Standardizálás

1. Egy gyár dolgozóinak bérei a következőképp alakultak 2010-ben és 2011-ben.

Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.

Gyár dolgozói Dolgozók átlagbére (EUR) Létszám összetétele
2010 2011 2010 2011
vezetők 5000 5200 4 0,75%
szellemi 2000 2300 36 8%
fizikai 1100 1250 350 91,25%
Össz.        

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Egy cég dolgozóinak fizetését tartalmazza az alábbi táblázat. Hasonlítsuk össze a férfi és női dolgozók átlagbérének különbségét standardizálással.

  férfiak nők
Alkalmazottak száma Egy főre jutó átlagkereset (USD) Kifizetett teljes bérköltség Egy főre jutó átlagkereset (USD)
vezetők 10 5 200 15 000 5 000
középvezetők 50 4 000 24 500 3 500
beosztottak 350 1 200 748 000 1 100
személyzet 25 750 36 000 750
Total 435   823 500  

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Az egyik egyetem két büféjében húsz napon át figyelték a vásárlások értékét.

  I. büfé II. fübé
vásárló Vásárlók száma (fő) Átlagos vásárlás (EUR/fő) Vásárlók száma (fő) Átlagos vásárlás (EUR/fő)
Hallgató 1200 2 1600 1,8
Oktató 400 2,5 600 2,2
Egyéb 400 3 800 2,6
Össz. 2000   3000  

Hasonlítsuk össze a két büfében a vásárlók átlagos költségét és az erre ható tényezőket!

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Két borgazdaság termelési adatait tartalmazza a következő táblázat. Elemezze a szőlők termésátlagának különbségét standardizálással.

Szőlőfajta Termőterület (ha)

Termésátlagok különbsége II.-I.

(kg/ha)

I. II.
furmint 250 600 1000
hárslevelű 100 250 600
oremus 150 150 400
összesen 500 1000 800

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Egy üzem dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2010-ben és 2011-ben. Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.

Üzem dolgozói Bérek összetétele (EUR) Létszám összetétele

2010

Havonta kifizetett összes bér

2011

Átlag bér

2010 2011
vezetők 450 000 5200 90 5%
szellemi 220 000 2300 110 8%
fizikai 880 000 1250 800 87%
Össz. 1 550 000   1000  

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Egy biztosító biztosítási káreseteire vonatkozó adatait tartalmazza az alábbi táblázat 2011-ben illetve a bázis évnek választott 2001-ben. Állapítsuk meg, hogyan változott meg a kifizetések átlagos összege és milyen hatások következtében.

Üzletágak A kifizetett teljes összeg megoszlása 2011-ben Egy biztosítási káresetre fizetett átlagos összeg (EUR)
2001 2011
Élet- baleset- betegbiztosítás 30% 800 1000
Lakásbiztosítás (lakossági) 50% 1200 2000
Ipari ingatlanok és eszközök 20% 100 000 160 000
Össz. 100% 1 100  

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Egy gyorsétterem forgalmi adatai a 2010-es és a 2009-es évben az alábbiak voltak:

  Egy vásárló által fizetett összeg A forgalom megoszlása 2010-ben
\( V_1 \) \( V_0 \) \( B_1 \)
házhozszállítás 2500 2400 10 000
helybeni fogyasztás 1800 1500 6000
összesen 2200 2000 16 000

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. A következő táblázat egy alpesi városka szállodaárait tartalmazza. Hasonlítsuk össze az átlagos árszint változást standardizálással.

Szálloda típus 2010 2011
Vendégéjszakák száma (ezer db) Ár (EUR/fő) Vendégéjszakák száma (ezer db) Ár (EUR/fő)
*** 1200 50 1600 52
**** 400 70 600 70
***** 400 80 800 84
Össz. 2000   3000  

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Egy kft három féle termék előállításával foglalkozik. A termelésre vonatkozó adatok az alábbiak:

Termékek Összes termelési költség
megoszlása 2011-en (%)
Önköltség (ezer forint/db)
2010-ben Változás 2010-ről 2011-re
(ezer forintban)
A   10 +1
B 30 20 -2
C 50 25 +5
összesen   22 +2

Elemezzük a termék csoport átlagos önköltségének változását és az arra ható tényezőket.

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Egy terméket két üzemben állítanak elő

üzemek Termelési költség Termelés Önköltség
2010-ben (ezer forint) Változás 2010=100% 2010-ben (db) 2011-ben Forint/db Változás 2010=100%
A-üzem 36 700 124% 800 47 710 104
B-üzem 42 720 87% 960 48 950 110
összesen          

Elemezzük az önköltség alakulására ható tényezőket standardizálással!

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Egy terméket három különböző üzemben állítanak elő.

üzem Önköltség változása 2010=100% Termelés költségének változása 2010=100% Termelés költsége 2010 (%)
A 1,07 1,07 24
B 1,05 1,10 32
C 1,06 1,08 44
összesen 1,02   100

Hogyan változott az előállított termék önköltsége 2010-ről 2011-re?

Elemezze az önköltség változására ható tényezőket.

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Egy városban a sielési szezon három időszakból, előszezonból, főszezonból és utószezonból áll. Elemezzük az egy vendég által átlagosan eltöltött vendégéjszakák számának változását 2010-es szezonról a 2011-es szezonra standardizálással.

szezonok Vendégéjszakák számának megoszlása 2011-es szezonban Egy vendég által átlagosan eltöltött éjszakák száma
2010-es szezon 2011-es szezon
Főszezon 60% 5 5,1
Előszezon 15% 4,4 4
Utószezon 25% 3,2 3,6
Össz. 100% 4,3  

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Egy légitársaság forgalmi adatait tartalmazza a következő táblázat. Elemezzük az egy járatra eső átlagos utas-szám változást 2011-ről 2012-re.

Desztináció Utasforgalom összesen
2012 (%)
Összes utasforgalom változás
2011=100%
Járatok számának változása
2011=100%
Belföldi 24% +7% +5%
Külföldi   +4% -2%
Össz. 100% +5% +1%

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Az egyik egyetem három campusán az egy tanárra jutó tanulók számát vizsgálták.

campus Egy tanárra jutó tanulók száma
2013
Tanárok megoszlása
2014
Egy tanárra jutó tanulók számának változása
2013=100%
A 25 12% 94%
B 24 25% 86%
C 27 63% 96%

Hogyan változott az előállított termék önköltsége 2010-ről 2011-re?

