Gauss-görbének szokás nevezni, a görbét leíró függvény pedig:

Itt  a normális eloszlás várható értéke,  pedig a szórása. A várható érték mindig a függvény grafikonjának legmagasabb pontjánál van, ez egyúttal a leggyakoribb érték, vagyis a módusz. A sűrűségfüggvény segítségével számoljuk ki a valószínűségeket, úgy, hogy meghatározzuk a függvény görbe alatti területét.

Nézzünk egy példát! Normális eloszlású például az 1,5 literes ásványvizes üvegben a beletöltött víz mennyisége. A palackozó gép azonban nem képes minden egyes üvegbe pontosan 1,5 liter vizet tölteni, az egyikbe egy kicsivel többet, a másikba egy kicsivel kevesebbet tölt. Ezt az ingadozást írja le a szórás. Legyen most a szórás 30 ml.

A normális eloszlás várható értéke tehát , szórása pedig, a 30 millilitert átváltva literre .

Számoljuk most ki annak a valószínűségét, hogy egy üvegben a beletöltött víz mennyisége kevesebb, mint 1,56 liter. Jelöljük x-el az üvegbe töltött víz mennyiségét. Amit ki kell számolnunk:

Rajzoljuk föl a normális eloszlás sűrűségfüggvényét. A maximuma 1,5-nél lesz, a grafikon valami ilyesmi:

Rajzoljuk most be azt is, amit ki szeretnénk számolni, nevezetesen, hogy egy üvegben a beletöltött víz mennyisége kevesebb, mint 1,56 liter. A keresett valószínűség éppen a görbe alatti terület lesz.

Ahhoz, hogy ezt a területet képesek legyünk meghatározni, szükségünk van egy táblázatra, amely minden egyes x értékhez megadja a hozzá tartozó görbe alatti területet. Azonban lehetetlen minden egyes normális eloszláshoz, vagyis minden egyes lehetséges várható értékhez és szóráshoz külön táblázatot készíteni. A problémát úgy oldhatjuk meg, ha készítünk csak egy táblázatot, méghozzá egy igen speciális normális eloszláshoz, a többi normális eloszlást pedig megpróbáljuk erre az egyre visszavezetni. Ezt a speciális normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük.

A standard normális eloszlás várható értéke E(x)=0, szórása pedig D(x)=1. Sűrűségfüggvénye a megszokott harang alakú görbe:

Hogyan lehet ekkor egy általános normális eloszlásból standard normális eloszlást csinálni? Valahogy el kell érni, hogy a normális eloszlású x várható értéke ne  legyen, hanem nulla, a szórása pedig ne  legyen, hanem egy.

A módszert standardizálásnak nevezzük, és lényege a következő. Az x értékeiből kivonjuk a várható értékét, majd az így kapott értéket elosztjuk a szórással. A kapott standard értékeket z-nek nevezzük. Ez sokkal egyszerűbb, mint amilyen bonyolultnak hangzik:

Ha azt akarjuk kiszámolni, hogy egy palackban 1,56 liternél kevesebb víz van, akkor itt x=1,56. A várható érték 1,5 a szórás pedig 0,03 volt, így a képlet szerint

Mit is jelent ez? Eddig, amikor még normális eloszlásunk volt, annak a valószínűségét akartuk kiszámolni, hogy x<1,56. Most, a standard normális eloszlás esetén már a z<2 kell nekünk. Ezt rajzoljuk be a standard normális eloszlás grafikonjára:

[Szövegdoboz: z<2]

