Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matematika Gyógyszerészeknek

Kategóriák
  • Rémes előzmények
  • Függvények
  • Sorozatok
  • Sorok
  • Határérték és folytonosság
  • Deriválás
  • Deriválás alkalmazása
  • Határozatlan Integrálás
  • Határozott Integrálás
  • Kétváltozós függvények
  • Mátrixok és vektorok
  • Lineáris egyenletrendszerek
  • Determináns, sajátérték
  • Differenciálegyenletek

Sorozatok

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Sorozatok határértéke
02
 
Hogyan kell kiszámolni a határértéket?
03
 
Az e-hez tartó sorozatok
04
 
Kellemetlenebb e-hez tartó sorozatok
05
 
Konvergens, divergens és oszcilláló sorozatok
06
 
Gyökös sorozatok
07
 
A rendőr-elv
08
 
A rendőr-elv 2.0
09
 
A rendőr-elv 3.0
10
 
Torlódási pont, limesz inferior, limesz szuperior
11
 
Paraméteres sorozatok határértéke
12
 
Konvergens sorozatok definíciója és a küszöbindex kiszámolása
13
 
Divergens sorozatok
14
 
Érdekesebb konvergens sorozatok
15
 
Sorozatok monotonitása
16
 
Sorozatok korlátossága, infimum és szuprémum
17
 
A küszöbindex kiszámolása izgalmasabb sorozatok esetében
18
 
Rekurzív sorozatok határértéke
19
 
Egy divergens rekurzív sorozat
20
 
Egy vicces rekurzív sorozat
21
 
Újabb izgalmak rekurzív sorozatokkal
22
 
FELADAT | Rekurzív sorozat határértéke
23
 
FELADAT | Rekurzív sorozat határértéke
24
 
FELADAT | Rekurzív sorozat határértéke
25
 
FELADAT | Egy izgalmas rekurzív sorozat

Nevezetes sorozatok határértékei 1

\( \frac{1}{n} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^2} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^3} \rightarrow 0 \quad \frac{1}{n^k} \rightarrow 0 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes sorozatok határértékei 2

\( n \rightarrow \infty \quad n^2 \rightarrow \infty \quad n^3 \rightarrow \infty \quad n^k \rightarrow \infty \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes sorozatok határértékei 3

\( \sqrt{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[3]{n} \rightarrow \infty \quad \sqrt[4]{n} \rightarrow \infty \quad  \sqrt[k]{n} \rightarrow \infty \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes sorozatok határértékei 4

\( q^n \rightarrow \begin{cases} \infty \; \text{ha} \; q > 1 \\ 0 \; \text{ha} \; -1<q<1 \\ 1 \; \text{ha} \; q=1 \\ \text{div} \; \text{ha} \; q\leq -1   \end{cases} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

e-hez tartó sorozatok határértéke

\( \left( 1 + \frac{\alpha}{n} \right)^n \rightarrow e^{\alpha} \)

\( \left( 1 + \frac{\alpha}{\text{IZÉ}} \right)^\text{IZÉ} \rightarrow e^{\alpha} \)

Ha IZÉ $ \rightarrow \infty$

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Konvergens, divergens, oszcilláló sorozatok

Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.

Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.

Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart, és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova. A sehova nem tartó sorozatok mindig oszcillálló sorozatok.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nagyságrend a végtelenbe tartó sorozatoknál

A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe. A nagysagrendi rangsor:

\( \log_n << \sqrt[k]{n} << n^k << q^n  << n! << n^n \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes sorozatok határértékei 5

\( \sqrt[n]{a} \rightarrow 1 \quad \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \quad \sqrt[n]{n^k} \rightarrow 1 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Rendőr-elv

Ha $a_n \rightarrow A$ és $c_n \rightarrow A$ és van olyan $n_0$, hogy minden $n > n_0$ esetén $a_n \leq b_n \leq c_n$ akkor $b_n \rightarrow A$.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Limesz inferior és limesz szuperior

Az $a_n$ sorozat torlódási pontjainak halmaza legyen $ \{ A_i \}$

Ekkor a sorozat limesz inferiorja:

\( \lim{ \inf{a_n}} = \inf{ \{ A_i \} } \)

És a limesz szuperior:

\( \lim{ \sup{a_n}} = \sup{ \{ A_i \} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Torlódási pont

Egy sorozatnak torlódási pontja az $A$ szám, ha bármilyen kis környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van.

Ennél precizebben az $a_n$ sorozatnak torlódási pontja az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan tagja, hogy $A-\epsilon < a_n < A + \epsilon$

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Konvergens sorozat definíciója

Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy

$ \mid a_n - A \mid < \epsilon $ minden $n > n_0$-ra

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sorozat határértéke

Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $ \mid a_n - A \mid < \epsilon$ minden $n>n_0$-ra.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Divergens sorozat

Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke plusz végtelen, ha bármely $M>0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M<a_n$ minden $n>n_0$-ra.

Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke minusz végtelen, ha bármely $M<0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M>a_n$ minden $n>n_0$-ra.