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Egy üzemben három féle terméket állítanak elő. Elemezzük az egy termékre jutó átlagos előállítási költség változását standardizálással.

termékek A termelés összértékének megoszlása 2011-ben (EUR) Az egyes termékek előállítási költsége a 2010-es százalékában 
A 52% 102%
B 36% 104%
C 12% 105%
Össz. 100% 103%

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


MI AZ ÖRDÖG AZ A STANDARDIZÁLÁS?

STANDARDIZÁLÁS

Különbségfelbontás

A standardizálást egy meglehetősen furcsa statisztikai probléma megoldására találták ki.

Nézzünk meg erre egy példát, mondjuk Németország és Törökország egy évre vonatkozó halálozási adataival.

Ha a sajnálatosan elhalálozottak számát elosztjuk a lakosok számával, megkapjuk az úgynevezett halálozási arányszámot, ami azt adja meg, hogy egy adott évben a lakosság hányad részének esedékes távozni az örök vadászmezőkre. Ezt az arányt ezerrel beszorozva kapjuk a halálozás ezrelékben kifejezett értékét.

Az egyes korcsoportokra vonatkozó halálozási adatok szemléletesen azt jelentik, hogy az adott korcsoportban évente ezer emberből hányan haláloznak el. Az oszlop legalsó sora a teljes lakosság halálozási mutatója.

Németország (0)

Törökország (1)

ÉLETKOR

HALÁLOZÁS

(fő/év)

NÉPESSÉG

(%)

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

(‰)

HALÁLOZÁS

(millió fő)

NÉPESSÉG

(%)

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

(‰)

0-14

16 605

13,5

1,5

52 500

26,9

2,5

15-34

41 000

25

2

122 500

45

3,5

35-64

102 090

41,5

3

68 000

21,9

4

65-

738 000

20

45

240 000

6,2

50

összesen

897 695

100

10,9

435 750

100

6,2

Ami első ránézésre meglehetősen furcsának tűnik, hogy ez a halálozási mutató Németországban 10,9 ami sokkal rosszabb, mint Törökországban, ahol csak 6,2.

Vagyis Törökország halálozási arányszáma lényegesen jobb, mint a németeké. Vajon mi lehet ennek az oka?

A helyzet még ennél is furcsább, ha korcsoportonként hasonlítjuk össze a halálozási adatokat, ott ugyanis mindenhol a németek a jobbak.

A 65 év felettiek halálozási mutatója például a németeknél ezer emberből csak 45, míg a törököknél 50. De hasonlóan nagy eltérések mutatkoznak a többi korcsoportban is. A németek halálozási mutatója tehát minden egyes korcsoportban messze jobb, mint a törököké, csak valahogy összességében mégis rosszabb.

A kérdés tehát az, hogy ha a német halálozási mutatók minden egyes korcsoportban jobbak a török mutatóknál, hogyan fordulhat elő, hogy a teljes lakosság halálozási aránya mégis jóval magasabb Németországban?

Nos ennek a tisztázására való a standardizálás módszere.

Németország (0)

Törökország (1)

ÉLETKOR

NÉPESSÉG

(%)

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

(‰)

NÉPESSÉG

(%)

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

(‰)

0-14

13,5

1,5

26,9

2,5

15-34

25

2

45

3,5

35-64

41,5

3

21,9

4

65-

20

45

6,2

50

összesen

100

10,9

100

6,2

A népességi adatokat összehasonlítva látszik, hogy a német lakosság túlnyomó része öreg, márpedig az ember halandó, tehát legyenek bármilyen jók a kórházak, vagy az életkörülmények, a 65 éven felüliek halálozási aránya bizony nagy, és ha egy adott országban sok a 65 év feletti, akkor az az egész ország halálozási mutatóját lerontja.

Ennek a számszerűsítésére vezetjük be a standardizálás módszerét. Az eljárás lényege, hogy a teljes népességre vonatkozó halálozási adatokat három szinten hasonlítjuk össze.

Az első szint a tényleges adatok összehasonlítása.

=10,9–6,2=4,7

A németek mi tűrés tagadás 4,7-el halandóbbak a törököknél, ezek a könyörtelen tények. A további vizsgálat ennek a magyarázatáról szól.

A második szint lényege, hogy a halálozási adatok összehasonlításánál kiválasztjuk valamelyik ország népességbeli összetételét és mindkét ország halálozási adatait ezzel az összetétellel számoljuk. Ezt az összetételt tekintjük standardnek. Legyen most a standard Németország, de lehetne a standard Törökország is, ha a feladatban erre nincs határozott utalás ezt mi döntjük el, pl. dobjunk föl egy érmét

Most tehát a németeket vesszük standardnek. Ekkor a német halálozás kiszámolásánál a német korcsoportonkénti halálozási adatokat a német népesség összetételével súlyozzuk ez pont a valós értéket adja:

                   német halál     német darab

A török halálozás kiszámolásánál pedig a török korcsoportonkénti halálozási adatokat szintén a német népesség összetételével súlyozzuk:

               török halál      német darab

A török halálozási adatokra kapott új eredmény úgy értendő, hogy ha Törökországban ugyanolyan volna a lakosság összetétele, mint Németországban, akkor a jelenlegi életkörülményeik 12,87 ezrelékes halálozási arányt eredményeznének, ami már határozottan rosszabb, mint a német. Az így kapott különbséget nevezzük részhatás-különbségnek és -vel jelöljük.

A részhatás-különbség azt mutatja meg, hogy azonos összetétel mellett mekkorák a részhatásokból – most a két ország halálozási adatai – adódó különbségek.

A harmadik szint kiszámolásánál pont fordítva, nem a részhatások, hanem az úgynevezett összetételhatások különbségét vizsgáljuk. Ezúttal a halálozási arányt vesszük standardnek, méghozzá a másik ország, vagyis Törökország korcsoportonkénti halálozási arányát, és így számoljuk ki mindkét ország teljes népességre vonatkozó halálozási mutatóját.

A németeknél tehát a német lakossági adatokat súlyozzuk a török halálozási adatokkal:

      török halál    német darab

A törököknél pedig a török lakossági adatokat súlyozzuk szintén a török halálozási adatokkal, ami pont a valós értéket adja

        török halál    török darab

Az összetételhatás-különbség tehát

A kapott eredmény azt mondja meg, hogy ha mindkét országban ugyanolyan volna részhatás, vagyis a kórházak állapota, életkörülmények meg ilyenek, akkor a német halandóság 6,67-el nagyobb volna, mint a török.