A keresett valószínűség a bejelölt terület. Az, hogy mekkora ez a terület, egy táblázatból nézhetjük meg, ami a standard normális eloszlás eloszlástáblázata. Íme a táblázat:

z

z

0

0,5000

1,05

0,8531

0,05

0,5199

1,1

0,8643

0,1

0,5398

1,15

0,8749

0,15

0,5596

1,2

0,8849

0,2

0,5793

1,25

0,8944

0,25

0,5987

1,3

0,9032

0,3

0,6179

1,35

0,9115

0,35

0,6368

1,4

0,9192

0,4

0,6554

1,45

0,9265

0,45

0,6736

1,5

0,9332

0,5

0,6915

1,55

0,9394

0,55

0,7088

1,6

0,9452

0,6

0,7257

1,65

0,9505

0,65

0,7422

1,7

0,9554

0,7

0,7580

1,75

0,9599

0,75

0,7734

1,8

0,9641

0,8

0,7881

1,85

0,9678

0,85

0,8023

1,9

0,9713

0,9

0,8159

1,95

0,9744

0,95

0,8289

2

0,9772

1

0,8413

2,05

0,9798

A táblázatnak két kellemetlen tulajdonsága van. Az egyik, hogy a z értékekhez tartozó valószínűségek mindig a z-től balra eső területet adják meg, a tőle jobbra esőt nem. Ez azonban nem olyan tragikus, mivel tudjuk, hogy a teljes görbe alatti terület éppen egy. Ha tehát a jobbra eső területre van szükségünk, azt úgy kapjuk meg, hogy 1-ből kivonjuk a táblázatban szereplő értéket. Például, ha z=1, akkor az 1-től balra eső terület 0,8413 ez az, amit kikeresünk a táblázatból. Az 1-től jobbra eső terület ekkor 1-0,8413 ami 0,1587.

A táblázat másik kellemetlen tulajdonsága, hogy csak pozitív z értékeket tartalmaz. Ez azért probléma, mert sokszor adódik majd úgy, hogy z negatív. Hogy ebben az esetben mi a teendő, majd meglátjuk.

Térjünk most vissza a feladatunkhoz. Az eredeti feladat az volt, hogy kiszámoljuk a  valószínűséget. Aztán standardizáltunk:

És így már a P(z<2) amire szükségünk van. Ha rápillantunk a táblázatra, megkapjuk, hogy p(z<2)=0,9772.

Nézzünk meg néhány feladatot!

Egy bizonyos vonatjáraton 560 ülőhely áll rendelkezésre.  A vonat átlagos kihasználtsága 400 ülőhely, a szórás 100, az utas szám normális eloszlású. Indulás előtt szeretnénk a vonatra 4 jegyet váltani. Mi a valószínűsége, hogy nem lesz elegendő szabad hely?

Akkor nem lesz elegendő hely négy ember számára, ha a vonatra jegyet váltó utasok 560-nál többen vannak. Ennek valószínűségét kell kiszámolnunk.

A várható érték megegyezik a vonat átlagos kihasználtságával, ami 400, a szórás pedig 100, tehát  és . Standardizálunk.

A normális eloszlásban még p(560<x) kellett, most már p(1,6<z)

[Szövegdoboz: 1,6

A táblázatból kikeressük az 1,6-hoz tartozó értéket, ami 0,9452. Most azonban nekünk nem a balra, hanem a jobbra eső terület kell, ami 1-0,9452=0,0548. Ez a feladat megoldása. Annak esélye, hogy nem kapunk jegyet 5% körüli.

Egy repülőtéren jelenleg öt kifutópálya üzemel, amely óránként maximum 12 tranzakcióra (gép indítására vagy fogadására) alkalmas. A repülőtéren ezen tranzakciók száma normális eloszlású óránként átlag  40, a szórás 20. Mekkora valószínűséggel alakul ki torlódás? Egyik nap, havazás miatt csak 3 pálya működik. Mi a valószínűsége, hogy nem kell törölni járatot?

Akkor alakul ki torlódás, ha nem elég a rendelkezésre álló öt kifutópálya sem. Mivel pályánként 12 tranzakció lehetséges, ez öt pályánál 60 tranzakció. Akkor nem elég az öt pálya, ha a gépek száma 60<x. Ennek valószínűsége:

Standardizálunk. A várható érték 40 gép, a szórás 20, tehát  és .

