Statisztika és valszám alapok
A kurzus 10 szekcióból áll: Statisztika alapfogalmak, Valszám alapok, kombinatorika, Mintavétel, binomiális és hipergeometriai eloszlás, Valószínűségi változók, Várható érték és szórás, Nevezetes eloszlások, Egy ismérv szerinti elemzés, Két ismérv szerinti elemzés, Standardizálás, Indexek
Statisztika alapfogalmak
- -
Az ismérvek olyan vizsgálati szempontok, amelyek alapján a sokaság részekre osztható.
- -
A nominális (névleges) mérési skála a sokaság elemeit valamilyen tulajdonság szerint csoportokba sorolja, de a csoportok között nincsen semmilyen sorrendiség.
- -
Az ordinális (sorrendi) mérési skála a sokaság elemeit valamilyen tulajdonság szerint csoportokba sorolja, és a csoportok között van sorrendiség.
- -
Az intervallum-skála a sokaság elemeit valamilyen mérés szerint rendezi sorba.
- -
Az arány-skála a sokaság elemeit szintén valamilyen mérés szerint rendezi sorba, de abban különbözik az intervallum-skálától, hogy ennek van valódi nullpontja.
- -
Hogyha egy sokaság elemei egymástól jól elkülöníthető egységek, akkor a sokaság diszkrét.
- -
Hogyha egy sokaság nem diszkrét, akkor az folytonos.
- -
Az időpontra vonatkozó sokaságokat álló sokaságnak nevezzük.
- -
Az időtartamra vonatkozó sokaságokat mozgó sokaságnak nevezzük.
- -
A viszonyszámok kiszámolásának módja meglehetősen semmitmondó.
- -
Ha több viszonyszámunk van, fölmerülhet az igény ezek átlagolására.
- -
Ha több viszonyszámunk van, fölmerülhet az igény ezek átlagolására.
- -
A dinamikus viszonyszámok idősorok adataiból számított hányadosok.
- -
A megoszlási viszonyszám egy sokaság valamely részének az egészhez viszonított arányát írja le.
- -
Az intenzitási viszonyszám két, egymással valamilyen kapcsolatban álló sokaság mennyiségeinek hányadosa.
- -
A tartamidősorok egy vizsgált időtartamra vonatkozó megfigyeléseket tartalmaznak.
- -
Az állapotidősorok egy vizsgált időtartam egy adott pillanatára vonatkozó megfigyeléseket tartalmazzák.
- -
Egy speciális átlag, például ha négy hónap adataiból számoljuk ki az átlagot, viszont csak három hónapos időtartamra.
- -
Ezek tulajdonképpen egymás mellett szerepeltetett valamilyen adatok.
- -
Lényege, hogy az adatokat valamelyik ismérv szerint tudjuk összesíteni.
- -
Mindegyik ismérv szerint tudjuk az adatokat összesíteni.
Valszám alapok, kombinatorika
- -
Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.
- -
A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.
- -
Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.
- -
Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.
- -
A feltételes valószínűség. Az A feltéva B valószínűség azt jelenti, hogy mekkora eséllyel következik be az A esemény, ha a B esemény biztosan bekövetkezik..
- -
Események metszetének, uniójának, különbségének és komplementerének valószínűségei.
- -
A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.
- -
Mintavétel, binomiális és hipergeometriai eloszlás
- -
Ha a szövegben valószínűségek vannak megadva, akkor a binomiális eloszlást szoktuk használni.
- -
A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.
- -
Ha húzásokat vizsgálunk úgy, hogy a kihúzott elemeket nem tesszük vissza, akkor ez egy visszatevés nélküli mintavétel.
- -
A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás.
Valószínűségi változók
- -
Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság.
- -
Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel.
- -
Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x). F(x)=P(x<X) Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Nos ez elég izgi..
- -
A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.
- -
Az eloszlásfüggvény határértéke minusz végtelenben 0, plusz végtelenben 1, monoton nő és balról folytonos.
- -
A sűrűségfüggvény integrálja minusz végtelentől plusz végtelenig 1, és nem negatív.
- -
Három nagyon fontos összefüggés eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény között.
- -
Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk. Fordítva pedig integrálni kell.
Várható érték és szórás
- -
A valószínűségi változó értékeinek valószínűségekkel súlyozott átlaga. De valójában ez rém egyszerű, nézzünk rá néhány példát.
- -
A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk.
- -
Folytonos valószínűségi változók esetén a várható értéket egy integrálás segítségével számítjuk.