Mindezeket összefoglalva a következőket állapíthatjuk meg.

A standardizálás során kapott három érték:       

A három értékre, -ra -re és -re a kiszámolási módjukból adódóan a

összefüggés áll fenn, ami arra jó, hogy nem kell mindegyiket kiszámolni. Bármelyik kettőből már megvan a harmadik.

A három érték szemléletes jelentése a következő:

Ami azt jelenti, hogy a németek 1000 emberből 4,7-el halandóbbak a törököknél.

Ez azt jelenti, hogy ha a német lakossági összetételt vesszük standardnek, vagyis ha a németek átköltöznek Törökországba, az ott tapasztalt kórházi körülmények következtében 1,97-el válnak halandóbbá, mint odahaza.

Ez pedig azt jelenti, hogy a török részhatást vesszük standardnek, vagyis ha mindkét országban a török licensz alapján működne az egészségügy, akkor ennek hatására a németek ezer emberből 6,67-el mutatkoznának halandóbbnak, török társaiknál.

Jegyezzük meg, hogy -nél mindig a másikat kell standardnek venni, mint -nél, méghozzá minden szempontból, vagyis a másik országot és a másik hatást.

-nél a lakosság összetétele(összetételhatás) a standard és a németeké

-nél a lakosság halálozása(részhatás) a standard és a törököké

Most kicsit formalizáljuk a standardizálás módszerét, hogy ezzel megkönnyítsük más, hasonló problémákra való átültetését. A táblázatunk ugyanaz, de a népesség összetételét nem százalékban, hanem darabban adjuk meg, a halálozási arányszámot pedig nem ezrelékben, hanem meghaltak/népesség formában.

Az egyes korcsoportokban elhalálozottak számát jelöljük a két országban

-al illetve -el a az egyes korcsoportok népességét pedig -al illetve -el.

A korcsoportonkénti halálozási arányok ezek hányadosa, meghaltak/népesség.

Ezeket az arányokat részátlagoknak nevezzük:

 illetve

A teljes népességre vonatkozó halálozási arányt úgy kapjuk, ha összeadjuk hányan haláloztak el az egyes korcsoportokban és ezt elosztjuk a teljes népességgel. Ezeket az arányokat főátlagoknak nevezzük:

 illetve

Németország

Törökország

ÉLETKOR

HALÁLOZÁS

A0

NÉPESSÉG

B0

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

V0=A0/B0

HALÁLOZÁS

A1

NÉPESSÉG

B1

HALÁLOZÁSI

ARÁNYSZÁM

V1=A1/B1

0-4

0,016605

11,07

0,0015

0,0525

21

0,0025

5-29

0,041

20,5

0,002

0,1225

35

0,0035

30-59

0,10209

34,03

0,003

0,068

17

0,004

60-

0,738

16,4

0,045

0,24

4,8

0,05

összesen

0,897695

82

0,0109

0,43575

77,8

0,0062

[Szövegdoboz: Ez a német korcsoportonkénti halálozás(V0) a német népesség összetételével(B0) súlyozva. Vagyis a tényleges német halálozási arány]

[Szövegdoboz: A török korcsoportonkénti halálozás(V1) de a német lakossági összetétellel(B0) súlyozva.] [Szövegdoboz: Ez a török korcsoportonkénti halálozás(V1) de szintén a német népesség összetételével(B0) súlyozva.] [Szövegdoboz: Az első szint az úgynevezett főátlagok összehasonlítása: A főátlagok különbsége alapján a német lakosság halálozási aránya 0,0047-el magasabb a töröknél. A második szint a részhatás különbség kiszámolása. (ilyenkor az összetételhatást vesszük standardnek) A részhatások 0,00197-el javítják a német halálozási adatokat. A harmadik szint az összetételhatás különbség kiszámolása. (ilyenkor a részhatást vesszük standardnek és mindig a másik „országét” mint K’-nél, de ha K és K’ már megvan, egyszerűbb a K=K’+K” alapján számolni.) Az összetételhatások 0,00658-al rontják a német halálozási adatokat.]

[Szövegdoboz: A török korcsoportonkénti halálozás(V1) a török lakossági összetétellel(B1) súlyozva, ami éppen a tényleges török halálozási arány.]

Az eredményeket összefoglalva, a német halálozási arány -el rosszabb a töröknél. A kedvezőtlen népesség összetételi hatások következtében ez az eltérés még nagyobb  lenne, de a jó részhatások, vagyis a kedvező német korcsoportonkénti halálozási adatok ezt -el csökkentik.

Az összehasonlítást fordítva is elvégezhetjük, amikor a török halálozási adatokhoz hasonlítjuk a német adatokat. Ekkor

Most a török lakossági összetétellel súlyozzuk mindkét ország halálozási adatait (a török a standard)

Itt viszont a német halálozási adatokkal számolunk (német standard)

A török halálozási adatok tehát 0,0047-el jobbak a németnél, amit 0,0015-el ugyan rontanak a kedvezőtlen török részhatások, vagyis a korcsoportonkénti halálozási adatok, de 0,0062-vel javít rajta a török lakossági összetétel.

A különbségfelbontás

EGYIK IZÉ

MÁSIK IZÉ

ÖSSZ:

FŐÁTLAGOK KÜLÖNBSÉGE

RÉSZHATÁS KÜLÖNBSÉG

(részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard)

ÖSSZETÉTELHATÁS KÜLÖNBSÉG

(összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ha az előbb  volt akkor most  ha pedig  volt, most )

Hányadosfelbontás

A standardizálást nem csak területi, hanem időbeni összehasonlításra is alkalmazzuk. Az alábbi táblázat egy elektronikai cég DVD-lejátszókat gyártó üzemeinek termelési adatait tartalmazza.

Termelés

helye

2012

2013

A termelés

összköltsége

(USD, millió) 

Előállított

darabszám

(millió)

Egy

termékre

eső költség

(USD)

A termelés

összköltsége

(USD, millió) 

Előállított

darabszám

(millió)

Egy

termékre

eső költség

(USD)

Ausztria

68

1

68

56

0,8

70

India

273

6,5

42

423

9,4

45

Kanada

286

4,4

65

204

3

68

Malajzia

285

7,5

38

496

12,4

40

Total

912

19,4

47,01

1 179

25,6

46,05

A táblázat érdekessége, hogy akárcsak a német vs. török esetben, most is van egy látszólagos ellentmondás az adatokban. Az egy termékre eső termelési költség ugyanis egy év alatt minden egyes termelési helyen nőtt, összességében viszont mégis csökkent. A lényeg megértéséhez nem kell persze standardizálás, egyszerűen arról van szó, hogy mindenhol drágult ugyan a termelés, de az olcsóbb helyeken többet kezdtek el gyártani, ami a teljes termelés költségét csökkentette.