A normális eloszlásban még p(60<x) kellett, most már p(1<z)

Kikeressük a táblázatból az 1-hez tartozó értéket, ami 0,8413. Nekünk azonban most a jobbra eső terület kell, ami 1-0,8413=0,1587.

[Szövegdoboz: 1

Ha egyik nap a havazás miatt csak három pálya használható, akkor ez 3szor 12 vagyis 36 gép fogadására alkalmas. Akkor nem kell járatot törölni, ha a gépek száma az adott órában maximum 36. Ennek a valószínűségét kell kiszámolnunk:

Standardizálunk. A várható érték 40 gép, a szórás 20, tehát  és .

A normális eloszlásban még p(x<36) kellett, most már p(z<-0,2)

És itt jön a táblázat másik kellemetlen tulajdonsága, nevezetesen az, hogy nem tartalmaz negatív értékeket. A -0,2-t tehát sajnálatos módon nem fogjuk benne megtalálni. Ilyenkor a teendő a következő.

Amit valójában ki szeretnénk számolna, a p(z<-0,2) valószínűség, ami rajzban így fest:

[Szövegdoboz: z<-0,2]

Mivel azonban negatív számok nincsenek a táblázatban, az egészet tükrözzük, és így kapjuk, hogy

[Szövegdoboz: 0,2

Most megkeressük a 0,2-höz tartozó értéket a táblázatban. Ez 0,5793. Eredetileg nekünk a bal oldali terület kellett, ám a tükrözés után ez átkerült jobb oldalra. A táblázatból kapott 0,5793 a 0,2-től balra eső terület, ami nem kell. Ami kell, az 1-0,5793=0,4207. Tehát 42% esély van rá, hogy nem kell az adott órában járatot törölni.

Egy metróállomáson három mozgójárda segíti az átszállást. Minden járda óránként 2500 utast tud továbbítani. Az utasok óránkénti száma normális eloszlású, várható értéke 6000, szórása 1000. Mi a valószínűsége, hogy a forgalom miatt nem elég két járdát üzemeltetni? Elvileg naponta átlagosan hány órán keresztül kell a torlódás elkerülése érdekében mind a három járdát üzemeltetni? Mekkora valószínűséggel alakul ki torlódás annak ellenére, hogy mind a három járda működik?

Akkor nem elég két járdát üzemeltetni, ha a forgalom nagyobb, mint amit két járda képes lebonyolítani. Ha járdánként 2500 utas továbbítható egy óra alatt, akkor két járda maximum 5000 utast tud szállítani. Akkor nem elég a két járda, ha az utasok száma 5000<x. ennek valószínűsége:

Standardizálunk. A várható érték 6000 utas a szórás 1000, tehát  és .

A normális eloszlásban még p(5000<x) kellett, most már p(-1<z)

[Szövegdoboz: -1

Sajnálatos módon a -1 nem található meg a táblázatban, ezért az egészet tükrözzük:

[Szövegdoboz: z<1]

Ez már megtalálható a táblázatban, és a z=1-hez tartozó érték pont jó is, hiszen a nekünk kellő terület pont balra esik. A táblázatból kinézzük: 0,8413. Az esetek 84%-ban szükség van mindhárom járdára.

Mindhárom járda működése esetén akkor alakul ki torlódás, ha az utasok száma meghaladja a három járda által továbbítani képes 7500-as számot:

Standardizálunk:

[Szövegdoboz: 1,5

Kikeressük a táblázatból az 1,5-höz tartozó értéket, ami 0,9332. Nekünk azonban

nem az 1,5-től balra eső területre van szükségünk, így a megoldás 1-0,9332 vagyis 0,0668 lesz. Mindössze 7% körüli az esélye, hogy mind a három járdát működtetik és mégis torlódás alakul ki.

Egy almafajta átmérője átlag 12 cm, a szórás 4 cm. Az alma nem hozható kiskereskedelmi forgalomba, ha átmérője 5 cm-nél kisebb, vagy 16 cm-nél nagyobb. Egy 10.000 darabos szállítmányból várhatóan hány darab alma hozható forgalomba?