Az $a_n$ sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagysi sem egy valós számhoz, sem plusz vagy minusz végtelenbe nem tart.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sorozatok monotonitása

Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton nő, ha $0<a_{n+1}-a_n$.

Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton csökken, ha $0>a_{n+1}-a_n$.

Az $a_n$ sorozat monoton nő, ha $0\leq a_{n+1}-a_n$.

Az $a_n$ sorozat monoton csökken, ha $0 \geq a_{n+1}-a_n$.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Hova tart az $a_n=q^n$ sorozat

ha $q>1$?

ha $\mid q \mid < 1$ ?

ha $q=1$?

ha $q=-1$?

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

a) \( \lim{\frac{4n^3-3n}{n^2+5n+2}} = ? \)

b) \( \lim{\frac{n^3+4n^2+5}{n^4+5n^2+7}} = ? \)

c) \( \lim{\frac{n^3-6n^2+1}{n^2+5n+6}} = ? \)

d) \( \lim{\left( \frac{n^2+5n+3}{2n^2+7n} \right)^3} = ? \)

e) \( \lim{\frac{5^{n+2}+2^{n-3}+3^{2n+1}}{4^{\frac{n}{2}} +5\cdot 3^{2n+1}+ 10}} = ? \)

f) \( \lim{\frac{ \sqrt{n^2+1} + 2n }{ \sqrt[3]{n^2+6}-\sqrt[5]{n^3}+4n }} = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) \( \lim{  \left( 1+\frac{1}{n}  \right) } = ? \)

b) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n}  \right)^2 } = ? \)

c) \( \lim{ \left( 1+\frac{1}{n}  \right)^4 }  = ? \)

d) \( \lim{ \left( 1+\frac{3}{n}  \right)^n } = ? \)

e) \( \lim{ \left( 1+\frac{4}{n^3} \right)^{n^3}  }  = ? \)

f) \( \lim{ \left( 1+\frac{3}{2n}  \right)^n } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

a) \( \lim{ \left( \frac{n+4}{n-5}  \right)^n } = ? \)

b) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{2n-5}  \right)^n } = ? \)

c) \( \lim{ \left( \frac{2n+3}{3n+4}  \right)^n } = ? \)

d) \( \lim{ \left( \frac{n^2+3n}{n^2+4n}  \right)^{4n-7} } = ? \)

e) \( \lim{ \left( \frac{3n^2+2n^3}{5n^2+2n^3}  \right)^{6n+4} } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

a) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} } = ? \)

b) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n+1}{n^2+n} } = ? \)

c) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^2+1}{n+1} } = ? \)

d) \( \lim{ (-1)^n \frac{2n^3+9}{n^3+1} } = ? \)

e) \( \lim{ \frac{(-5)^n+4}{5^n+6} } = ? \)

f) \( \lim{ \left( \frac{2n-n^2}{3n+n^2} \right)^n } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

a) \( \lim{ \frac{ \sqrt{n^2+1} +2n }{ \sqrt[3]{n^2+6} - \sqrt[5]{n^3} +4n } } = ? \)

b) \( \lim{ \frac{ \sqrt[3]{n^4+1} - \sqrt{ 9n^4-5n^2} +1 }{ \sqrt[4]{n^6+5n^4} + \sqrt[5]{n^8} + \sqrt{4n^4-9n} } } = ? \)

c) \( \lim{ \sqrt{n^4-4n^2+5} + \sqrt{n^4+6n} } = ? \)

d) \( \lim{ \sqrt{n^4-5n^2+4}+n^2 } = ? \)

e) \( \lim{ \sqrt{n^4-n}-\sqrt{n^2+1} } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

a) \( \lim{ \sqrt[n]{5^n+4^n+3^n} } = ? \)

b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{4^n+3^n}{n^3+n^5+1} }} = ? \)

c) \( \lim{ \sqrt[n]{6^n-5^n} } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

a) \( \lim{ \sqrt[n]{6^n-5^n-4^n} } = ? \)

b) \( \lim{ \sqrt[n]{ \frac{5^n-4^n-3^n-2^n}{n^4+n^3-n} }} = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

a) \( \lim{ \left( 1+\frac{5}{n+\sqrt[n]{n}} \right)^n } = ? \)

b) \( \lim{ \left( 1+\frac{3n}{n^2+1} \right)^n } = ? \)

c) \( \lim{ \left( \frac{n^2+4n+5}{n^2+5} \right)^n } = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

a) Adjuk meg a torlódási pontokat, ha \( a_n = \cos{ \left( n \frac{\pi}{2} \right)} + \frac{1}{n} \) sorozatok

b) \( a_n = \frac{ \left( 4+(-1)^n \right)^n + 2^{n+3}}{4\cdot 5^n+12} \qquad \liminf{a_n}=? \qquad \limsup{a_n}=? \) sorozatok

c) \( a_n= \{ 1,2,3,1,2,3,1,2,3, \dots \} \)

\(b_n =\frac{ \left( a_n+1 \right)^n}{4^n} - \frac{3^n}{ \left( a_n +2 \right)^n} \qquad \liminf{b_n}=? \qquad \limsup{b_n}=? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

a) Milyen \( A \) és \( B \) paraméterek esetén lesz a következő sorozat határértéke 0, \( + \infty \), \( - \infty \) vagy 42?