Most időben bekövetkezett változás elemzéséről van szó, ezért itt nem különbségeket, hanem hányadosokat képzünk. Minden ugyanúgy megy tehát, mint az előző módszer esetében, csak nem kivonunk, hanem osztunk. Valahogy így:

Területi összehasonlítás

Időbeli összehasonlítás

Termelés

helye

2012

2013

A termelés

összköltsége

(USD, millió) 

Előállított

darabszám

(millió)

Egy

termékre

eső költség

(USD)

A termelés

összköltsége

(USD, millió) 

Előállított

darabszám

(millió)

Egy

termékre

eső költség

(USD)

Ausztria

68

1

68

56

0,8

70

India

273

6,5

42

423

9,4

45

Kanada

286

4,4

65

204

3

68

Malajzia

285

7,5

38

496

12,4

40

Total

912

19,4

47,01

1 179

25,6

46,05

[Szövegdoboz: Ez egy termék átlagos költsége 2013-ban, vagyis éppen a valós adat:] [Szövegdoboz: Az első szint az úgynevezett főátlagok összehasonlítása: A főátlagok hányadosa alapján a termelés átlagos költsége 2012-ről 2013-ra 0,979-szeresre változott, vagyis 2,1%-al csökkent. A második szint a részhatás hányados kiszámolása. (ilyenkor az összetételhatást vesszük standardnek és mindig a tárgyidőszakét) A részhatások, vagyis a termelési költségek változása alapján a termelés 2012-ről 2013-ra 1,057-szeresre drágult. Ez 5,7%-os drágulást jelent. Ha megnézzük a táblázatot, valóban minden egyes helyen drágább lett a gyártás. A harmadik szint az összetételhatás hányados kiszámolása. (ilyenkor a részhatást vesszük standardnek és mindig a bázisidőszakit, de ha I és I’ már megvan, akkor egyszerűbb az I=I’•I” alapján számolni.) Az összetételhatások alapján, vagyis, hogy a drága Kanadából az olcsó Malajziába települ át a termelés a gyártás költsége 0,926 szorosára változik 2012-ről 2013-ra. Tehát 7,4%-al csökken.]

[Szövegdoboz: A 2012-es termelési költségek (V0), a 2013-ban előállított darabszámokkal (B1) súlyozva: Ilyen olcsó lett volna egy termék gyártása 2012-ben, ha már akkor az olcsó malájokkal dolgoztatnak]

[Szövegdoboz: A 2012-ben előállított darabszámok (B0) szintén a 2012-es termelési költségekkel, ami ugye éppen a valós adat:] [Szövegdoboz: A 2013-ban előállított darab (B1), de a 2012-es termelési költségekkel:]

A kapott eredményeket összefoglalva megállapítható, hogy egy termék gyártási költsége 2012-ről 2013-ra 2,1%-al csökkent. A csökkenés két hatás alapján következett be. Egyrészt a melósok már megint béremelést követeltek, meg a nyersanyag is drágult, ami miatt a darabonkénti előállítási költség 5,7%-al emelkedett (ez az I’ vagyis a részhatás index) másrészt a leleményes cégvezetés a termelés jelentős részét szervezte át a drága elkényelmesedett nyugatiaktól a szorgos kizsigerelhető keletiekhez, ami jelentős 7,4%-os költségcsökkenést eredményezett (ez az I” vagyis az összetételhatás index).

A hányadosfelbontás

EGYIK ÉV

MÁSIK ÉV

ÖSSZ:

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

(részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard és általában )

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

(összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ezért  )

4.1. Egy gyár dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2010-ben és 2011-ben. Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.

Gyár

dolgozói

Dolgozók

átlagbére

(EUR)

Létszám

összetétele

2010

2011

2010

2011

vezetők

5000

5200

4

0,75%

szellemi

2000

2300

36

8%

fizikai

1100

1250

350

91,25%

Össz.

Az első észrevétel, hogy a létszám az egyik oszlopban darabban, a másikban meg százalékban van megadva. Nos ez nem jelent problémát. Gondoljunk arra, hogy leépítés volt a cégnél, és a 4 vezetőből megtartották az egyiknek a fejét és a testét, de a lábait már nem, így most 0,75-en vannak. A szellemi dolgozók 8-an, a melósok meg 91,25-en, mert Bélának a másik kezét és lábát is levágta az eszterga. És tessék, így már a 2011-es adatok is darabban értendők.

Érdemes megjegyezni, hogy az összetétel teljesen mindegy, hogy darabban vagy százalékban van megadva, olyannyira, hogy még akár az is lehet, hogy az egyik így, a másik úgy, ez semmilyen zavart nem fog okozni.

Az átlagos bér 2010-ben

Az átlagos bér 2011-ben

A főátlag index

Az átlagos bérnövekedés egy év alatt 11,5%-os volt.

A részhatás index (az 2011-es év létszám összetételét standardnek véve)

  ami 13,5%-ot jelent

Az összetételhatás index pedig (ahol a 2010-es bérek a standard)

   ami -1,8%-ot jelent

A gyár átlagos bérnövekedése egy év leforgása alatt 11,5% volt. A bérek emeléséből összesen 13,5%-os emelkedés adódott (ez a részhatás index), amit azonban 1,8%-al csökkentett a dolgozói létszám összetételének megváltozása (ez pedig az összetételhatás index)

4.2. Egy cég dolgozóinak a fizetését tartalmazza az alábbi táblázat. Hasonlítsuk össze a férfi és női dolgozók átlagbérének különbségét standardizálással.