- -
Folytonos valószínűségi változó esetén a szórást ugyanúgy kell számolni, mint diszkrét valószínűségi változó esetén:
Nevezetes eloszlások
- -
A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejtes van.
- -
A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- -
A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- -
Az eltelt idők és a távolságok eloszlása.
- -
- -
Mennyiségek eloszlása.
Egy ismérv szerinti elemzés
- -
Az egyik legegyszerűbb és leggyakrabban használt alakmutatók, az úgynevezett Pearson-féle mérőszámok:
- -
Az egyik legegyszerűbb és leggyakrabban használt alakmutatók, az úgynevezett Pearson-féle mérőszámok mellett az F-mutatók.
- -
A csúcsosság azt jelenti, hogy az eloszlás görbéje mennyire csúcsosodik ki.
- -
A Herfindahl-index egy eszköz a koncentráció vizsgálatára.
- -
A Lorenz-görbe egy eszköz a koncentráció vizsgálatára.
- -
A tartamidősorok egy vizsgált időtartamra vonatkozó megfigyeléseket tartalmaznak.
- -
Az állapotidősorok egy vizsgált időtartam egy adott pillanatára vonatkozó megfigyeléseket tartalmazzák.
- -
Egy speciális átlag, például ha négy hónap adataiból számoljuk ki az átlagot, viszont csak három hónapos időtartamra.
Két ismérv szerinti elemzés
- -
Egy sokaságot egyszerre több ismérv szerint is vizsgálhatunk.
- -
Ha mindkét ismérv minőségi (vagy területi), akkor asszociációs kapcsolatról beszélünk.
- -
Ha az egyik ismérv minőségi (vagy területi), a másik mennyiségi, akkor vegyes kapcsolatról beszélünk.
- -
Ha mindkét ismérv mennyiségi, akkor korrelációs kapcsolatról beszélünk.
- -
Ha mindkét ismerv sorrendi, akkor rangkorrelációs kapcsolatról beszélünk.
- -
Ha két ismérv között nincs kapcsolat, akkor függetlenek.
- -
Ha két ismérv között marhára van kapcsolat, akkor az függvényszerű.
- -
Ha a két ismérv között csak egy pici kapcsolat van.
- -
A Cramer-féle asszociációs együttható arra való, hogy amikor mindkét ismérv minőségi, rávilágítson a két ismérv közötti kapcsolat szorosságára.
- -
A kombinációs tábla általános sémája.
- -
A Csuprov-féle mutató segítségével két ismérv közötti kapcsolatot vizsgálhatjuk.
- -
Ha azt vizsgáljuk, hogy az egyes értékek mennyire térnek el a részátlagoktól, akkor belső szórást számolunk.
- -
Ha a részátlagoknak nézzük a főátlagtól való eltérését, az a külső szórás.
- -
A teljes szórás az egész sokaság szórását jelenti.
- -
A belső eltérés-négyzetösszeg a belső szórás gyök alatti részének számlálója.
- -
A külső eltérés-négyzetösszeg a külső szórás gyök alatti részének számlálója.
- -
A teljes eltérés-négyzetösszeg a teljes szórás gyök alatti részének számlálója.
- -
A PRE egy rövidítés, Proportional Reduction Errors, ami relatív hibacsökkenésnek fordítható.
- -
A lineáris korrelációs együttható azt méri, hogy $X$ és $Y$ között milyen szoros lineáris kapcsolat van.
- -
A determinációs együttható pontosan úgy értelmezhető, mint a PRE mutató a vegyes kapcsolatnál.
- -
Ha pl. egy verseny eredményét ketten is megtippelik, és el kell döntenünk melyikük találta el jobban a valós eredményt...
Standardizálás
- -
A standardizálást egy látszólag teljesen ellentmondásos statisztikai probléma megoldására találták ki.
- -
Területi összehasonlításhoz tartozó képletek.
- -
Időbeli összehasonlításhoz tartozó képletek.
- -
A standardizálást nem csak területi, hanem időbeli összehasonlításokhoz is alkalmazzuk.
Indexek
- -
A volumenindex a forgalom változásának mértéke.
- -
Az árindex a szektort érintő árváltozást méri.
- -
A legtöbb feladatban nincs külön megadva $p_0$ és $p_1$ valamint $q_0$ és $q_1$ pontos értéke, ezért különböző bűvészmutatványokra lesz szükség.
- -
A Fischer-féle árindex és volumenindex kiszámítása.
- -
Képletek az értékindex kiszámításához.
- -
A vásárlóerő mérésére van forgalomban az úgynevezett vásárlóerő-paritás.