Annak valószínűségét kell kiszámolnunk, hogy egy alma jó, ami annyit tesz:

Ezt rajzoljuk be a sűrűségfüggvény grafikonjába.

[Szövegdoboz: 5 16]

Standardizálunk.

Most a várható érték  a szórás pedig . Ekkor az eredeti normális eloszlásban még a standardizálás után viszont

Vagyis  amit berajzolunk a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonjára.

[Szövegdoboz: -1,4 0,8]

A keresett területet úgy fogjuk kiszámolni, hogy a 0,8-tól balra eső területből kivonjuk a -1,4-től balra eső területet.

[Szövegdoboz: 0,8]

[Szövegdoboz: -1,4]

Ezeket a területeket a táblázatból kapjuk meg. Az egyik 0,7881, míg a másik a szokásos tükrözéses procedúra után 0,0808. A keresett valószínűség a kettő különbsége:

0,7881-0,0808=0,7073.

Egy üzlet napi forgalma közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változó. A vásárlók átlagos száma 568 fő, a szórás 16 fő. Mekkora valószínűséggel lesz egy adott napon a vevők száma legfeljebb 600 fő?

Nos ennél a pontnál három eset lehetséges.

Az első és egyben nem túl valószínű eset az, hogy valóban érdekel minket, hogy mekkora ez a valószínűség.

Ez annyira ritka, hogy el is felejthetjük.

A második lehetőség, hogy ez valamilyen idióta feladat, amit meg kell oldanunk, de nem adtak mellé eloszlástáblázatot.

Jó hír, ebben az esetben kész, ez a megoldás.

És, hogy mi is az eloszlástáblázat? Nos ez.

Ebben a táblázatban kell megtalálnunk a keresett valószínűséget akkor, ha a feladat mellé adnak nekünk egy ilyet is. Ez volna a harmadik eset.

Megkeressük a táblázatban a 2-t.

Meg is van. Mindjárt kétszer is.

Sajna ugyanis ilyen normális eloszlás táblázatból kétfél van forgalomban.

De mielőtt elhatalmasodna rajtunk a kétségbeesés, vessünk azért egy pillantást a táblázatokra.

A két táblázat lényegében ugyanaz, csak a jobb oldaliban minden érték 0,5-tel kevesebb.

Ha a bal oldali táblázatot használjuk, akkor kész is. Ez a szám a megoldás.

Ha a jobb oldalit, akkor is kész, csak még hozzá kell adni 0,5-öt.

És, hogy honnét tudjuk, melyik típusú táblázatunk van?

Nos, nagyon egyszerű. Abban a táblázatban, ahol nem kell hozzáadni semmit, ott minden szám 0,5 és 1 között van.

A másikban pedig 0 és 0,5 között.

Hát ez jó, és akkor nézzünk meg egy másik feladatot is.

Egy határátkelőhelyen a várakozási idő normális eloszlású valószínűségi változó, 18 perc várható értékkel. Annak valószínűsége, hogy az átkelésig legfeljebb 6 percet kell várni

Mekkora valószínűséggel tart legfeljebb 20 percig a várakozás?

Mekkora a valószínűsége, hogy 10 percnél több, de 20 percnél kevesebb ideig kell várni?

Minden normális eloszlásos feladat megoldásánál szükségünk van a várható értékre és a szórásra.

Most a várható értéket tudjuk, de a szórást nem.

Úgyhogy lépéseket teszünk a szórás kiszámolásának érdekében.

Van egy remek képletünk azokra az esetekre, amikor itt negatív szám van.

Íme itt is van.

És most végre válaszolhatunk a kérdésekre.

Egy palackozó üzemben 1 literes ásványvizeket töltenek, közelítőleg normális eloszlással. Annak valószínűsége, hogy az üvegbe töltött víz a várhatótól legfeljebb 25 milliliterrel eltér

Mekkora a szórás?

Van egy ilyen, hogy

Olyan viszont nincs, hogy ha  akkor mi van…

Így aztán szükségessé válnak bizonyos átalakítások.