Termelés

helye

férfiak

nők

Alkalmazottak

száma

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

Kifizetett teljes

bérköltség

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

vezetők

10

5 200

15 000

5 000

középvezetők

50

4 000

24 500

3 500

beosztottak

350

1 200

748 000

1 100

személyzet

25

750

36 000

750

Total

435

823 500

Első lépésként próbáljuk meg egységessé tenni a táblázatot. A nőknél ugyanis az átlagkereset mellett nem az alkalmazottak száma, hanem az összes kifizetett bér látható. Ha pl ez 15.000 és az egy főre jutó átlagkereset 5000, akkor az alkalmazottak száma 15.000/5000=3 db. Hasonlóan fondorlatosan a többit is kiszámoljuk:

Termelés

helye

férfiak

nők

Alkalmazottak

száma

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

Kifizetett teljes

bérköltség

Alkalmazottak

száma

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

vezetők

10

5 200

15 000

3

5 000

középvezetők

50

4 000

24 500

7

3 500

beosztottak

350

1 200

748 000

680

1 100

személyzet

25

750

36 000

48

750

Total

435

823 500

738

Végül a férfi és női átlagbéreket is kiszámoljuk. Ezek az úgynevezett főátlagok, amiket úgy kapunk, hogy a cég által a férfiaknak összesen kifizetett bért osztjuk a férfiak számával, aztán ugyanezt megcsináljuk a nőknél is.

Termelés

helye

férfiak

nők

Alkalmazottak

száma

B1

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

V1

Kifizetett teljes

Bérköltség

A2

Alkalmazottak

Száma

B2

Egy főre jutó

átlagkereset

(USD)

V2=A2/B2

vezetők

10

5 200

15 000

3

5 000

középvezetők

50

4 000

24 500

7

3 500

beosztottak

350

1 200

748 000

680

1 100

személyzet

25

750

36 000

48

750

Total

435

1587,93

823 500

738

1115,85

[Szövegdoboz: A férfi átlagbér=teljes bérköltség a férfiaknál/435 A női átlagbér pedig a teljes női bérköltség osztva a nők számával: A főátlagok különbsége A férfiak átlagosan 472,08 USD-al többet keresnek a nőknél. A részhatás különbség (a férfiak létszámösszetételét standardnek véve) Az összetételhatás különbség pedig (nők keresetét standardnek véve) Ez utóbbi persze a K=K’+K” miatt egyszerűbben is kijön! Megállapítható tehát, hogy a férfiak 472 USD-al többet keresnek, mint a nők. Ez a különbség két tényezővel magyarázható, egyrészt a nők ugyanabban a beosztásban is eleve kisebb bért kapnak. Ez a részhatás különbség 142,52 USD-al növeli a férfiak átlagbérét. Másrészt munkakörök összetétele olyan, hogy magasabb beosztásban – és fizetéssel – több férfi, míg alacsonyabb beosztásban – nem kevésbé alacsonyabb fizetéssel – több nő dolgozik. Ez az összetételhatás különbség 329,55 USD a férfiak javára.]

4.3. Az egyik egyetem két büféjében húsz napon át figyelték a vásárlások értékét.

I. büfé

II. büfé

vásárló

Vásárlók

Száma (fő)

Átlagos

Vásárlás (EUR/fő)

Vásárlók

Száma (fő)

Átlagos

Vásárlás (EUR/fő)

Hallgató

1200

2

1600

1,8

Oktató

400

2,5

600

2,2

Egyéb

400

3

800

2,7

Össz.

2000

3000

Hasonlítsuk össze a két büfében a vásárlások átlagos költségét és az erre ható tényezőket!

[Szövegdoboz: I. büfé II. büfé vásárló Vásárlók Száma (fő) Átlagos Vásárlás (EUR/fő) Vásárlók Száma (fő) Átlagos Vásárlás (EUR/fő) Hallgató 1200 2 1600 1,8 Oktató 400 2,5 600 2,2 Egyéb 400 3 800 2,7 Össz. 2000 2,3 3000 2,12 Az I. büfében a vásárlás átlagos költsége 2,3 a II. büfében pedig 2,12 EUR. A főátlagok különbsége Az I. büfében átlagosan 0,18 EUR-val többet költenek, mint a II-ban. A részhatás különbség (az I büfé vásárlói összetételét standardnek véve) Az összetételhatás különbség pedig Megállapítható tehát, hogy az I. büfében átlagosan 0,18 EUR-val többet költenek, mint a II.-ban. Pusztán a vásárlások értéke alapján ez a különbség még nagyobb, 0,24 EUR volna, ám a vásárlók összetétele miatt ez 0,06 EUR-val mérséklődik. A II. büfében ugyanis jóval nagyobb a harmadik kategóriás legnagyobb értékben vásárlók aránya. (az I. büfében 400/2000 vagyis 20%, míg a II.-ban 800/3000 ami 27%)]

[Szövegdoboz: 4.4 Két borgazdaság termelési adatait tartalmazza a következő táblázat. Elemezze a szőlők termésátlagának különbségét standardizálással! Szőlőfajta Termőterület (ha) Termésátlagok Különbsége II.-I. (kg/ha) I. II. furmint 250 600 1000 hárslevelű 100 250 600 oremus 150 150 400 összesen 500 1000 800 A főátlagok különbsége A II. termőterületen átlagosan hektáronként 800kg-al több szőlő terem. A részhatás különbség (a II. termőterület összetételét standardnek véve) Az összetételhatás különbség pedig]

4.5. Egy üzem dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2010-ben és 2011-ben. Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással.

Üzem

dolgozói

Bérek

összetétele

(EUR)

Létszám

összetétele

2010

Havonta kifizetett

összes bér

2011

Átlag

bér

2010

2011

vezetők

50 000

5200

10

5%

szellemi

20 000

2300

10

8%

fizikai

880 000

1250

800

89%

Össz.

950 000

1000

Először a 2010-es béradatokat átalakítjuk. A kifizetett összes bért elosztva a létszámokkal megkapjuk az egyes beosztásokhoz tartozó átlagos béreket.

Üzem

dolgozói

Bérek

összetétele

(EUR)

Létszám

összetétele

2010

Havonta kifizetett

összes bér

2010

Átlag

bér

2011

Átlag

bér

2010

2011

vezetők

450 000

5000

5200

90

5%

szellemi

220 000

2000

2300

110

8%

fizikai

880 000

1100

1250

800

87%

Össz.

 1 550 000

1550

1000

Ezek után már a szokásos történet, még egy apróság, hogy a létszám 2010-ben darabban 2011-ben meg százalékban van megadva, de ez nem jelent problémát.

Érdemes megjegyezni, hogy az összetétel teljesen mindegy, hogy darabban vagy százalékban van megadva, olyannyira, hogy még akár az is lehet, hogy az egyik így, a másik úgy, ez semmilyen zavart nem fog okozni.

  de ezt már eddig is tudtuk, szóval csak unaloműzésképpen számoltuk ki.

Az átlagos bér 2010-ben 1550 EUR 2011-ben pedig 1531,5 EUR

A főátlag index

Átlagosan tehát -1,2%-al csökkentek a bérek. Mivel minden beosztásban volt béremelés, ez az átlagos bércsökkenés majd az összetétel megváltozásával lesz magyarázható.

A részhatás index (az 2011-es év összetételét standardnek véve)

  ami 12%-os béremelkedés

Az összetételhatás index pedig (ahol a 2010-es árak a standard)

  ami 12%-os bércsökkenés

Az egy év leforgása alatt bekövetkező 1,2%-os átlagos bércsökkenés két összetevővel magyarázható. Egyrészt a minden beosztást érintő béremelés átlagosan 12%-os bérnövekedést okozott, de a létszám összetételének megváltozása (például a vezetők számának jelentős csökkenése) 12%-os bércsökkenést is eredményezett. A két hatás együttesen érte el az 1,2%-os átlagbér-csökkenést.

4.6. Egy biztosító biztosítási káreseteire vonatkozó adatait tartalmazza az alábbi táblázat 2011-ben illetve a bázis évnek választott 2001-ben. Állapítsuk meg, hogyan változott meg a kifizetések átlagos összege és milyen hatások következtében.

Üzletágak

A kifizetett teljes

összeg megoszlása

2011-ben

Egy biztosítási káresetre

fizetett átlagos összeg (EUR)

2001

2011

Élet- baleset-

betegbiztosítás

30%

800

1000

Lakásbiztosítás

(lakossági)

50%

1200

2000

Ipari ingatlanok

és eszközök

20%

100 000

160 000

Össz.

100%

1100

Azonosítsuk be a szereplőket. Van egyszer egy teljes kifizetés a bázisévben, ez alighanem A1. Aztán a másik két oszlop V0 és V1. Ezeket hasznosíthatjuk a következő módon:

 tehát       

Ekkor a táblázat

Üzletágak

A kifizetett teljes

összeg megoszlása

2011-ben

Egy biztosítási káresetre

fizetett átlagos összeg (EUR)

2001  

2011

Élet- baleset-

betegbiztosítás

30%

800

1000

1,25

Lakásbiztosítás

(lakossági)

50%

1200

2000

1,67

Ipari ingatlanok

és eszközök

20%

100 000

160 000

1,6

Össz.

100%

1100

Számoljuk ki -et, rá alighanem szükség lesz.

Sajnálatosan azonban -eket nem ismerjük.

Vannak viszont remek -ek, akik tökéletesen megfelelnek a célnak, csak nem számtani, hanem harmonikus átlagot számolunk.

A főátlag index tehát

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

Számoljunk egy részhatás indexet.

Végül egy összetételhatás indexet:

 tehát

Amiből

A kifizetések átlagosan 65%-al emelkedtek 2001-ről 2011-re.

Ez az emelkedés 50%-ban a kifizetett összeg megemelkedésével és 9,7 vagyis durván 10%-ban a káresetek arányának megváltozásával magyarázható.

[Szövegdoboz: 4.7. Egy gyorsétterem forgalmi adatai a 2010-es és a 2009-es évben az alábbiak voltak: Egy vásárlóra által fizetett összeg A forgalom megoszlása 2010-ben 2010 2009 Házhozszállítás 2500 2400 10 000 Helybeni fogyasztás 1800 1500 6000 összesen 2200 2000 16 000 A főátlagok hányadosa 2010-ben 1,1-szeresére vagyis 10%-al nőtt az egy vásárló által átlagosan kifizetett összeg A részhatás index tehát 8,2% Az összetételhatás index pedig tehát 1,8% A vásárlók tehát átlagosan 10%-al költenek többet, amiből 8,2%-ot tesz ki az árak megváltozása és 1,2%-ot pedig a forgalom megoszlásának megváltozása]

4.8. A következő táblázat egy alpesi városka szállodaárait tartalmazza. Hasonlítsuk össze az átlagos árszint változását standardizálással.

2010

2011

Szálloda

típus

Vendégéjszakák

száma (ezer db)

Ár

 (EUR/fő)

Vendégéjszakák

száma (ezer db)

Ár

 (EUR/fő)

***

1200

50

1600

52

****

400

70

600

70

*****

400

80

800

84

Össz.

2000

3000

Az átlagos szállodaár 2010-ben 60 EUR 2011-ben pedig 64,1 EUR

A főátlag index

Az átlagos áremelkedés egy év alatt viszonylag magas, 6,8%-os volt.

A részhatás index (az 2011-es év összetételét standardnek véve)

Az összetételhatás index pedig (ahol a 2010-es árak a standard)

Az egy év leforgása alatt bekövetkező 6,8%-os átlagos áremelkedésből 24% a részhatásoknak és -14% az összetételhatásoknak tudható be. Vagyis az árak emeléséből adódóan 24%-os árbevétel növekedés keletkezett, de a vendégösszetétel megváltozása miatt (50%-al nőtt a négycsillagos szállók forgalma, ahol nem történt áremelés) 14%-os csökkenés következett be. Ennek a két hatásnak az eredménye a 6,8%-os átlagos áremelkedés.

4.9. Egy kft háromféle termék előállításával foglalkozik. A termelésre vonatkozó adatok az alábbiak:

Termékek

Összes termelési

költség megoszlása

2011-ben (%)

Önköltség (ezer forint/db)

2010-ben

Változás 2010-ről

2011-re (ezer forintban)

A

10

+1

B

30

20

-2

C

50

25

+5

összesen

22

+2

Elemezzük a termékcsoport átlagos önköltségének változását és az arra ható tényezőket.

Az összes termelési költség megoszlása 2011-ben alighanem  és tökmindegy, hogy százalékban vagy dollárban van megadva. Mivel a termelési költség összesen 100%, az A termék költsége 20%.

Az önköltség egy darab termék előállítási költségét jelenti, ez lesz 2010-ben  

és 2011-ben pedig . Ezek hányadosa külön-külön termékenként a , az összesen rovatban pedig a , de nem az, aki sütit süt, hanem a főátlagindex.