\( a_n = \sqrt{An^2+Bn} - \sqrt{n^2+2} \)

b) Az \( A \) és \( B \) paraméterek különböző értékeire mennyi lesz a határérték?

\( \lim{ \frac{2n+1}{An-\sqrt{n^2+Bn}}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-2} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

a) \( a_n = \frac{3n^2+5}{2n^2+4} \)

b) \( a_n = \frac{ 2 \cdot 5^n + 4 }{ 4\cdot 5^n +1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-3} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

\( a_n =(-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

a) Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-2} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

\( a_n =\frac{6-n}{8n^2-600} \)

b) Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-3} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

\( a_n =\frac{5\cdot 4^n - 12}{3 \cdot 4^n - 64} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását.

a) \( a_n = \frac{6n+7}{2n+1} \)

b) \( a_n = \frac{2n+1}{5n+7} \)

c) \( a_n = \frac{4n^2+7}{3n^2+1} \)

d) \( a_n = \frac{2n^2-3n+6}{n^2+4} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = \frac{6n+1}{2n+7} \)

b) \( a_n = (-1)^n \frac{2n^2+5}{n^2+1} \)

c) \( a_n = (-1)^n \frac{5^{n+1}+3}{5^n+7} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Adjuk meg az \( \epsilon \) -hoz tartozó \( n_0 \) küszöbindexet.

a) \( a_n = \frac{n+1}{n^2+3} \to 0 \)

b) \( a_n = \frac{n^3-3n}{n^3+n^2+1} \to 1 \)

c) \( a_n = \sqrt{\frac{9n^2+1}{n^2+n}} \to 3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?

\( a_{n+1}=\sqrt{5 a_n +6} \qquad a_1=1 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?

\( a_{n+1}=\frac{ a_n^2 -12}{4} \qquad a_1=10 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?

\( a_{n+1}=5+\frac{6}{10-a_n} \qquad a_1=7 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?

\( a_{n+1}=\sqrt{12a_n+13} \qquad a_1=2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?

\( a_{n+1}=\frac{10}{7-a_n} \qquad a_1=3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?

\( a_{n+1}=\sqrt{a_n +6} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \qquad a_1=1 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?

\( a_{n+1}=4+\sqrt{a_n -2}- \frac{4}{\sqrt{n+4}} \qquad a_1=2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

25.

Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?

\( a_{n+1}=1+\frac{12}{a_n} \qquad a_1=3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Sorozatok határértéke

Beszéljünk egy kicsit a sorozatokról. Kezdjük azzal, hogy mire jók a sorozatok.

Nos, például arra, hogy beszéljünk róluk.

Íme itt is van egy sorozat.

Ez itt a sorozat indexe, ami azt mondja meg, hogy éppen hányadik tagot nézzük.

index

A sorozatok egyik leglényegesebb tulajdonsága, hogy vajon mi történik vele, ha egyre távolibb tagjait nézzük.

Ez a sorozat például közeledik a nullához.

Olyannyira, hogy mondhatunk bármilyen pici számot, eljön az idő, hogy a sorozat annál is közelebb kerül a nullához.

A sorozatnak ezt a tulajdonságát úgy nevezzük, hogy tart a nullához vagy másként a határértéke nulla.

És így jelöljük:  vagy így:

Itt jön egy másik sorozat.

Ez a sorozat még inkább nullához tart.

Sőt általában ezek a sorozatok nullához tartanak.

Aztán itt vannak ezek a sorozatok.

Nos ők a végtelenbe tartanak.

NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI

Vannak aztán ilyen gyökös sorozatok is.

Ők is végtelenbe tartanak.

És itt jön a legizgalmasabb sorozat, az

Ha  akkor

sehova

Most pedig nézzük meg mi történik ha két sorozatot összeadunk.

Ha mondjuk  és  akkor logikusnak tűnik, hogy

De az élet sajnos ennél bonyolultabb.

Előfordulhat ugyanis, hogy  és .

Hova tart ilyenkor az összegük?

Nos a helyzet az, hogy az  sorozat tarthat mínusz végtelenbe,

egy konkrét számhoz

és plusz végtelenbe.

A  sorozat szintén.

Az összegükre pedig ez a kilenc eset adódhat.

Nézzük meg őket.

Ha mindkét sorozat mínusz végtelenbe tart, akkor az összegük is.

Ha az egyik A-hoz a másik mínusz végtelenbe, akkor az összegük is mínusz végtelenbe.

Hogyha az egyik sorozat mínusz végtelenbe a másik pedig plusz végtelenbe tart, akkor egészen egyszerűen nem tudjuk, hova tart az összegük.

