- Bevezető
- Kombinatorika
- Elemi valószínűségszámítás és eseményalgebra
- Teljes valószínűség tétele és Bayes tétel
- Mintavételek típusai
- Valószínűségi változó, várható érték, szórás
- Lineáris algebra
- Markov láncok
- Függvények
- Deriválás
- Függvényvizsgálat & szélsőérték-feladatok
- Nagy számok törvénye, centrális határeloszlástétel
- Normális eloszlás
- Többváltozós deriválás
- Integrálás
Valószínűségi változó, várható érték, szórás
Folytonos valószínűségi változó
Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság. Ebben az esetben az eloszlás függvény is mindig folytonos függvény lesz.
Diszkrét valószínűségi változó
Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel. Ez azt jelenti, hogy vagy véges sokat, vagy végtelent, de úgy, hogy fel tudjuk sorolni az értékeit.
Eloszlásfüggvény
Az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:
\( F(x)=P(X<x) \)
Ha az $X$ valószínűségi változó diszkrét és értékei $X=a, X=b, X=c$ meg ilyenek, akkor az eloszlásfüggvény mindig egy lépcsőzetes függvény, ami minden számnál pontosan akkorát ugrik, mint az adott szám valószínűsége, amíg el nem érjük az 1-et.
\( F(x) = \begin{cases} 0 \quad \text{ha} \; x \leq a \\ P(X=a) \quad\text{ha} \; a<x \leq b \\ P(X=a)+P(X=b) \quad \text{ha} \; b<x \leq c \\ \dots \\ 1 \end{cases} \)
Ha az $X$ valószínűségi változó folytonos, akkor az $a$ és $b$ számok között bármilyen valós értéket fölvehet. Ilyenkor az eloszlásfüggvény is folytonos, ami $a$-ig nullát vesz föl, $a$ és $b$ közt növekszik és $b$ után végig egyet vesz föl.Vagyis ahol az $X$ valószínűségi változó működik, ott a függvény életre kel, előtte és utána pedig hibernált állapotban van.
Várható érték diszkrét esetben
A várható érték jele $E(X)$.
Diszkrét esetben úgy kell kiszámolni, hogy
\( E(X) = \sum X_i P(X_i) \)
Szórás diszkrét esetben
A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk.
Jele: $D(X$)
Kiszámításának módja diszkrét esetben:
\( D(X) = \sqrt{E \left( X^2 \right) - E^2(X) } \)
Hipergeometriai eloszlás
A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás.
Ismert, hogy mennyi az összes elem és az összes selejt, vagyis $N, K$ és $n$.
\( P(X=k) = \frac{ \binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k} }{ \binom{N}{n} } \)
A hipergeometriai eloszlás várható értéke:
\( E(X) = n \frac{K}{N} \)
A hipergeometriai eloszlás szórása:
\( D(X) = \sqrt{ n \frac{K}{N} \left( 1- \frac{K}{N} \right) \frac{N-n}{N-1}} \)
Binomiális eloszlás
A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás.
Csak valami %-os izé ismert, a várható érték, az átlag, az arány, a valószínűség, továbbá $X$ korlátos diszkrét valószínűségi változó.
\( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
A binomiális eloszlás várható értéke:
\( E(X) = np \)
A binomiális eloszlás szórása:
\( D(X) = \sqrt{np (1-p) } \)
Poisson eloszlás
A poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás.
Csak valami %-os izé ismert, a várható érték, az átlag, az arány, a valószínűség, továbbá $X$ nem korlátos diszkrét valószínűségi változó.
\( P(X=k) = \frac{ \lambda^k }{k!} e^{-\lambda} \)
A binomiális eloszlás várható értéke:
\( E(X) = \lambda \)
A binomiális eloszlás szórása:
\( D(X) = \sqrt{\lambda } \)
Exponenciális eloszlás
Az exponenciális eloszlás egy folytonos eloszlás.
Eloszlásfüggvénye:
\( F(x) = \begin{cases} 0 \quad \text{ha} \; x \leq 0\\ 1-e^{-\lambda x} \quad \text{ha} \; 0 < x \end{cases}\)
Sűrűségfüggvénye:
\( f(x) = \begin{cases} 0 \quad \text{ha} \; x \leq 0 \\ \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{ha} \; 0<x \end{cases}\)
Az exponenciális eloszlás várható értéke:
\( E(X) = \frac{1}{\lambda} \)
Az exponenciális eloszlás szórása:
\( D(X) = \frac{1}{\lambda} \)
Egy céltábla sugara 50 cm. Azt a távolságot, hogy ilyen távol lövünk a céltábla középpontjától, jelöljük $X$-szel. Tegyük föl, hogy a céltáblát biztosan eltaláljuk.
a) $P(X<10)=?$
b) $P(X<20)=?$
c) $P(X<x)=?$
3 darab 10 dollárossal befektetési terveink vannak, egy rulett segítségével. A terv a következő: felteszünk 10 dollárt a pirosra. Ha nyer, akkor megdupláztuk a 10 dollárt és abbahagyjuk a játékot. Namost, ha veszít, akkor újabb 10 dollárt teszünk a pirosra, és ha ezúttal nyerünk, akkor szintén abbahagyjuk a játékot. Ha másodszorra sem nyerünk, akkor az utolsó 10 dollárt is felrakjuk a pirosra. A kérdés az, várhatóan mennyi pénzünk lesz a tranzakció végén.
Egy magasugró versenyen a versenyzők 0,8 valószínűséggel ugorják át a lécet. Minden versenyző háromszor próbálkozhat. Mivel könnyen megeshet, hogy nem rajongunk a magasugró versenyekért, így nem teljesen alaptalan az a kérdés, hogy 12 versenyző esetén várhatóan hány ugrást kell megtekintenünk.
a) Egy dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok várható értéke és szórása?
b) Két dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok összegének várható értéke és szórása?
Elemér és Huba egy dobókocka játékot játszanak. Huba annyi dollárt ad Elemérnek, amennyi a dobott szám kétszerese, Elemér pedig annyit ad Hubának, amennyi a dobott szám négyzete. Melyikünk kedvez a játék?
Az ötös lottón, egy hasábon 5 számot kell beikszelnünk 1-től 90-ig. Ha nulla vagy egy számot találunk el, akkor nem nyerünk semmit. Két találat esetén a nyeremény 700 Ft, hármas találatnál 10 ezer Ft, négyes esetén 789 ezer Ft, az ötös pedig 535 millió Ft-ot fizet. Mennyi a nyereményünk várható értéke?
Két kockával dobva mennyi a dobott számok nem kisebbikének várható értéke?
Két kockával dobva mennyi a dobott számok nem kisebbikének várható értéke?
Egy magasugró versenyen a versenyzők 0,8 valószínűséggel ugorják át a lécet. Minden versenyző háromszor próbálkozhat. Mivel könnyen megeshet, hogy nem rajongunk a magasugró versenyekért, így nem teljesen alaptalan az a kérdés, hogy 12 versenyző esetén várhatóan hány ugrást kell megtekintenünk.
a) Egy úton 30 nap alatt 12 napon történt baleset. Ebből a 30 napból kiválasztunk egy hetet, mi a valószínűsége, hogy ezen a héten 2 balesetes nap van?
b) Egy úton 30 napból átlag 12 balesetes nap van. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 balesetes nap van?
c) Egy úton 30 nap alatt átlag 12 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 baleset van?
Egy bankba óránként átlag 24 ügyfél érkezik.
a) Mi a valószínűsége, hogy 7 perc alatt éppen 2-en érkeznek?
b) Mi a valószínűsége, hogy 7 perc alatt legfeljebb 2-en érkeznek?
c) Mi a valószínűsége, hogy 5 perc alatt legalább 2-en érkeznek?
Itt az idő, hogy megnézzük hogyan működik a három legfontosabb diszkrét eloszlás, a hipergeometriai, a binomiális és a Poisson eloszlás.
Nézzünk mindegyikhez egy kis mesét.
Ez tulajdonképpen az a történet, hogy egy dobozban van 30 golyó, amiből 12 piros.
Kiveszünk 7 darabot és mi a valószínűsége, hogy 2 piros?
Itt már más a helyzet, ugyanis nem pontosan 12, hanem átlag 12 balesetes nap van.
Ez Poisson pedig még izgalmasabb lesz. A kérdés mindhárom mesében ugyanaz, hogy mekkora a P(X=2) valószínűség. A válasz viszont már mindegyik mesében más lesz. Az első két mesében X a balesetes napok száma, a harmadikban pedig a balesetek száma.
Ebben a két történetben az a közös, hogy egyikben sem tudjuk, hány baleset történik a 30 nap alatt pontosan, csak azt tudjuk, hogy várhatóan mennyi. Amiben viszont eltérnek egymástól, hogy az egyikben X a balesetes napok száma, a másikban viszont a balesetek száma. Ez egy döntő különbség.
ISMERT,HOGY MENNYI AZ ÖSSZES ELEM ÉS AZ ÖSSZES SELEJT: HIPERGEOMETRIAI
ELOSZLÁS
CSAK VALAMI %-OS IZÉ ISMERT,
A VÁRHATÓ, AZ ÁTLAG, AZ ARÁNY, A VALÓSZÍNŰSÉG: BINOMIÁLIS
ELOSZLÁS vagy POISSON
ELOSZLÁS
Ez a bizonyos λ tehát a Poisson eloszlás várható értéke.
A várható értéket megnézhetjük a másik két eloszlásnál is. Ott erre külön képletek vannak.
Nézzük meg a szórásokat is. Erre mindegyik eloszlásnál külön képlet van forgalomban.
Most pedig lássuk a valószínűségeket.
Az X valószínűségi változó n és p paraméterű binomiális eloszlást követ – vagy rövidebben binomiális eloszlású – pontosan akkor, ha
[\bold P (X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0, 1, 2, ... , n \quad ,]
ahol 0 < p < 1. Azt, hogy az X valószínűségi változó n és p paraméterű binomiális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni: X ∼ B(n,p). Speciálisan, ha X ∼ B(1,p), akkor X-et Bernoulli-eloszlásúnak nevezzük.
A valószínűségszámításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, a binomiális eloszlás határeloszlása. Kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát
Az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson-eloszlást követ – vagy rövidebben: Poisson-eloszlású – pontosan akkor, ha
[\bold P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0, 1, 2, ... \quad]
ahol λ > 0 konstans.
A binomiális eloszlás
Egy dobókockával négyszer egymás után dobunk. Mi a valószínűsége, hogy mind a négy dobás egyes? Annak a valószínűsége, hogy egy dobás egyes világos, hogy 1/6. Ha tehát mind a négy dobás egyes, akkor ennek valószínűsége:
Mekkora annak a valószínűsége, hogy a négy dobásból csak két dobás egyes? Ekkor az egyes dobás valószínűsége még mindig 1/6, míg annak a valószínűsége, hogy a dobás nem egyes 5/6. A kapott eredmény tehát
ez az eredmény azonban hibás! Azért hibás, mert ugyan négy darab 1-est csak egyféleképpen tudunk dobni – történetesen, hogy mindegyik dobás 1-es – ám két 1-est és két nem 1-est jóval többféleképpen. A négy hely közül azt a kettőt, ahol az 1-es lesz hatféleképpen lehet kiválasztani, a helyes megoldás tehát
Ez a sajnálatos körülmény azonban jelentős fennakadásokat okozhat a feladatok megoldásánál. Az emberek legnagyobb része ugyanis hajlamos elfelejteni ezt a kis kellemetlenséget, hogy kell az a bizonyos 6-os szorzó, vagy ha épp emlékszik is rá, hogy kell oda még valami, miért pont 6-os. Hogy mindezen szörnyűségeket elkerüljük, megalkotunk egy képletet direkt az ilyen esetekre. A képlet a következő:
Egy esemény bekövetkezésére van n darab független lehetőség. Az esemény minden egyes alkalommal vagy bekövetkezik vagy nem. A bekövetkezés valószínűsége minden egyes alkalommal p. Annak valószínűsége, hogy az n darab lehetőség közül éppen x-szer következik be:
Nézzünk néhány feladatot.
Egy nap 0,2 valószínűséggel esik az eső. Mi a valószínűsége, hogy egy hét alatt három nap esik?
Azonosítsuk be, hogy ki kicsoda. Egy héten maximum hét nap lehet, így a lehetőségek száma hét: n=7 Az esős napok száma három, vagyis x=3, annak a valószínűsége pedig, hogy egy nap esik, p=0,2. Ekkor:
Egy üzletben 100 vásárlóból átlag 7-en reklamálnak. Mi a valószínűsége, hogy ha 10-en állnak sorba, akkor 2-en fognak reklamálni?
a)Mi a valószínűsége, hogy a 10 emberből legfeljebb ketten reklamálnak?
b)Mi a valószínűsége, hogy a 10 emberből legalább ketten reklamálnak?
Ha 10-en állnak sorba, akkor a reklamálók száma maximum 10, ezek szerint n=10. A képletben p mindig 1 db bekövetkezés valószínűsége. Most tehát p annak a valószínűsége, hogy 1 db ember reklamál. Ha 100 vásárlóból 7-en reklamálnak, akkor a vásárlók 7%-a reklamál, vagyis p=0,7. Annak valószínűsége, hogy éppen ketten reklamálnak:
a) annak valószínűsége, hogy legfeljebb ketten reklamálnak
ezeket egyesével mind kiszámoljuk.
b) Most számoljuk ki annak valószínűségét, hogy a 10 emberből legalább ketten reklamálnak. Ekkor nem lenne célravezető, hogy
ez ugyanis kicsit sok számolással jár. Helyette a komplementer eseményt fogjuk számolni. Történetesen azt, hogy kettőnél kevesebb ember reklamál, ami azt jelenti, hogy vagy nulla, vagy egy ember reklamál.
ez jóval kellemesebb.
100 emberből átlag 80-nak van bankkártyája. Egy bevásárlóközpontban egy adott időpontban 1000 ember vásárol. Várhatóan hány rendelkezik bankkártyával? Ha 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7 embernek lesz bankkártyája? Mi a valószínűsége, hogy van olyan ember, akinek van bankkártyája?
A 10 sorba álló mindegyike rendelkezhet bankkártyával, az összes lehetőség száma így n=10. annak valószínűsége, hogy valakinek van bankkártyája 0,8 hiszen 100 emberből átlag 80-nak van, ami 80%-ot jelent. Annak valószínűsége, hogy a sorba állók közül 7-nek van:
Az, hogy van olyan ember akinek van bankkártyája, azt jelenti, hogy legalább egy embernek van, vagyis
Ezt kiszámolhatjuk úgy, hogy
ám ez roppant időigényes lenne, ezért helyette
Módszert alkalmazzuk. Ekkor
Az USA déli államainak kőolaj ellátásához a Mexikói-öbölbe telepített 30 olajfúró toronyból legalább 27-nek kell zavartalanul működnie. A működésben kisebb zavar 0,02 valószínűséggel fordul elő. Mi a valószínűsége, hogy egy nap zavartalan lesz az ellátás?
Az ellátás akkor zavartalan, ha legalább 27 olajfúró torony működik. Ennek valószínűségét kell kiszámolnunk. Itt n=30, p=0,98, tehát:
Az előző képsorban megkezdtük a barátkozást a három legfontosabb diszkrét eloszlással, most pedig nézzünk néhány feladatot.
Egy bankba óránként átlag 24 ügyfél érkezik.
a)Mi a valószínűsége, hogy 7 perc alatt éppen 2-en érkeznek?
b)Mi a valószínűsége, hogy 7 perc alatt legfeljebb 2-en érkeznek?
c)Mi a valószínűsége, hogy 5 perc alatt legalább 2-en érkeznek?
Óránként átlag 24 ügyfél érkezik, de ez csak egy átlag. Vagyis megeshet, hogy egyik órában nem jön senki, a másikban pedig 50-en. Az ügyfelek száma tehát nem korlátos, akármennyi lehet. Na azért nem valószínű, hogy a következő 7 percben 7 milliárd ügyfél érkezik, de ki tudja. Ha még emlékszünk a balesetes példára, balesetes nap biztosan csak 7 darab lehet egy héten, de baleset lehet akár 7 milliárd is. Az ügyfelek száma a bankban tehát nem a balesetes nap, hanem a baleset.
Ez tehát egy POISSON ELOSZLÁS így szükségünk van a várható értékre.
Ha óránként 24 ügyfél érkezik, akkor percenként 24/60=0,4 és 7 perc alatt 7-szer annyi: 2,8.