Termékek

Összes termelési

költség megoszlása

2011-ben (%)

Önköltség (ezer forint/db)

2010-ben

2011-ben

A

20

10

11

1,1

B

30

20

18

0,9

C

50

25

30

1,2

összesen

100

22

24

1,09

Az átlagos önköltség 9%-al emelkedett 2010-ről 2011-re.

Számoljunk ki egy -t vagy egy -t. Lássuk melyikhez vannak adatok. Van egyszer  meg aztán van  is, tehát

Végül  alapján 1,015

A termelés önköltsége átlagosan tehát 9%-al drágult. Ebből 7,3%-os drágulás az egyes termékek előállításának drágulása miatt következett be (részhatás index), míg 1,5%-os drágulás pedig a termelés összetételének a megváltozása miatt (összetételhatás index).

4.10. Egy terméket két üzemben állítanak elő

üzemek

Termelési költség

Termelés

2010-ben

(db)

önköltség

2010-ben

(ezer forint)

Változás

2010=100%

2011-ben

Forint/db

Változás

2010=100%

A-üzem

36 700

124%

800

47 710

104

B-üzem

42 720

87%

960

48 950

110

összesen

Elemezzük az önköltség alakulására ható tényezőket standardizálással

Kezdjük meg az azonosítást. Az első oszlop a teljes termelés költsége a két üzemben, 2010-ben, így ez . A második oszlop jelenlegi állapotában nem hasznos, de végülis miért ne számolnánk ki a 2011-es termelési költségeket:

üzemek

Termelési költség

Termelés

2010-ben

(db)

önköltség

2010-ben

(ezer forint)

2011-ben

(ezer forint)

2011-ben

Forint/db

Változás

2010=1

A-üzem

36 700

45 508

800

47,710

1,04

B-üzem

42 720

37 166

960

48,950

1,10

összesen

79 420

82 674

A következő oszlop  aztán az önköltség 2011-ben , de jobban járunk, ha ezt is ezer forintban adjuk meg, végül pedig az utolsó oszlop, ha megszabadulunk a százalékoktól, akkor .

Végül  alapján 1,004

A két üzemben együttesen 7%-al nőtt a termelés önköltsége. Ebből 6,6%-ot az egyes üzemek önköltségének emelkedése, 0,4%-ot pedig a termelés összetételének a megváltozása tett ki.

4.11. Egy terméket három különböző üzemben állítanak elő.

üzem

Önköltség

változása

2010=100%

Termelés

költségének

változása

2010=100%

Termelés

költsége

2010

(%)

A

107

107

24

B

105

110

32

C

106

108

44

összesen

102

100

Hogyan változott az előállított termék önköltsége 2010-ről 2011-re?

Elemezze az önköltség változására ható tényezőket.

Az önköltség , ahol A=Termelés költsége B=darab.

üzem

Önköltség

változása

2010=100%

Termelés

költségének

változása

2010=100%

Termelés

költsége

2010

(%)

Termelés

költsége

2011

A

1,07

1,07

24

25,68

B

1,05

1,10

32

35,2

C

1,06

1,08

44

47,52

összesen

1,02

100

108,4

Szükségünk lesz egy  oszlopra is, ezt úgy kapjuk, hogy 

Az első oszlop az önköltség változását tartalmazza termékenként, az öszesen rovata pedig éppen , tehát

A részhatás index

Az összetételhatás index pedig ekkor alapján

A termelés önköltsége tehát 2010-ről 2011-re 2%-al emelkedett. A termelés költségeinek növekedése 5,9%-os önköltség növekedést eredményezett volna, de az üzemek részarányának változása (a drágább üzemben kevesebbet gyártanak) 3,7%-os önköltség csökkenést okozott.

4.12. Egy városban a síelési szezon három időszakból, előszezonból, főszezonból és utószezonból áll. Elemezzük az egy vendég által átlagosan eltöltött vendégéjszakák számának változását 2010-es szezonról a 2011-es szezonra standardizálással.

szezonok

Vendégéjszakák

számának megoszlása

2011-es szezonban

Egy vendég által átlagosan eltöltött

éjszakák száma

2010-es szezon

2011-es szezon

Főszezon

60%

5

5,1

Előszezon

15%

4,4

4

Utószezon

25%

3,2

3,6

Össz.

100%

4,3

Próbáljuk meg beazonosítani a szereplőket.

A vendégek által átlagosan eltöltött éjszakák száma V0 és V1.

Ha az egy vendég által eltöltött éjszakák számát  beszorozzuk a vendégek számával, megkapjuk a vendégéjszakák összes számát. Ezt tartalmazza az első oszlop, igaz nem darabban, hanem százalékban a 2011-es szezonra.

Végül a V0 és V1 oszlopokat hasznosítjuk a következő módon:

 tehát       

Ekkor a táblázat

szezonok

Vendégéjszakák

Számának megoszlása

2011-es szezonban

Egy vendég által átlagosan eltöltött éjszakák száma

2010-es szezon     

2011-es szezon  

Főszezon

60%

5

5,1

1,02

Előszezon

15%

4,4

4

0,91

Utószezon

25%

3,2

3,6

1,125

Össz.

100%

4,3

Számoljuk ki -et, rá alighanem szükség lesz.

Sajnálatos módon azonban -eket nem ismerjük.

Vannak viszont helyette remek -ek, akik szintén hasznosíthatóak, csak nem számtani átlagot, hanem harmonikus átlagot kell számolni.

A főátlag index tehát

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

Ez 3,5%-os növekedés.

Lássuk csak, mit tudnánk ezek után

számolni?  és  sajnálatos hiánya

miatt csak részhatás indexet tudunk

számolni, mégpedig így:

Ez 2,5%-os növekedés.

Végül számoljunk egy

összetételhatás indexet:

 tehát

Amiből  vagyis 1%-os növekedés.

A vendégek által eltöltött éjszakák száma tehát 3,5%-al növekedett a 2010-es szezonról a 2011-es szezonra. Ebből 2,5% tulajdonítható annak, hogy a vendégek hosszabb ideig maradnak, 1% pedig annak, hogy nagyobb  lett a részaránya a hosszabb ott tartózkodást jelentő szezonoknak.

4.13. Egy légitársaság forgalmi adatait tartalmazza a következő táblázat. Elemezzük az egy járatra eső átlagos utas-szám változást 2011-ről 2012.re.

Desztináció

Utasforgalom

összesen

2012 (%)

Összes utas-forgalom változás 2011=100%

Járatok számának változása 2011=100%

Belföldi

24%

+7%

+5%

Külföldi

76%

+4%

-2%

Össz.

100%

+5%

+1%

Lássuk csak, ki kicsoda.

Az egy járatra eső átlagos utas-szám úgy jön ki, hogy összes utasforgalom osztva a járatok számával. Tehát összes utasforgalom=A és járatok száma=B.

Desztináció

Utasforgalom

összesen

2012 (%)

Összes utas-forgalom változás 2011=100%

Járatok számának változása 2011=100%

Belföldi

24%

+7%

+5%

Külföldi

76%

+4%

-2%

Össz.

100%

+5%

+1%

Az első oszlopban maradhatnak a százalékok, de a másik két oszlopban egyik évről másik évre történő változás szerepel, amit tizedes törtben kell megadnunk.

+7%=1,07 a többiek ugyanígy jönnek ki.

Most pedig lássuk a képleteket.

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

Rendkívül sajnálatos, hogy egyik képlet

sem tartalmaz olyanokat, hogy

vagy  ezeket az adatokat tehát

valahogyan hasznosítani kéne.

Nos ami azt illeti, bizonyos általános iskolai

emléktöredékek alapján

Ami pedig azért jó, mert

Ha a táblázat második és harmadik oszlopát elosztjuk egymással, keletkezik tehát egy oszlop.

Desztináció

Utasforgalom

összesen

2012 (%)

Összes utas-forgalom változás 2011=100%

Járatok számának változása 2011=100%

Belföldi

24%

1,07

1,05

1,02

Külföldi

76%

1,04

0,98

1,061

Össz.

100%

1,05

1,01

1,04

Ez az újonnan keletkezett oszlop rendkívül hasznos. Először is az összesen sorban található 1,04 az összes , tehát éppen a főátlagindex:

 vagyis 4%.

Aztán meg ugye itt van ez a képlet:

Ez 5%-os növekedés.

Végül számoljunk egy összetételhatás indexet:

 tehát

Amiből  vagyis 1%-os csökkenés.

Az egy járatra eső utas-szám tehát 2011-ről 2012-re 4%-al nőtt. Ebből 5% tulajdonítható annak, hogy az átlagos utas-szám járatonként emelkedett, ugyanakkor a külföldi és belföldi járatok részarányának változása miatt 1%-al csökkent (kisebb lett a zsúfoltabb járatok részaránya).

4.14. Az egyik egyetem három campusán  az egy tanárra jutó tanulók számát vizsgálták.

campus

Egy tanárra jutó

tanulók száma

2013

Tanárok megoszlása

2014

Egy tanárra jutó

tanulók számának változása

2013=100%

A

25

12%

94 %

B

24

25%

86 %

C

27

63%

96 %

Az egy tanárra jutó tanulók száma a három campuson együttesen 7%-al csökkent.

Elemezzük az egy tanárra jutó tanulók számának változására ható tényezőket.

Azonosítsuk be a szereplőket. Az egy tanárra jutó tanulók számát úgy kapjuk, hogy tanuló/tanár.

Ekkor a táblázat első oszlopa  éppen V, méghozzá  a második oszlop tanár, tehát B és éppenséggel  az utolsó oszlop pedig

campus

Egy tanárra jutó

tanulók száma

2013

Tanárok megoszlása

2014

Egy tanárra jutó

tanulók számának változása

2013=100%

A

25

12%

94 %

B

24

25%

86 %

C

27

63%

96 %

Az egy tanárra jutó tanulók száma együttesen 10%-al csökkent, nos ez éppen

Most pedig lássuk a képleteket.

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

Egy picit alakítgatunk itt.

  így hát

Meg is vagyunk:

Ez 6,5%-os csökkenést jelent.

Végül számoljunk egy összetételhatás indexet:

 tehát

Amiből  ez további 4%-os csökkenés.

Az egy tanárra eső tanulók száma tehát 2013-ról 2014-re 7%-al csökkent. Ebből 6,5% tulajdonítható annak, hogy az egy tanárra jutó tanulók száma átlagosan mindhárom campuson csökkent és további 4%-os csökkenést okozott a campusok részarányainak megváltozása. (kisebb lett a zsúfoltabb campusok részaránya).

4.15. Egy üzemben háromféle terméket állítanak elő. Elemezzük az egy termékre jutó átlagos előállítási költség változását standardizálással.

termékek

A termelés

összértékének

megoszlása

2011-ben

(EUR)

Az egyes termékek

előállítási költsége

a 2010-es százalékában

A

52%

102%

B

36%

104%

C

12%

105%

Össz.

100%

103%

Beazonosítjuk a szereplőket.

termékek

A termelés

összértékének

megoszlása

2011-ben

(EUR)

Az egyes termékek

előállítási költsége

a 2010-es százalékában

A

52%

102%

B

36%

104%

C

12%

105%

Össz.

100%

103%

Az első oszlop maradhat százalékban, de a második oszlop indexeket tartalmaz ezért azt átírjuk.

termékek

A termelés

összértékének

megoszlása

2011-ben

(EUR)

Az egyes termékek

előállítási költsége

a 2010-es százalékában

A

52%

1,02

B

36%

1,04

C

12%

1,05

Össz.

100%

1,04

Az összesen rovatban lévő index éppen a főátlagindex, vagyis I=1,04.

Lássuk csak, mit tudnánk ezek után ki számolni?  és  sajnálatos hiánya miatt csak részhatás indexet tudunk számolni, mégpedig így:

FŐÁTLAG INDEX

RÉSZHATÁS INDEX

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

Végül számoljunk egy

összetételhatás indexet:

 tehát

Amiből  

Az egy termékre jutó átlagos költség tehát 4%-al növekedett 2010-ről 2011-re. Ebből 3% tulajdonítható annak, hogy drágult az egyes termékek előállítási költsége, 1% pedig annak, hogy megváltozott az előállított termékek részaránya.


KÜLÖNBSÉG FELBONTÁS

HÁNYADOS FELBONTÁS

FELADAT 4. 1.

FELADAT 4. 2.

FELADAT 4. 3.

FELADAT 4. 4.

FELADAT 4. 5.

FELADAT 4. 6.

FELADAT 4. 7.

FELADAT 4. 8.

FELADAT 4. 9.

FELADAT 4. 10.

FELADAT 4. 11.

FELADAT 4. 12.

FELADAT 4. 13.

FELADAT 4. 14.

FELADAT 4. 15.