Lehet mínusz végtelen is

lehet 42 is

és lehet plusz végtelen is

A táblázat többi részének kitöltése nem sok meglepetést tartogat, a bal alsó sarok szintén kérdőjeles.

Most pedig nézzük meg mi a helyzet két sorozat szorzatával.

Itt sajnos kicsit sok eset lesz.

Nos ez megint olyan, hogy egészen egyszerűen nem tudjuk.

A folytatás már nem túl izgalmas:

Aztán végre néhány egyértelmű eset:

Most pedig jöjjön a legrosszabb, az osztás.

Itt meglehetősen sok kérdőjel lesz.

Mindjárt az első:

De van még.

Nos ezeknek a táblázatoknak a lényege az, hogy segítsen eligazodni a különböző típusú határértékek között.

A kérdőjeles esetek mondjuk nincsenek túlzottan a segítségünkre, így a továbbiakban az lesz a feladatunk, hogy megnézzük mit lehet csinálni ezekben az esetekben.

Az egyik legizgalmasabbal fogjuk kezdeni a  esettel.

HA k KONKRÉT SZÁM

Lássuk mik a teendők a kritikus határértékekkel. A sorozatok határértékének kiszámolása ezekben az esetekben válik igazán izgalmassá.


Hogyan kell kiszámolni a határértéket?

Itt jön egy ilyen eset:

A trükk az, hogy leosztjuk –el.

A számlálót is és a nevezőt is.

Ezzel egy -ből csináltunk egy -et.

Utóbbiról pedig lehet tudni, hogy az eredmény 2.

Nézzünk meg egy másikat is.

Végülis osszuk le ezt is -el.

Lássuk mi jön ki.

A számláló 4-hez tart.

A nevező nullához.

Nos ez baj.

A problémát az okozza, hogy a nevezőben a legnagyobb kitevőjű tag másodfokú.

Így ne lepődjünk meg, hogyha -el osztunk, a nevezőben mindenki nullához fog tartani.

Ha nem szeretnénk, hogy nullához tartson a nevező, akkor mindig a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával kell osztanunk.

A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával.

A számlálót és a nevezőt is leosztjuk a nevező legnagyobb hatványalapú tagjával.

Először átalakítunk.

Aztán leosztunk.

A SZÁMLÁLÓT ÉS A NEVEZŐT IS LEOSZTJUK A NEVEZŐ LEGNAGYOBB KITEVŐJŰ TAGJÁVAL.

Előszöris kiderítjük, hogy melyik a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.

Van itt ez az n2,

de köbgyök alatt van.

Aztán itt van ez az n3,

de esélyes sincs mert ötödik gyök alatt.

Végül itt van ez az n,

na úgy tűnik ő nyert.

A legnagyobb kitevőjű tag a nevezőben tehát n, vagyis vele fogunk osztani.

De ha bevisszük a gyökjelek alá, varázslatos átalakulásokon megy keresztül.

A különböző gyökjelek alatt tehát más-más kitevőjű n-ekkel osztunk.


Az e-hez tartó sorozatok

Most néhány nagyon vicces sorozat következik.

Íme itt az első.

Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.

Aztán itt van ez a másik.

És egy harmadik.

Nos ebben eddig semmi vicces nincs.

De az izgalmak most jönnek.

Van itt ez a határérték.

Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.

Csak az a baj, hogy nem.

Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.

Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.

De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.

Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.

Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.

Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,

akkor a határérték is kicsit megváltozik.

És van itt mégvalami.

Legalábbis akkor, ha

Nos nézzünk erre néhány példát.

Itt van például ez a határérték:

ami a képlet alapján

De ha ez a rész itt átváltozik

és a kitevő is,

nos akkor újra ugyanaz jön ki.

Vagy itt van egy másik:

Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.

Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.

Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et

vagy ebből n-et.

Csináljunk ebből n-et.

Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.

Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.

Van egy ilyen, hogy

Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:

De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.

Azokat a határértékeket ahol  megjelenik itt

és a kitevőben is,

mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.

A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.

Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.

Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is  van, akkor -el osztunk:

És rondább esetekkel is el tudunk bánni

Ha a kitevő konkrét szám, akkor:

De ha sajna itt  

ott  

akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk

Megeshet, hogy n2 is van.

Sőt lehet, hogy n3.

Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.


Kellemetlenebb e-hez tartó sorozatok

Most néhány nagyon vicces sorozat következik.

Íme itt az első.

Hát ez nem életünk legnehezebb határértéke.

Aztán itt van ez a másik.

És egy harmadik.

Nos ebben eddig semmi vicces nincs.

De az izgalmak most jönnek.

Van itt ez a határérték.

Ami az előzőek alapján feltehetőleg megint 1.

Csak az a baj, hogy nem.

Azért nem, mert itt a kitevő nem egy konkrét szám, hanem a sorozat indexe, tehát folyamatosan változik.

Ha a kitevő egy konkrét szám, akkor minden amit eddig csináltunk OK.

De ha a kitevőben n van, nos akkor egészen más a helyzet.

