A sűrűségfüggvény úgy működik, hogy a valószínűségeket a görbe alatti területek adják meg. Az eloszlásfüggvény jele $F(x)$ volt, a sűrűségfüggvény jele $f(x)$. Az $a<X<b$ valószínűség éppen a görbe alatti terület $a$-tól $b$-ig.
\( P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) \; dx \)
Ha az $X<a$ valószínűséget szeretnénk kiszámolni:
\( P(X<a) = \int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx \)
Ha a $b<X$ valószínűséget:
\( P(b<X) = \int_{b}^{+\infty} f(x) \; dx \)
Ha ezt a három területet összeadjuk, akkor éppen a teljes görbe alatti területet kapjuk, ami a 100%-ot jelenti, így hát ez a terület éppen 1.
A sűrűségfüggvény tulajdonságai:
\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = 1 \)
nem negatív
A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.
a) Lehet-e $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi függvény?
\( f(x)= \begin{cases} e^{2x}, &\text{ha } x<0 \\ 1-x, &\text{ha } 0\leq x\leq1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
b) Milyen $A$ paraméter esetén lesz $f(x)$ sűrűségfüggvény?
\( f(x)= \begin{cases} e^{3x}, &\text{ha } x<0 \\ Ax^2, &\text{ha } 0\leq x\leq1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)