Öt perc alatt várhatóan nem ugyanannyi ügyfél érkezik, mint 7 perc alatt, ezért a várható értéket itt más lesz.
Ha óránként 24 ügyfél érkezik, akkor percenként 24/60=0,4 és 5 perc alatt 5-ször annyi, vagyis éppen 2.
azt jelenti, hogy
Ami egy kicsit sok, ezért inkább a komplementerrel számoljunk.
Egy bizonyos évszakban minden nap 0,2 valószínűséggel esik eső. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik?
X=esős napok száma
Ez biztosan korlátos, mert egy héten maximum 7 esős nap lehet.
Egy autópályán 100 autóból átlag 12-nél találnak valamilyen szabálytalanságot. 10 autót véletlenszerűen megállítva mi a valószínűsége, hogy
a) pontosan két autónál lesz valamilyen szabálytalanság?
b) legfeljebb két autónál lesz szabálytalanság?
c) legalább két autónál lesz szabálytalanság?
d) két egymást követő autó szabálytalan?
X=szabálytalan autó
10 autót állítanak meg, ezért meglepő lenne, ha mondjuk 13 lenne szabálytalan.
A szabálytalan autók száma tehát korlátos, maximum 10 lehet.
p=annak valószínűsége, hogy egy autó szabálytalan.
Ha 100 autóból 12 szabálytalan, akkor az autók 12%-a szabálytalan, így
Ez így kicsit sok lesz, úgyhogy inkább a komplementerrel számolunk.
Egy autó p=0,12 valószínűséggel szabálytalan. És a másik is.
A közúti ellenőrzés során óránként átlag 8 autónál találnak valamilyen szabálytalanságot. Mi a valószínűsége, hogy
a) negyed óra alatt háromnál?
b) fél óra alatt legfeljebb kettőnél?
X=szabálytalan autó
X itt is a szabálytalan autók száma, ahogyan az előbb.
De az előbb az volt, hogy a 10 megállított autóból hány szabálytalan, most meg, hogy negyed óra alatt hány szabálytalan.
10 autóból legrosszabb esetben is csak 10 lehet szabálytalan, de negyed óra alatt bármennyi.
Most tehát X nem korlátos, így POISSON ELOSZLÁS.
Ha óránként 8 autó szabálytalan, akkor negyed óra alatt a negyede: 8/4=2
Fél óra alatt kétszer annyi szabálytalan autó várható.
Végül itt jön egy olyan eset, amiben mindhárom eloszlás felbukkan majd.
Ehhez csinálnunk kell egy kis helyet.
Egy szövet anyagában átlag 10 méterenként van apró hiba.
a) Mi a valószínűsége, hogy egy 6 méteres darab hibátlan?
b) Mi a valószínűsége, hogy ha 30 méternyi szövetet 6 méteres darabokra vágnak,
akkor pontosan két hibás darab lesz?
c) Egy 120m-es szövetet 6 méteres darabokra vágtak föl és így 9 hibás darab keletkezett. Ha 5 darabot kiválasztunk, mi a valószínűsége, hogy 2 hibás?
X=hibák száma
Ha azt szeretnénk, hogy hibátlan legyen, akkor a hibák száma alighanem nulla.
Átlag 10 méterenként van 1 hiba.
De ez nem azt jelenti, hogy a szövetet úgy gyártják, hogy na megint lement a 10 méter, akkor tegyünk be egy hibát.
A hibák tehát teljesen kiszámíthatatlan módon helyezkednek el, így 10 méteren előfordulhat akár 2 hiba is, sőt 13, sőt bármennyi.
Ez tehát egy POISSON ELOSZLÁS és ha 10 méteren van átlag 1 hiba, akkor 6 méteren 0,6:
Y=hibás darabok száma
Hiba lehet bármennyi, de hibás darab maximum 5, tehát Y korlátos.
Itt p annak a valószínűsége, hogy egy darab hibás.
Lássuk csak, mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy egy darab hibás.
Az előző kérdés az volt, hogy egy darab milyen valószínűséggel hibátlan.
Nos akkor hibás:
Ha 120 méternyi szövetet 6 méteres részekre vágnak, akkor 20 darab keletkezik.
Úgy hozta a sors, hogy ezek közül 9 hibás.
Kiválasztunk 5 darabot.
Z=hibás darabok száma