Ilyenkor a határérték nem 1, hanem egy egészen kellemetlen szám.

Azért, hogy ezt a kellemetlen számot ne kelljen annyit nézegetni, elnevezték e-nek.

Ha itt nem 1 van, hanem valamilyen más szám,

akkor a határérték is kicsit megváltozik.

És van itt mégvalami.

Legalábbis akkor, ha

Nos nézzünk erre néhány példát.

Itt van például ez a határérték:

ami a képlet alapján

De ha ez a rész itt átváltozik

és a kitevő is,

nos akkor újra ugyanaz jön ki.

Vagy itt van egy másik:

Azok a határértékek tehát amikor ezek egyformák nagyon könnyen kiszámolhatók.

Kérdés, mi van akkor, ha nem egyformák.

Ilyenkor tenni kell valamit, hogy egyformák legyenek. Vagy ebből csinálunk 2n-et

vagy ebből n-et.

Csináljunk ebből n-et.

Egyszerűsítjük a törtet 2-vel. És tessék, így már jó is.

Itt a kitevőt fogjuk átalakítani.

Van egy ilyen, hogy

Vannak aztán kicsit izgalmasabb esetek is:

De ezek még mindig nem olyan izgalmasak, mint amik most jönnek majd.

Azokat a határértékeket ahol  megjelenik itt

és a kitevőben is,

mindig ezeknek a képleteknek a segítségével tudjuk kiszámolni.

A teendő mindig az, hogy addig-addig kell bűvészkedni, amíg ezek a képletek egyszer csak megjelennek.

Nos az ügy érdekében osszuk le -el a számlálót és a nevezőt.

Ha esetleg a számlálóban és nevezőben is  van, akkor -el osztunk:

És rondább esetekkel is el tudunk bánni

Ha a kitevő konkrét szám, akkor:

De ha sajna itt  

ott  

akkor csak -el osztunk aztán kiemelünk

Megeshet, hogy n2 is van.

Sőt lehet, hogy n3.

Fent is 2n3 van és lent is, úgyhogy osszunk 2n3-el.


Konvergens, divergens és oszcilláló sorozatok

Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha van egy olyan valós szám, ami a sorozat határértéke.

Konvergens

sorozatok

Divergens

sorozatok

Van

határérték

Nincs

határérték

Ha ilyen szám nem létezik, akkor a sorozat divergens.

A divergenciának azonban vannak fokozatai.

Egy sorozat lehet azért is divergens, mert végtelenbe tart,

és lehet azért is, mert az égvilágon nem tart sehova.

A sehova sem tartó sorozatok mindig oszcilláló sorozatok.

Az oszcilláló sorozatok egyik legegyszerűbb példája a sorozat.

Mielőtt azonban azt gondolnánk, hogy minden oszcilláló sorozat divergens,

nos itt jön egy másik.

Attól tehát, hogy a sorozat ugrál, még nem feltétlen lesz divergens.

Az is lényeges, hogy mekkorákat ugrik.

Itt jön három példa a lehetséges viselkedésekre:

ha n páros

ha n páratlan

Most pedig lássunk néhány vicces ügyet.

Nos itt a képletben az 1-es van elől, úgyhogy csere.

Az összeadásnál ez nem okoz problémát.

A kivonásnál…

se, ha nem rontjuk el.

És voila, egy újabb oszcilláló sorozat.

Most a számlálóban és a nevezőben is felbukkant a ,

így aztán ez nem egy oszcilláló sorozat.


Gyökös sorozatok

Most pedig lássunk néhány gyökös sorozatot.

Itt jön egy másik.

Megint beazonosítjuk, hogy ki lehet a nevező legnagyobb kitevőjű tagja.

És most lássunk valami egészen érdekeset.

Nos ebben eddig még nincs semmi izgalmas.

Az izgalmak akkor jönnek, ha a + jelet kicseréljük…

   jelre.

 ugyanis szintén  de

Ilyenkor egy kis varázslatra van szükség.

Innentől már a szokásos.

Itt jön aztán még egy:

És még egy:

Ha itt összeadás van, akkor kész is.

De ha kivonás, akkor megint jön a bűvészkedés.


A rendőr-elv

Az  sorozat erősebb, mint a  sorozat, ha  

és ezt a tényt így jelöljük, hogy

Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.

Nagy n-ekre így néz ki például az n2…

és így néz ki az n3.

De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…

nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.

Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.

Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.

Jó tudni, ki milyen erős.

Most pedig térjünk a tárgyra.

Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.

A tétel azt mondja, hogy ha

 és  és van olyan , hogy minden  esetén

 akkor .

A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a

típusú határértékek.

Vegyük például ezt a határértéket:

Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag  és

ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,

mintha ott sem volna, olyan.

Így aztán nem meglepő, hogy a határérték

A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.

A terv a következő.

Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,

és a határértéke 5.

Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.

Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.

Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.

Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,

és kell egy másik, ami nála nagyobb.

Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.

Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.  

Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.

Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.

Nézzünk meg egy másik határértéket is.

A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .

És most jöhet a becslés.

Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.

De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.

A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.

A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.

A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

Aztán vannak bonyolultabb esetek is:

A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:

Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.

Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.

Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.

De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.

Sajna ez probléma...

Szükségünk van tehát egy trükkre.

Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.

A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.

Legyen mondjuk 1/2.

Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:

Nos igen, ha .

Innentől már rutinmunka.

Most pedig lássuk mi jöhet még.

Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.

A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.

Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.

Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.

És most jöhet a precíz megoldás.

Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.

Az alsó becslés már érdekesebb.

Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.

És ezt még alulról becsüljük.

Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.

Legyen mondjuk 1/2.

Nos ez teljesül, ha .

Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.

Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.

A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,

a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.

 ugyanis biztosan nem negatív.

Az alsó becslés már érdekesebb.

A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.

A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.

Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.

Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.

Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:

De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.

Kezdjük egy könnyűvel:

Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,

alsó becslésnél pedig növeljük:

Itt jön egy kis trükk.

Itt jönnek az igazán vicces esetek.

Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:

És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.


A rendőr-elv 2.0

Az  sorozat erősebb, mint a  sorozat, ha  

és ezt a tényt így jelöljük, hogy

Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.

Nagy n-ekre így néz ki például az n2…

és így néz ki az n3.

De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…

nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.

Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.

Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.

Jó tudni, ki milyen erős.

Most pedig térjünk a tárgyra.

Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.

A tétel azt mondja, hogy ha

 és  és van olyan , hogy minden  esetén

 akkor .

A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a

típusú határértékek.

Vegyük például ezt a határértéket:

Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag  és

ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,

mintha ott sem volna, olyan.

Így aztán nem meglepő, hogy a határérték

A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.

A terv a következő.

Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,

és a határértéke 5.

Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.

Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.

Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.

Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,

és kell egy másik, ami nála nagyobb.

Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.

Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.  

Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.

Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.

Nézzünk meg egy másik határértéket is.

A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .

És most jöhet a becslés.

Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.

De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.

A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.

A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.

A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

Aztán vannak bonyolultabb esetek is:

A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:

Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.

Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.

Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.

De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.

Sajna ez probléma...

Szükségünk van tehát egy trükkre.

Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.

A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.

Legyen mondjuk 1/2.

Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:

Nos igen, ha .

Innentől már rutinmunka.

Most pedig lássuk mi jöhet még.

Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.

A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.

Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.

Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.

És most jöhet a precíz megoldás.

Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.

Az alsó becslés már érdekesebb.

Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.

És ezt még alulról becsüljük.

Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.

Legyen mondjuk 1/2.

Nos ez teljesül, ha .

Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.

Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.

A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,

a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.

 ugyanis biztosan nem negatív.

Az alsó becslés már érdekesebb.

A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.

A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.

Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.

Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.

Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:

De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.

Kezdjük egy könnyűvel:

Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,

alsó becslésnél pedig növeljük:

Itt jön egy kis trükk.

Itt jönnek az igazán vicces esetek.

Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:

És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.


A rendőr-elv 3.0

Az  sorozat erősebb, mint a  sorozat, ha  

és ezt a tényt így jelöljük, hogy

Ezt úgy kell elképzelni, hogy az erősebb sorozat gyorsabban tart a végtelenbe.

Nagy n-ekre így néz ki például az n2…

és így néz ki az n3.

De amint színre lép a mindkettőjüknél jóval erősebb 2n…

nos az meglehetősen rossz hatással van az előző két sorozat önbizalmára.

Ám a 2n sem mindenható, mert jóval erősebb nála a 3n.

Nagy tehát a küzdelem itt a sorozatok világában.

Jó tudni, ki milyen erős.

Most pedig térjünk a tárgyra.

Itt jön egy tétel, amit bonyolultabb sorozatok határértékeinek kiszámolására fogunk használni.

A tétel azt mondja, hogy ha

 és  és van olyan , hogy minden  esetén

 akkor .

A tételt szendvics-szabálynak nevezzük és egyik tipikus alkalmazási területe a

típusú határértékek.

Vegyük például ezt a határértéket:

Azt kell megértenünk, hogy itt a legerősebb tag  és

ez azt jelenti, hogy nagy n-ekre a többi tag hozzá képest nagyon kicsi,

mintha ott sem volna, olyan.

Így aztán nem meglepő, hogy a határérték

A Rendőr-elv arra való, hogy mindezt precízen be is bizonyítsuk.

A terv a következő.

Először keresünk egy olyan sorozatot, ami az eredeti sorozatnál kisebb,

és a határértéke 5.

Aztán keresünk egy másik sorozatot, ami az eredeti sorozatnál nagyobb, és szintén 5-höz tart.

Végül elégedetten megállapítjuk, hogy akkor az eredeti sorozat is 5-höz tart.

Nos ez szép terv, de nem is olyan könnyű megvalósítani.

Addig minden rendben, hogy kell egy olyan sorozat, ami az eredetinél kisebb,

és kell egy másik, ami nála nagyobb.

