- Bevezető
- Kombinatorika
- Elemi valószínűségszámítás és eseményalgebra
- Teljes valószínűség tétele és Bayes tétel
- Mintavételek típusai
- Valószínűségi változó, várható érték, szórás
- Lineáris algebra
- Markov láncok
- Függvények
- Deriválás
- Függvényvizsgálat & szélsőérték-feladatok
- Nagy számok törvénye, centrális határeloszlástétel
- Normális eloszlás
- Többváltozós deriválás
- Integrálás
Bevezető
Út-idő-sebességgel kapcsolatos összefüggések
Az utazásról szóló szöveges feladatok megoldása során jól jönnek a még fizikából tanult összefüggések:
\( v = \frac{s}{t} \qquad s = v\cdot t \qquad t = \frac{s}{v} \)
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy vonat 200 méter hosszú és 160 km/h sebességgel halad el Bob mellett. Mennyi ideig tart ez?
b) Ugyanez a vonat egy 150 méter hosszú alagúton halad át. Mennyi ideig lesz a vonat az alagútban, ha 200 km/h sebességgel halad?
c) Egy alagutat 4 év alatt tud kifúrni egy fúrópajzs. Egy másik fúrópajzsnak ehhez 5 év kell. Mennyi idő alatt készül el az alagút, ha a két fúrópajzs az alagút két végén egyszerre kezdi a munkát és együtt dolgoznak?
d) Egy víztárolót két vezetéken keresztül lehet vízzel feltölteni. Az A-vezetéken keresztül 7 nap alatt telik meg vízzel a víztároló, a B-vezetéken keresztül pedig 9 nap alatt. Hány nap alatt telik meg akkor, ha mindkét csövön keresztül egyszerre töltik fel? Hány nap alatt telik meg akkor, ha mindkét vezetéken keresztül egyszerre töltik, de meghibásodás miatt az A-vezeték 2 napon keresztül nem használható?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy traktor 5 óra alatt tud felszántani egy földterületet. Egy másik traktornak ugyanez 7 órába telik. Mennyi idő alatt szántja fel a földterületet a két traktor együtt?
b) Egy másik földterületet egy traktor 6 óra alatt szánt fel egyedül. Mennyi ideig tartana ez a másik traktornak, ha együtt 144 perc?
c) Egy víztárolót két vezetéken keresztül lehet vízzel feltölteni. Az egyik vezetéken keresztül 6 nap alatt telne meg vízzel, a másik vezetéken keresztül 4 nap alatt. Hány nap alatt telik meg akkor, ha mindkét vezetéken egyszerre kezdik feltölteni?
d) A víztároló vizét a végében álló duzzasztógát zsilipjein keresztül engedik le, ahol a lezúdoló víz áramot termel. A víztároló teljes kiürítéséhez 5 napra van szükség. Mennyi idő alatt telik meg a víztároló, ha mindkét vezetéken át folyamatosan töltik föl, de a zsilipek is nyitva vannak?
e) Egyik alkalommal a víztároló félig volt tele vízzel. Elkezdték mindkét vezetéken át feltölteni, közben pedig a zsilipeken keresztül engedték le a vizet. Két nap elteltével a nagyobb teljesítményű vezeték meghibásodott, ezért elzárták. A kisebb teljesítményű vezeték továbbra is zavartalanul működött. Hány napjuk van megjavítani a másik vezetéket, ha a zavartalan áramellátás érdekében a víztároló nem ürülhet ki teljesen?
a) Egy kétjegyű szám számjegyeinek a különbsége 3. Ha a számot és a számjegyek felcserlésével kapott számot összeadjuk, az összeg 165. Melyik ez a szám?
b) Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 12. Ha a jegyeket felcseréljük, a szám értéke 75%-kal növekszik. Melyik ez a szám?
c) Egy kétjegyű szám első jegye a második jegy háromszorosa. Ha a számjegyeket felcseréljük, 36-tal kisebb számot kapunk. Melyik ez a kétjegyű szám?
Ez a szöveges feladatok egy újabb fajtája, a munkavégzéses feladatok.
Egy alagutat 4 év alatt tud kifúrni egy fúrópajzs. Egy másik fúrópajzsnak ehhez 5 év kell. Mennyi idő alatt készül el az alagút, ha a két fúrópajzs az alagút két végén egyszerre kezdi a munkát és együtt dolgoznak?
Ez a szöveges feladatok egy újabb fajtája, a munkavégzéses feladatok.
Az ilyen feladatok megoldásának a kulcsa ez az ábra:
Egy víztárolót két vezetéken keresztül lehet vízzel feltölteni. Az A-vezetéken keresztül 7 nap alatt telik meg vízzel a víztároló, a B-vezetéken keresztül pedig 9 nap alatt. Hány nap alatt telik meg akkor, ha mindkét csövön keresztül egyszerre töltik fel? Hány nap alatt telik meg akkor, ha mindkét vezetéken keresztül egyszerre töltik, de meghibásodás miatt az A-vezeték 2 napon keresztül nem használható?
Kezdjük az első kérdéssel…
Egy nap alatt a víztároló ekkora része telik meg…
Két nap alatt pedig ekkora.
És most nézzük, mi történik akkor, ha egyszerre töltik mindkét vezetéken.
Ilyenkor a két vezeték egynapi vízhozama összeadódik.
Két nap alatt mindkét vezetéket használva a víztárolónak ekkora része telik meg…
Három nap alatt pedig…
x nap alatt pedig…
Megtelik a teljes víztároló, vagyis elérjük a 100%-ot.
A víztároló 3,9375 nap alatt telik meg vízzel.
Végül nézzük, mi van akkor, ha az A-vezeték két napra kiesik.
Töltési idő:
Napi vízhozam:
Ha x napig működik a B-vezeték…
Akkor az A-vezeték 2-vel kevesebb napig.
Így 5,0625 nap alatt telik meg a víztároló.