Ilyen sorozatokat mondani bárki tud. De olyan sorozatokat mondani, amik ráadásul 5-höz is tartanak, nos az már jóval nehezebb.

Ehhez meg kell tanulnunk a becslés művészetét.  

Vigyáznunk kell, hogy a becslés során a legerősebb tagot ne változtassuk meg.

Az alsó becslésnél mindenkit elhagyunk, csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

A felső becslésnél pedig minden tagot lecserélünk a legerősebbre.

Nézzünk meg egy másik határértéket is.

A legerősebb tag a számlálóban , a nevezőben pedig .

És most jöhet a becslés.

Úgy kell alulról becsülni, hogy a számlálót csökkentjük, a nevezőt pedig növeljük.

De a számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.

A számlálót úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

A nevezőt meg úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.

A felső becslésnél a számlálót növeljük: mindenkit lecserélünk a legerősebbre.

A nevezőt pedig csökkentjük: csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

Aztán vannak bonyolultabb esetek is:

A felső becslés még könnyű, a mínuszos tagot egyszerűen elhagyjuk:

Az alsó becslés viszont meglehetősen furmányos.

Ide valami olyan kell, ami az eredetinél kisebb.

Az tehát nem jó, ha elhagyjuk az 5n-t, sőt éppen ellenkezőleg, még nála is többet kellene levonni.

De mit? Ha ugyanis 6n-t vonunk le, akkor az alsó becslés nulla.

Sajna ez probléma...

Szükségünk van tehát egy trükkre.

Nos az alsó becslés ez lesz. Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám.

A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.

Legyen mondjuk 1/2.

Nézzük tényleg kisebb-e, mint az eredeti:

Nos igen, ha .

Innentől már rutinmunka.

Most pedig lássuk mi jöhet még.

Most pedig folytassuk néhány vicces határértékkel.

A legerősebb tag 6n, a határérték szempontjából a többiek nem érdekesek.

Mivel pedig , ezért a sorozat határértéke 6.

Mindez azonban csak egy sejtés, egy elképzelés. A precíz bizonyításhoz szükségünk van egy tételre, amit rendőr-elvnek neveztünk el.

És most jöhet a precíz megoldás.

Kezdjük a felső becsléssel, ami most nagyon egyszerű.

Az alsó becslés már érdekesebb.

Itt bűvészmutatványokat fogunk végezni. Először minden mínuszos tagot lecserélünk a mínuszos tagok közül a legerősebbre.

És ezt még alulról becsüljük.

Itt C valami 1-nél kisebb pozitív szám. A vicces az, hogy ennél többet nem kell tudnia.

Legyen mondjuk 1/2.

Nos ez teljesül, ha .

Az alsó és felső becslésünk is 6-hoz tart, így aztán az eredeti sorozat határértéke most már hivatalosan is 6.

Nos ez remek hír, és akkor nézzünk is meg még egyet.

A felső becslés egyszerű. A számlálót növeljük azzal, hogy a mínuszos tagokat elhagyjuk,

a nevezőt pedig csökkentjük azzal, hogy ezt elhagyjuk.

 ugyanis biztosan nem negatív.

Az alsó becslés már érdekesebb.

A nevezőt növelnünk kell, az még nem gond.

A számlálót viszont csökkentenünk kell és ehhez az előző trükköt fogjuk használni.

Nos ez előbb-utóbb teljesülni fog. Egészen pontosan 8-nál nagyobb n-ekre.

Most pedig néhány nagyon vicces határérték következik.

Mindegyik olyan típusú lesz, mint ezek:

De ráadásul használnunk kell majd a rendőr-elvet is.

Kezdjük egy könnyűvel:

Felső becslésnél a nevezőt csökkentjük,

alsó becslésnél pedig növeljük:

Itt jön egy kis trükk.

Itt jönnek az igazán vicces esetek.

Sokkal boldogabbak lennénk, ha nem lenne itt ez az n, és éppenséggel ezen tudunk segíteni:

És voila, innentől már pont olyan, mint az előző feladat.


Torlódási pont, limesz inferior, limesz szuperior

Paraméteres sorozatok határértéke

Konvergens sorozatok definíciója és a küszöbindex kiszámolása

Ha egy sorozat előbb utóbb tetszőlegesen megközelít valamilyen számot, akkor a sorozatoknak ezt a tulajdonságát konvergenciának nevezzük.

A konvergencia definícióját több száz év alatt találták ki a matematikusok. Nekünk most lesz rá egy percünk.

Az  sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha bármilyen pici -hoz tudunk találni olyan  indexet, hogy minden ezt követő tag -nál közelebb van az A számhoz.

Ezt nevezzük a sorozat határérték definíciójának.

Mivel azonban a matematika törekszik az egyszerű megfogalmazásokra, nos emiatt még át kell esnie egy kis igazításon.

Íme itt is van.

A leginkább kétségbeejtő rész ebben az új definícióban ez.

De aggodalomra semmi ok. Az, hogy

mindössze ezt jelenti.

Vagyis azt, hogy  közelebb van -hoz, mint .

Nézzük meg például, hogy mennyi lesz az -hoz tartozó , ha

Nos, úgy tűnik akkor lesz a sorozat -nál közelebb a határértékéhez, ha

Vagyis a hetedik tagtól és így .

Itt van aztán egy másik nagyszerű sorozat.


Divergens sorozatok

Újabb nagyszerű sorozatok felbukkanása várható életünkben. A konvergens sorozatokat már ismerjük:

Itt jönnek aztán a divergens sorozatok.

Ez a sorozat például azért divergens, mert végtelenbe tart.

A sorozat bármilyen  számot túlnő, tagjai megállíthatatlanul tartanak a végtelen felé.

Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek azért divergensek, mert mínusz végtelenbe tartanak.

És végül vannak olyan divergens sorozatok is, amelyek nem tartanak sehova. Ilyen sehova sem tartó sorozat például ez:

Az  sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagyis sem egy valós számhoz, sem plusz vagy mínusz végtelenbe nem tart.

Íme a menü:

Nézzük meg, mit művel például ez a sorozat:

A jelek szerint divergens, és tart plusz végtelenbe.

Ez azt jelenti, hogy bármely M>0-ra van olyan n0, hogy

Ha mondjuk , akkor

és így

Ez azt jelenti, hogy sorozatnak a 14696-odik tag utáni összes tagja 600-nál nagyobb.

Ha ez a bizonyos M nem 600, hanem mondjuk 800…

akkor a sorozat egy későbbi tagtól ugyan, de a 800-on is túlnő.

Itt jön aztán egy vicces sorozat. Próbáljuk meg kiszámolni az -hoz tartozó -t

A sorozat divergens.

Így aztán nem létezik -hoz semmiféle .


Érdekesebb konvergens sorozatok

Itt az ideje, hogy szeszélyesebben viselkedő sorozatokkal is megismerkedjünk.

És most megszabadulunk az abszolútértékektől.

Fönt kezdjük.

Ha n=1

Lássuk csak,  vajon pozitív-e.

Nos, ha n=1, 2, 3, 4, 5 akkor igen. De 6 után negatív.

Minket a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis  valahol itt lesz.

Most pedig nézzük mi van a nevezővel.

Ha n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akkor negatív.

De 9-től már pozitív.

Minket most is a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis  valahol itt lesz.

Beszorzunk és aztán kicsit rendet rakunk…

És íme a küszübindex.

Itt jön egy újabb remek sorozat,  és

Lássuk mi a helyzet a nevezővel. Ha n=1, 2, 3, akkor negatív…

De az összes többi n-re pozitív.


Sorozatok monotonitása

A sorozatok monotonitásának vizsgálata valóban elég monoton elfoglaltság lesz.

Szóval ne sok izgalomra számítsunk…

Egy sorozat szigorúan monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb az előtte lévő tagnál.

Szigorúan monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb az előtte lévő tagnál.

Monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.

És monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.

Itt van például egy sorozat, és vizsgáljuk meg a monotonitását.

Nos ez elég rémes lesz.

2.1.   

A jelek szerint tehát szigorúan monoton nő.

Ugyanezt kideríthetjük egy trükk segítségével is.

Épp itt is jön:

Itt picit álljunk meg gondolkodni.

Mi történik, ha a 4-et egyre nagyobb számokkal osztjuk?

Nos ez.

Nézzünk meg egy másikat is.

A sorozat szigorúan monoton nő.

Lássuk, hogyan jön ez ki a trükk segítségével is:

Jön megint a gondolkodás.

Mi történik, ha a 9/5-öt egyre nagyobb számokkal osztjuk?

A mínusz jellel együtt viszont már szigorúan monoton nő.

És így az egész sorozat is szigorúan monoton nő.

Itt jön aztán egy érdekesebb eset:

Ha akkor a számláló éppen nulla.

Ha  akkor pozitív.

Tehát a sorozat monoton nő.

Lássuk, hogyan működik itt a trükk:

Nos, sehogy.

Az okozza a problémát, hogy egyszerre  és  is szerepel és sajna ilyenkor a trükk nem működik…

Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek nem monotonok.

Sajnos ettől még nem mondható el róluk, hogy izgalmasak volnának.

Itt van például egy ilyen.

Az ilyen sorozatokat oszcilláló sorozatoknak nevezzük.

Ez a sorozat például a nulla körül oszcillál:

  ha n páratlan

  ha n páros

Mi jöhet még ez után…


Sorozatok korlátossága, infimum és szuprémum

A küszöbindex kiszámolása izgalmasabb sorozatok esetében

Rekurzív sorozatok határértéke

Egy divergens rekurzív sorozat

Egy vicces rekurzív sorozat

Újabb izgalmak rekurzív sorozatokkal

FELADAT | Rekurzív sorozat határértéke

FELADAT | Rekurzív sorozat határértéke

FELADAT | Rekurzív sorozat határértéke

FELADAT | Egy izgalmas rekurzív sorozat

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim